广东省深圳市南山区华侨城中学2024届高三下学期一模适应性考试数学试题

这是一份广东省深圳市南山区华侨城中学2024届高三下学期一模适应性考试数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知向量a=1,m，b=3,−2，且(a+b)⊥b，则m=
A．−8B．−6
C．6D．8
2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βB．若m//n，m//α，n//β，则α//β
C．若m⊥n，m//α，α⊥β，则n⊥βD．若m//n，m⊥α，α⊥β，则n//β
3．已知Sn为等差数列an的前n项和，a4+2a9+a20=24，则S20=（ ）
A．60B．120C．180D．240
4．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ）
A．16B．13C．12D．23
5．已知函数fx=csωx+π3+1(ω>0)的最小正周期为π，则fx在区间0,π2上的最大值为（ ）
A．12B．1C．32D．2
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acsA，则csA＝（ ）
A．13B．24C．33D．63
7．已知F1，F2是椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点，双曲线C2:x2m2−y23m2=1的一条渐近线l与C1交于A，B两点. 若F1F2=AB，则C1的离心率为（ ）
A．22B．32
C．2−1D．3−1
8．已知函数fx的定义域为R，y=fx+ex是偶函数，y=fx−3ex是奇函数，则fx的最小值为（ ）
A．eB．22C．23D．2e
二、多选题
9．某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：
若y与x线性相关，其线性回归方程为y=bx+7.1，则下列说法正确的是（ ）
A．线性回归方程必过3,140B．b=44.3
C．相关系数r<0D．6月份的服装销量一定为272.9万件
10．设Z1，Z2为复数，下列命题中正确的是（ ）
A．Z1+Z2=Z1+Z2
B．若Z1Z2=0，则Z1与Z2中至少有一个是0
C．若Z12+Z22=0，则Z1=Z2=0
D．|Z1Z2|=|Z1|⋅|Z2|
11．已知圆C：x2+y2−2kx−2y−2k=0，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若圆C关于直线y=kx对称，则k=±1
B．存在直线与所有的圆都相切
C．当k=1时，Px,y为圆C上任意一点，则y+3x的最大值为5+3
D．当k=1时，直线l:2x+y+2=0,M为直线l上的动点，过点M作圆C的切线MA,MB，切点为A，B，则CM⋅AB最小值为4
三、填空题
12．已知集合A=x|−2−2，则实数a的取值范围为 .
13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆.若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为3的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为 .
14．已知数列an的首项a1=1，且满足an+1−an−1an+1−2an=0对任意n∈N*都成立，则能使am=2023成立的正整数m的最小值为 .
四、解答题
15．已知函数fx=alnx−bx2+1，a，b∈R．若fx在x=1处与直线y=0相切．
(1)求a，b的值；
(2)求fx在1e,e2（其中e=2.718⋅⋅⋅为自然对数的底数）上的最大值和最小值．
16．如图，在圆锥SO中，AB是圆O的直径，且△SAB是边长为4的等边三角形，C,D为圆弧AB的两个三等分点，E是SB的中点.
(1)证明：DE //平面SAC；
(2)求平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值.
17．某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．
(1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；
(2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望．
18．设抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，点Pa,4在抛物线C上，△POF（其中O为坐标原点）的面积为4．
(1)求a；
(2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为43，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标．
19．对于给定的正整数n，记集合Rn=αα=x1,x2,x3,⋅⋅⋅,xn,xj∈R,j=1,2,3,⋅⋅⋅,n，其中元素α称为一个n维向量．特别地，0=0,0,⋅⋅⋅,0称为零向量．设k∈R，α=a1,a2,⋅⋅⋅,an，β=b1,b2,⋅⋅⋅,bn∈Rn，定义加法和数乘：α+β=a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,an+bn，kα=ka1,ka2,⋅⋅⋅,kan．对一组向量α1，α2，…，αs（s∈N+，s≥2），若存在一组不全为零的实数k1，k2，…，ks，使得k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+ksαs=0，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
(1)对n=3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①α=1,1,1，β=2,2,2；②α=1,1,1，β=2,2,2，γ=5,1,4；③α=1,1,0，β=1,0,1，γ=0,1,1，δ=1,1,1．
(2)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量α+β，β+γ，α+γ是线性相关还是线性无关，并说明理由．
(3)已知mm≥2个向量α1，α2，…，αm线性相关，但其中任意m−1个都线性无关，证明下列结论：
①如果存在等式k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm=0（ki∈R，i=1,2,3,⋅⋅⋅,m），则这些系数k1，k2，…，km或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm=0，l1α1+l2α2+⋅⋅⋅+lmαm=0（ki∈R，l1∈R，i=1,2,3,⋅⋅⋅,m）同时成立，其中l1≠0，则k1l1=k2l2=⋅⋅⋅=kmlm．
月份编号x
1
2
3
4
5
销量y（万件）
50
96
142
185
227
参考答案：
1．D
【分析】由已知向量的坐标求出a+b的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．
【详解】∵a=(1,m),b=(3,−2),∴a+b=(4,m−2)，又(a+b)⊥b，
∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．
故选D．
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．
2．A
【分析】由空间中线线、线面、面面之间的位置关系逐一判定各选项即可.
