2022-2023学年广东省深圳市南山实验教育集团华侨城高级中学高一（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市南山实验教育集团华侨城高级中学高一（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣2＜0}，则集合A的真子集有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．（5分）函数y的定义域为（ ）
A．[，+∞）B．（﹣∞，3）∪（3，+∞）
C．[，3）∪（3，+∞）D．（3，+∞）
3．（5分）关于x的不等式2x﹣3＜8的解集为（ ）
A．（﹣∞，6）B．（3，+∞）C．（6，+∞）D．（﹣∞，3）
4．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）若函数为偶函数，则m＝（ ）
A．﹣2B．2C．D．
6．（5分）设a＝0.60.4，b＝0.40.6，c＝0.40.4，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞bB．a＞b＞cC．a＞c＞bD．b＞c＞a
7．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝ax+b的图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）已知是定义在R上的单调函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（共4小题，每小题5分。每小题有多个选项符合题意）
9．（5分）下列各组函数能表示同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．f（x）＝x+1与g（x）＝x+x0
D．与g（x）＝x0
（多选）10．（5分）已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点（2，4），则下列判断中正确的是（ ）
A．函数图象经过点（﹣1，1）
B．当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]
C．函数满足f（x）+f（﹣x）＝0
D．函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0]
（多选）11．（5分）已知集合M＝{2，﹣5}，N＝{x|mx＝1}，M∪N＝M，则实数m的值可以是（ ）
A．B．0C．D．2
（多选）12．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，已知函数f（x）（a＞1），则关于函数g（x）＝[f（x）]的叙述中正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数B．g（x）是偶函数
C．f（x）在R上是增函数D．g（x）的值域是{﹣1，0}
三、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）已知函数f（x），则f（f（﹣1））＝ ．
14．（5分）已知函数，若f（t）＝4，则f（﹣t）＝ ．
15．（5分）已知“∃x0∈R，使得2x2+ax0”是假命题，则实数的a取值范围为 ．
16．（5分）已知x，y＞0，且，则x+y的最小值为 ．
四、解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）设集合A＝{x|﹣3≤x≤4}，B＝{x|m﹣1≤x≤3m﹣2}．
（1）当m＝3时，求A∩B；
（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）的图像关于原点对称，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x+3
（1）试求f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数的图像，根据图像写出它的单调区间．
19．（12分）已知函数f（x）＝b⋅ax（a＞0，且a≠1，b∈R）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意x∈（﹣∞，1]，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
20．（12分）已知x＞0，y＞0，且．
（1）求x+y的最小值；
（2）若xy＞m2+6m恒成立，求实数m的取值范围．
21．（12分）已知函数是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明：函数f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增；
（3）若f（a+1）+f（1﹣2a）＞0，求实数a的取值范围．
22．（12分）设函数y＝f（x）（x∈R），当x＞0时，f（x）＞1，且对任意实数x1，x2满足f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），当x1≠x2时，f（x1）≠f（x2）．
（1）求证：函数y＝f（x）在R上为单调递增函数；
（2）当x1≠x2时，试比较与的大小．
2022-2023学年广东省深圳市南山实验教育集团华侨城高级中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分。每小题只有一个选项符合题意）
1．（5分）设集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣2＜0}，则集合A的真子集有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【解答】解：∵集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣2＜0}＝{x∈N|﹣1＜x＜2}＝{0，1}，
