广东省湛江市第二十一中学2024−2025学年高一下学期4月月考数学试题（含解析）

这是一份广东省湛江市第二十一中学2024−2025学年高一下学期4月月考数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量不共线，，且，则实数（ ）
A．1或4B．1或C．或1D．或1
4．已知向量，则（ ）
A．1B．C．D．2
5．在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
6．已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（ ）
A．B．C．D．
8．若函数对任意都有，且当时，，则（ ）
A．B．8C．D．12
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知平面向量，下列说法不正确的有（ ）
A．若，，则B．
C．D．若，则
10．已知复数，则（ ）
A．的虚部为
B．
C．在复平面内的对应点位于直线上
D．为方程的一个根
11．在中，设角所对的边分别为，则下列命题一定成立的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，，，则有唯一解
C．若是锐角三角形，，，设的面积为S，则
D．若是锐角三角形，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．设向量，且⊥，则向量的模为
13．在中，，，，则 .
14．若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．化简求值：
(1);
(2)已知，计算.
16．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）.
(1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；
(2)设备占地面积为多少时，的值最小？
17．已知．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
18．在锐角中，角的对边分别为，，，已知且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积；
(3)求的取值范围．
19．已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若，求在区间上的最大值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由，
又由，可得，所以.
故选D.
2．【答案】A
【分析】根据题意，由虚数单位的周期性将复数化简，再由复数的除法运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以，
则.
故选A.
3．【答案】B
【详解】因为，且，
所以，即，
又向量不共线，得到，
消得到，解得或，
故选B.
4．【答案】C
【分析】根据题意可得，，结合模长关系运算求解即可.
【详解】因为，则，
又因为，即，
所以，即.
故选C.
5．【答案】D
【详解】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选D.
6．【答案】C
【详解】因为，所以，即，
又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：，
所以在上的投影向量为.
故选C.
7．【答案】A
【分析】设出圆锥底面圆半径，表示出圆锥母线长，再利用圆锥侧面积公式计算即得.
【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，则，解得，
由圆锥的侧面积为，得，即，所以.
故选A.
8．【答案】A
【详解】因为，所以，所以周期为6，
当时，，.
故选A.
9．【答案】AB
【详解】对于A，当时，
满足，，但不一定成立，选项A错误；
对于B，因为是常数，则表示与共线的向量；
同理表示与共线的向量，所以与关系不确定，选项B错误；
对于C，，选项C正确；
对于D，由得，，
即，
，即，选项D正确.
故选AB
10．【答案】BCD
【详解】对于A，，故，其虚部为，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于直线上，故C正确；
对于D，易得，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】BCD
【详解】，
，
，
为锐角，但不能确定角是否为锐角，
故不一定是锐角三角形，故错误；
由正弦定理得，
，
，
有唯一解，故正确；
，
，，
，
又，解得，
，，
，
，
，即，故正确；
是锐角三角形，，
又，
，，
又在上单调递增，
，，
，故正确；
故选.
12．【答案】
【详解】向量，
由⊥得=0即
解得x=-3,则
|.
13．【答案】
【详解】由正弦定理得：，则，
又因为，则，所以.
14．【答案】
【详解】由题意，“若，则”为真命题，
故实数的取值范围是.
15．【答案】(1)6；
(2)
【详解】（1）原式.
（2），
.
16．【答案】(1)
(2)设备占地面积为时，y的值最小
【详解】（1）由题意得，
令即，整理得即，
所以解得，
所以设备占地面积的取值范围为.
（2），
当且仅当即时等号成立，
所以设备占地面积为时，的值最小.
17．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，
，
因为
所以，
（2）由（1）知，，
因为
所以当时，的最小值为
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解；
（2）先利用余弦定理求得，进而可求面积；
（3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性运算求解.
【详解】（1）因为，
且，则，可得，
整理得，所以.
（2）由余弦定理，即，
解得或（舍去），
所以的面积.
（3）由正弦定理，可得，
则
，
因为为锐角三角形，且，则，解得，
则，可得，
则，
所以的取值范围为.
19．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）当时，，
，由，可得，解得，
即当时，函数的零点为；
（2）令，即求在区间上的最大值．
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则；
②当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，，，则；
③当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
此时，，则；
④当时，即当时，函数在区间上单调递减，
所以，.
综上所述，.