【详解】若m⊥α，n⊥β，设α,β对应法向量分别为m,n，也是m,n的方向向量，由m⊥n，即m⊥n，则α⊥β，故A正确；
若m//n，m//α，n//β，则α与β可能平行或相交，故B错误；
若m⊥n，m//α，α⊥β，则n⊂β，或n//β，或n与β相交，故C错误；
若m//n，m⊥α，则n⊥α，又α⊥β，则n//β或n⊂β，D错误.
故选：A
3．B
【分析】根据等差数列的性质和前n项和公式运算.
【详解】因为数列an为等差数列，所以a4+2a9+a20=2a12+2a9=24，
所以a12+a9=12，所以S20=20a1+a202=10a1+a20=10a12+a9=120．
故选：B.
4．A
【分析】根据x的六种取值情况分别得出中位数，再利用古典概型概率公式即得.
【详解】当x=1,2,3时，这6个点数的中位数为3，当x=4时，这6个点数的中位数为4，当x=5,6时，这6个点数的中位数为4.5，
故由古典概型概率公式可得：P=16.
故选：A.
5．C
【分析】由周期公式求得ω，结合换元法即可求得最大值.
【详解】由题意T=2πω=π，解得ω=2，所以fx=cs2x+π3+1，
当x∈0,π2时，t=2x+π3∈π3,4π3，
所以fx在区间0,π2上的最大值为csπ3+1=32，当且仅当x=0时等号成立.
故选：C.
6．D
【分析】由已知结合余弦定理进行化简即可求解.
【详解】解：因为c＝2acsA，
由余弦定理可得c=2a⋅b2+c2−a22bc，将a＝3，b＝5代入整理得c=26，
所以csA=c2a=63.
故选：D.
7．D
【分析】根据双曲线渐近线方程可得∠AOF2=60°，可得AO=OF2=AF2=c，再结合椭圆定义及离心率公式可得解.
【详解】
如图所示，
由已知C2:x2m2−y23m2=1，则一条渐近线l:y=3x，
即∠AOF2=60°，
又F1F2=AB，
即OF2=OA，且四边形AF1BF2为矩形，
所以AO=OF2=AF2=c，
则AF1=3c，
又根据椭圆定义可知AF1+AF2=3c+c=2a，
所以离心率e=ca=23+1=3−1，
故选：D.
8．B
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数fx的解析式，再利用基本不等式可求得fx的最小值.
【详解】因为函数y=fx+ex为偶函数，则f−x+e−x=fx+ex，即fx−f−x=e−x−ex，①
又因为函数y=fx−3ex为奇函数，则f−x−3e−x=−fx+3ex，即fx+f−x=3ex+3e−x，②
联立①②可得fx=ex+2e−x，
由基本不等式可得fx=ex+2e−x≥2ex⋅2e−x=22，
当且仅当ex=2e−x时，即当x=12ln2时，等号成立，
故函数fx的最小值为22.
故选：B.
9．AB
【分析】对于A，由回归直线过样本中心点判断，对于B，将样本中心点代入回归方程求解，对于C，由b的值分析判断，对于D，将x=6代入回归方程求解.