∴集合A的真子集有22﹣1＝3（个）．
故选：A．
2．（5分）函数y的定义域为（ ）
A．[，+∞）B．（﹣∞，3）∪（3，+∞）
C．[，3）∪（3，+∞）D．（3，+∞）
【解答】解：函数y，
∴，
解得x且x≠3；
∴函数y的定义域为[，3）∪（3，+∞）．
故选：C．
3．（5分）关于x的不等式2x﹣3＜8的解集为（ ）
A．（﹣∞，6）B．（3，+∞）C．（6，+∞）D．（﹣∞，3）
【解答】解：∵2x﹣3＜8，
∴2x﹣3＜23，
根据指数函数的性质可知，x﹣3＜3，得x＜6，
故选：A．
4．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，
故“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，
故选：A．
5．（5分）若函数为偶函数，则m＝（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【解答】解：由题意，函数是偶函数，故有恒成立
整理得恒成立
故有
解得m
故选：D．
6．（5分）设a＝0.60.4，b＝0.40.6，c＝0.40.4，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞bB．a＞b＞cC．a＞c＞bD．b＞c＞a
【解答】解：∵指数函数y＝0.4x，为减函数，
∴0.40.6＜0.40.4，
即b＜c，
∵幂函数y＝x0.4，为增函数，
∴0.60.4＞0.40.4
即a＞c，
∴a＞c＞b．
故选：C．
7．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝ax+b的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由函数的图象可知，﹣1＜b＜0，a＞1，则g（x）＝ax+b为增函数，
g（0）＝1+b＞0，g（x）过定点（0，1+b），
故选：C．
8．（5分）已知是定义在R上的单调函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：当x≥1时，f（x）＝﹣x﹣4a，在[1，+∞）上单调递减，
∴是定义在R上的减函数，
∴，解得，
故选：D．
二、多选题（共4小题，每小题5分。每小题有多个选项符合题意）
9．（5分）下列各组函数能表示同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．f（x）＝x+1与g（x）＝x+x0
D．与g（x）＝x0
【解答】解：对于A，x与对应法则不一致，不是同一函数，故A错误；
对于B，的定义域为{x|x≠±1}，的定义域为{x|x≠1}，
∴与不是同一函数，故B错误；
对于C，f（x）＝x+1的定义域是R，g（x）＝x+x0的定义域是{x|x≠0}，
∴f（x）＝x+1与g（x）＝x+x0不是同一函数，故C错误；
对于D，与g（x）＝x0定义域都是{x|x≠0}，对应法则一致，是同一函数，故D正确．
故选：D．
（多选）10．（5分）已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点（2，4），则下列判断中正确的是（ ）
A．函数图象经过点（﹣1，1）
B．当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]
C．函数满足f（x）+f（﹣x）＝0
D．函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0]
【解答】解：∵幂函数f（x）＝xa的图象经过点（2，4），∴2a＝4，∴a＝2，f（x）＝x2．
由于f（﹣1）＝1，故函数f（x）的图象经过点（﹣1，1），故A正确；
当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]，故B正确；
显然，f（x）为偶函数，满足f（x）＝f（﹣x），故C错误；
利用函数f（x）的图象，可得f（x）的单调减区间为（﹣∞，0]，故D正确，
故选：ABD．
（多选）11．（5分）已知集合M＝{2，﹣5}，N＝{x|mx＝1}，M∪N＝M，则实数m的值可以是（ ）
A．B．0C．D．2
【解答】解：∵M∪N＝M，
∴N⊆M，则N＝∅或N≠∅，
当N＝∅，则m＝0，
当N≠∅，则m或，
综上所述：m或或0，
故选：ABC．
（多选）12．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，已知函数f（x）（a＞1），则关于函数g（x）＝[f（x）]的叙述中正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数B．g（x）是偶函数
C．f（x）在R上是增函数D．g（x）的值域是{﹣1，0}
【解答】解：∵f（x）（a＞1），x∈R，
∴f（﹣x）+f（x）1＝0，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x）是奇函数，故A正确；
又f（x）为R上的增函数，故C正确；
∵a＞1，∈（0，1），
∴f（x）∈（，），
∴g（x）＝[f（x）]＝{﹣1，0}，故D正确；
又f（﹣1）∈（，0），f（1）∈（0，），
∴g（﹣1）＝﹣1，g（1）＝0，g（﹣1）≠g（1），
∴g（x）不是偶函数，故C错误；
故选：ACD．
三、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）已知函数f（x），则f（f（﹣1））＝ 9 ．
【解答】解：∵函数f（x），
∴f（﹣1）＝（﹣1）2+1＝2，
∴f（f（﹣1））＝f（2）＝32＝9，
故答案为：9．
14．（5分）已知函数，若f（t）＝4，则f（﹣t）＝ ﹣10 ．
【解答】解：根据题意，函数，则f（﹣x）＝﹣x3﹣2x3，
则有f（x）+f（﹣x）＝﹣6，
若f（t）＝4，则f（﹣t）＝﹣6﹣4＝﹣10．
故答案为：﹣10．
15．（5分）已知“∃x0∈R，使得2x2+ax0”是假命题，则实数的a取值范围为 （﹣2，2） ．
【解答】解：“∃x0∈R，使得2x2+ax0”是假命题，
所以它的否定命题：“∀x∈R，使得2x2+ax0”是真命题，
所以Δ＝a2﹣4×20，解得﹣2＜a＜2，
所以实数的a取值范围是（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
16．（5分）已知x，y＞0，且，则x+y的最小值为 5 ．
【解答】解：x，y＞0，且，
则x+y＝x+3+y﹣3，
＝2[（x+3）+y]（）﹣3＝2（2）﹣3，
5，
当且仅当且，即y＝4，x＝1时取等号，
则x+y的最小值为5．
故答案为：5．
四、解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）设集合A＝{x|﹣3≤x≤4}，B＝{x|m﹣1≤x≤3m﹣2}．
（1）当m＝3时，求A∩B；
（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝3时，B＝{x|2≤x≤7}，A＝{x|﹣3≤m≤4}，
则A∩B＝{x|2≤x≤4}；
（2）若A∩B＝B，则B⊆A，
①B＝∅时，可得m﹣1＞3m﹣2，得m，
②B≠∅时，可得，得，
综上，m≤2，
故实数m的取值范围为（﹣∞，2]．
18．（12分）已知函数f（x）的图像关于原点对称，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x+3
（1）试求f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数的图像，根据图像写出它的单调区间．
【解答】解：（1）因为函数y＝f（x）的图像关于原点对称，
所以f（x）为奇函数，则f（0）＝0，
设x＜0，则﹣x＞0，
因为当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x+3，
所以当x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2+2x+3）＝﹣x2﹣2x﹣3，
则；
（2）函数图像如下：
由图像可知，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，0），（0，1）．
19．（12分）已知函数f（x）＝b⋅ax（a＞0，且a≠1，b∈R）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意x∈（﹣∞，1]，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，函数f（x）＝b⋅ax（a＞0，且a≠1，b∈R）的图象经过点A（1，6），B（3，24），
可得，解得a＝2，b＝3，
所以f（x）的解析式为f（x）＝2•3x；
（2）由对任意x∈（﹣∞，1]，不等式恒成立，
即对任意x∈（﹣∞，1]，不等式（）x≤2m+3恒成立，
设g（x）＝（）x，则g（x）在x∈（﹣∞，1]上为单调递增函数，
所以g（x）max＝g（1），
所以2m+3，解得m，
即实数m的取值范围[，+∞）．
20．（12分）已知x＞0，y＞0，且．
（1）求x+y的最小值；
（2）若xy＞m2+6m恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）因为x＞0，y＞0，
所以，
当且仅当，即x＝3，y＝6时取等号，
所以x+y的最小值为9．
（2）因为x＞0，y＞0，
所以，
所以xy≥16．
因为xy＞m2+6m恒成立，
所以16＞m2+6m，
解得﹣8＜m＜2，
所以m的取值范围为（﹣8，2）．
21．（12分）已知函数是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明：函数f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增；
（3）若f（a+1）+f（1﹣2a）＞0，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数是定义在（﹣2，2）上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），即，化简整理可得，﹣ax+b＝﹣ax﹣b，解得b＝0，
∴，
又∵，即，
∴a＝1，
∴．
（2）证明：∀x1，x2∈（﹣2，2），且x1＜x2，
，
∵﹣2＜x1＜x2＜2，
∴x2﹣x1＞0，x1x2﹣4＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．
（3）∵f（x）为奇函数，
又∵f（a+1）+f（1﹣2a）＞0，
∴f（a+1）＞﹣f（1﹣2a）＝f（2a﹣1），
又∵函数f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增，
∴，解得，
故实数a的取值范围是．
22．（12分）设函数y＝f（x）（x∈R），当x＞0时，f（x）＞1，且对任意实数x1，x2满足f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），当x1≠x2时，f（x1）≠f（x2）．
（1）求证：函数y＝f（x）在R上为单调递增函数；
（2）当x1≠x2时，试比较与的大小．
【解答】解：（1）证明：令x1＝1，x2＝0，得f（1）＝f（1）•f（0），
由题意知f（1）≠0，所以f（0）＝1．
当x＜0时，﹣x＞0，f（0）＝f（﹣x）•f（x）＝1，进而得0＜f（x）＜1．
设x1，x2∈R且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞1，
f（x2）﹣f（x1）＝f（x1+（x2﹣x1））﹣f（x1）＝f（x1）[f（x2﹣x1）﹣1]＞0．
即f（x2）＞f（x1），所以y＝f（x）是R上的增函数．
（2）f（x1）＝f（）＝[f（）]2，
同理f（x2），{}，
而f（）f（），
因为x1≠x2，所以{}﹣f（）f（）
[f（）﹣f（）]2＞0，
即．
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