【详解】对于A，因为x=1+2+3+4+55=3,y=50+96+142+185+2275=140，所以线性回归方程必过3,140，所以A正确；
对于B，由线性回归直线必过3,140，所以140=3b+7.1，解得b=44.3，所以B正确；
对于C，因为b=44.3>0，所以相关系数r>0，所以C错误；
对于D，当x=6时，y=6×44.3+7.1=272.9，所以可预测6月份的服装销量约为272.9万件，所以D错误．
故选：AB．
10．ABD
【分析】根据复数运算对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】设Z1=a+bi,Z2=c+di，a,b,c,d∈R，
则Z1+Z2=a+c−b+di=a−bi+c−di=Z1+Z2，A选项正确.
若Z1Z2=a+bic+di=ac−bd+ad+bci=0，
则ac−bd=0ad+bc=0，则a=b=0或c=d=0，所以Z1与Z2中至少有一个是0，B选项正确.
若Z12+Z22=0，则可能Z1=1,Z2=i，C选项错误.
Z1Z2=a+bic+di=ac−bd+ad+bci，
Z1Z2=ac−bd2+ad+bc2=ac2+bd2+ad2+bc2
=a2+b2c2+d2=a2+b2⋅c2+d2=Z1⋅Z2，D选项正确.
故选：ABD
11．BCD
【分析】根据圆C关于直线y=kx对称，得k得值，检验半径是否大于零，即可判断A；根据直线与圆相切的充要条件判断B；根据直线与圆的位置关系确定y+3x的最值即可判断C；根据直线与圆相切的切线长与切点弦关系可判断D.
【详解】解：圆C：x2+y2−2kx−2y−2k=0，整理得：x−k2+y−12=k+12，
所以圆心Ck,1，半径r=k+1>0，则k≠−1
对于A，若圆C关于直线y=kx对称，则直线过圆心，所以1=k2，得k=±1，又k=−1时，r=0，方程不能表示圆，故A是假命题；
对于B，对于圆C，圆心为Ck,1，半径r=k+1>0，则k≠−1，
当直线为x=−1时，圆心到直线的距离d=k−(−1)=k+1=r，
故存在直线x=−1，使得与所有的圆相切，故B是真命题；
对于C，当k=1时，圆的方程为x−12+y−12=4，圆心为C1,1，半径r=2
由于Px,y为圆C上任意一点，设y+3x=m，则式子可表示直线y=−3x+m，此时m表示直线的纵截距，
故当直线与圆相切时，可确定m的取值范围,
于是圆心C1,1到直线y=−3x+m的距离d=3+1−m12+32=r=2，解得m=3−3或m=5+3，
则3−3≤m≤5+3，所以y+3x的最大值为5+3，故C为真命题；
对于D，圆的方程为x−12+y−12=4，圆心为C1,1，半径r=2，
如图，连接AC,BC，
因为直线MA,MB与圆C相切，所以MA⊥AC,MB⊥BC，且可得MA=MB，又AC=BC=r=2，
所以MC⊥AB，且MC平分AB，所以S四边形MBCA=12CM⋅AB=2S△MAC=2×12MA⋅AC，
则CM⋅AB=2MA⋅AC=2CM2−r2×2=4CM2−4，则CM⋅AB最小值即CM的最小值，
即圆心C1,1到直线l:2x+y+2=0的距离d=CMmin=2+1+222+12=5，
所以CM⋅AB的最小值为4，故D为真命题.
故选：BCD.
12．[−3,3)
【分析】由题意，若A∪B=x|x>−2，则−2<1−a≤4，求解即可
【详解】由题意，集合A=x|−2若A∪B=x|x>−2
则−2<1−a≤4，解得−3≤a<3
故实数a的取值范围为[−3,3)
故答案为：[−3,3)
13．17/1:7
【分析】由题意，根据圆锥侧面积计算公式，求的圆锥底面半径、母线，结合三角形相似即可求出小圆锥和圆台的体积之比.
【详解】设圆锥底面半径为r，母线长为l，
由题意，l=4，2πr=4π，故r=2，
作圆锥轴截面如下图：
所以AH=2，AC=4，CH=23，所以圆锥体积为V=13π×22×23=83π3，
因为用与底面的距离为3的平面截圆锥，故CDCA=12，且△CDE∼△CAB，
所以小圆锥体积V1=13π×12×3=3π3，
所以圆台的体积V2=V−V1=73π3，
故小圆锥和圆台的体积之比为V1V2=17.
故答案为：17
14．19
【分析】由已知等式可得an+1=an+1或an+1=2an，首先求出数列an为等差数列或等比数列时正整数m的值，然后再讨论an为等差和等比交叉数列，要使m的值最小，可利用递推关系式所满足的规律进行推导得出结果.
【详解】根据an+1−an−1an+1−2an=0可知an+1=an+1或an+1=2an；
当an+1=an+1时，数列an是以a1=1为首项，1为公差的等差数列；
所以an=a1+n−1×1=n，
则am=m=2023，可得m=2023；
当an+1=2an时，数列an是以a1=1为首项，2为公比的等比数列；
所以an=a1⋅2n−1=2n−1，
则am=2m−1=2023，解得m=1+lg22023，不合题意，舍去；
若数列an为等差和等比交叉数列，又易知a1=1,a2=2；
若要使m的值最小，则am=1+2022，am−1=2022，am−2=1011，am−3=1010，am−4=505，
am−5=504，am−6=252，am−7=126，am−8=63，am−9=62，am−10=31，am−11=30，
am−12=15，am−13=14，am−14=7，am−15=6，am−16=3，am−17=a2=2，
此时m−17=2，即m=19<2023；
故正整数m的最小值为19.
故答案为：19
【点睛】关键点睛：本题考查根据数列中的规律求解数列中的项的问题，解题关键是能够根据递推关系式讨论若数列an为等差和等比各项交叉所得的数列，若要使m的值最小，则需尽可能利用an+1=2an对数列中的项进行缩减，进而利用首项求出m的值.
15．(1)a=2，b=1
(2)fxmax=0，fxmin=−e4+5
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得f′1=0f1=0，即可求出a、b的值；
（2）由（1）可得fx的解析式，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极小值，再求出区间端点的函数值，即可得解；
【详解】（1）解：∵函数fx=alnx−bx2+1，∴f′x=ax−2bx，
∵函数f(x)在x=1处与直线y=0相切，
∴ f′1=a−2b=0f1=−b+1=0，解得a=2b=1；
（2）解：由（1）可得fx=2lnx−x2+1，∴f′x=2x−2x=2−2x2x=21−x1+xx
所以当1e≤x<1时f′x>0，当1所以fx在1,e2上单调递减，在1e,1上单调递增，在x=1处取得极大值即最大值，
所以fxmax=f1=0，又f1e=2ln1e−1e2+1=−1e2−1>−2，fe2=2lne2−e22+1=−e4+5<−2
所以fxmin=fe2=−e4+5
16．(1)证明见解析
(2)15
【分析】（1）证明：取SA的中点F，连接CF,EF,CD，由题意可证得DE // CF，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）以O为坐标原点，OB,OS的方向分别为y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出平面SAC与平面SBD的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）证明：取SA的中点F，连接CF,EF,CD.
因为C,D为圆弧AB的两个三等分点，所以CD // AB,CD=12AB.
因为E,F分别为SB,SA的中点，所以EF // AB,EF=12AB，
则CD // EF,EF=CD，从而四边形CDEF为平行四边形，
故DE // CF.因为DE⊄平面SAC,CF⊂平面SAC，所以DE //平面SAC.
（2）解：以O为坐标原点，OB,OS的方向分别为y,z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB=SA=4，所以A0,−2,0,B0,2,0,C3,−1,0，D3,1,0,S0,0,23，
则AC=3,1,0,AS=0,2,23,BD=3,−1,0,BS= 0,−2,23.
设平面SAC的法向量为m=x1,y1,z1，
则m⋅AC=3x1+y1=0,m⋅AS=2y1+23z1=0,令x1=1，得m=1,−3,1.
设平面SBD的法向量为n=x2,y2,z2，
则n⋅BD=3x2−y2=0,n⋅BS=−2y2+23z2=0,令x2=1，得n=1,3,1.
设平面SAC与平面SBD所成锐二面角为θ，
则csθ=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=15.
故平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值为15.
17．(1)415；
(2)分布列见解析，193.
【分析】（1）利用古典概率公式即求；
（2）由题可知X的可能取值为5，6，7，8，然后利用求分布列的步骤及期望公式即得.
【详解】（1）从这6人中随机选出2人，共有C62=15种选法，
其中这2人参加志愿者活动次数相同的选法有C32+C22=4种．，
故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为415．
（2）由题可知，X的可能取值分别为5，6，7，8，
PX=5=C31C62=15，PX=6=C32+C21C62=13，
PX=7=C31C21C62=25，PX=8=C22C62=115．
故X的分布列为：
∴EX=5×15+6×13+7×25+8×115=193．
18．(1)a=2；
(2)证明见解析，定点−4,2．
【分析】（1）利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值；
（2）先设出直线l的方程l:x=my+t，并与抛物线方程联立，利用设而不求的方法求得m,t的关系，进而求得直线l过定点的坐标．
【详解】（1）因为点Pa,4在抛物线C上，所以16=2pa，即8=pa，
因为△POF的面积为4，所以12×p2×4=4，解得p=4，所以a=2．
（2）由（1）得C:y2=8x，P2,4．
当直线l斜率为0时，不适合题意；
当直线l斜率不为0时，设直线l:x=my+t，设Ax1,y1，Bx2,y2，
由y2=8xx=my+t，得y2−8my−8t=0，
则Δ>0⇒2m2+t>0，y1+y2=8m，y1y2=−8t，
因为直线PA，PB的斜率之和为43，
所以y1−4x1−2+y2−4x2−2=43，即y1−4y128−2+y2−4y228−2=43，
所以8y1+4+8y2+4=43，所以
13=2y1+4+2y2+4=2y1+y2+8y1+4y2+4=2y1+y2+8y1y2+4y1+y2+16
=28m+8−8t+4×8m+16，整理得m=−12t−2，
所以直线l:x=my+t=−12t−2y+t=t−12y+1−2y，
令−12y+1=0x+2y=0，解之得x=−4y=2，所以直线l过定点−4,2．
19．(1)①α,β线性相关，②α,β,γ线性相关，③α,β,γ,δ线性相关
(2)向量α+β，β+γ，α+γ线性无关，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据定义逐一判断即可；
（2）设k1α+β+k2β+γ+k3α+γ=0，则k1+k3α+k1+k2β+k2+k3γ=0，然后由条件得到k1=k2=k3=0即可；
（3）①如果某个ki=0，i=1,2,⋯,m，然后证明k1,k2,⋯ki−1,ki+1,⋅⋅⋅,km都等于0即可；
②由l1α1+l2α2+⋅⋅⋅+lmαm=0可得α1=−l2l1α2−⋅⋅⋅−lml1αm，然后代入k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm=0证明即可.
【详解】（1）对于①，设k1α+k2β=0，则可得k1+2k2=0，所以α,β线性相关；
对于②，设k1α+k2β+k3γ=0，则可得k1+2k2+5k3=0k1+2k2+k3=0k1+2k2+4k3=0，所以k1+2k2=0，k3=0
所以α,β,γ线性相关；
对于③，设k1α+k2β+k3γ+k4δ=0，则可得k1+k2+k4=0k1+k3+k4=0k2+k3+k4=0，
可取k1=k2=k3=1,k4=−2符合该方程，所以α,β,γ,δ线性相关；
（2）设k1α+β+k2β+γ+k3α+γ=0，则k1+k3α+k1+k2β+k2+k3γ=0
因为向量α，β，γ线性无关，所以k1+k3=0k1+k2=0k2+k3=0，解得k1=k2=k3=0
所以向量α+β，β+γ，α+γ线性无关
（3）证明：①k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm=0，如果某个ki=0，i=1,2,⋯,m
则k1α1+k2α2+⋯ki−1αi−1+ki+1αi+1+⋅⋅⋅+kmαm=0
因为任意m−1个都线性无关，所以k1,k2,⋯ki−1,ki+1,⋅⋅⋅,km都等于0
所以这些系数k1，k2，…，km或者全为零，或者全不为零
②因为l1≠0，所以l1,l2,⋅⋅⋅,lm全不为零
所以由l1α1+l2α2+⋅⋅⋅+lmαm=0可得α1=−l2l1α2−⋅⋅⋅−lml1αm
代入k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm=0可得k1−l2l1α2−⋅⋅⋅−lml1αm+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm=0
所以−l2l1k1+k2α2+⋅⋅⋅+−lml1k1+kmαm=0
所以−l2l1k1+k2=0，⋯，−lml1k1+km=0
所以k1l1=k2l2=⋅⋅⋅=kmlm
X
5
6
7
8
P
15
13
25
115