广东省茂名市2024−2025学年高一下学期第一次校际联考 数学试题（含解析）

这是一份广东省茂名市2024−2025学年高一下学期第一次校际联考 数学试题（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数的虚部是（ ）
A．iB．C．1D．
2．在平行四边形ABCD中，（ ）
A．B．
C．D．
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则（ ）
A．60°B．75°C．60°或120°D．15°或75°
5．在中，是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1B．
C．D．
6．已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
7．在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
8．已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（ ）
A．－14B．14C．－2D．2
二、多选题（本大题共3小题）
9．在中，角，，的对边分别为，，，则（ ）
A．若，则
B．若，，则外接圆的半径为2
C．若，则为钝角三角形
D．若，则点是的重心
10．函数的图象为，则以下结论中正确的是（ ）
A．图象关于直线对称B．图象关于点对称
C．函数在区间内是增函数D．是偶函数
11．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式指数函数定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联．在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项中正确的是（ ）
A．对应的点位于第四象限B．为纯虚数
C．的模长等于D．的共轭复数为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，若，则 .
13．i是虚数单位，则为 .
14．将函数的图象向左平移个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的最小值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．若复数，当实数m为何值时
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点在第二象限．
16．已知向量，．
(1)求的坐标及；
(2)若与共线，求实数的值．
17．在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
18．已知向量，函数.
(1)求的最小正周期；
(2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.
19．意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，
(1)证明：是奇函数；
(2)判断在上的单调性(无需严格证明)；
(3)若实数m满足不等式，求m的取值范围？
参考答案
1．【答案】C
【详解】由复数，根据复数的定义，可得复数的虚部为.
故选C.
2．【答案】B
【详解】在平行四边形ABCD中，，
而，，
，
.
故选B.
3．【答案】D
【详解】由题意可得，所以函数的图象向右平移个单位长度可得.
故选D.
4．【答案】C
【详解】由正弦定理得，，即，所以或，
当时，，成立；当时，，成立.
故选C.
5．【答案】D
【详解】解：∵是的中点，，为的中点，
∴
，
∵，∴，，
∴，
故选D.
6．【答案】D
【详解】在方向上的投影为，
又方向上的单位向量为，
故在方向上的投影向量是.
故选D.
7．【答案】D
【详解】因为，由正弦定理可得，即，
所以，可得或，
所以或，所以的形状为等腰或直角三角形.
故选D．
8．【答案】B
【详解】，，，
，，
两个非零向量与的夹角为，，
，，
.
故选B.
9．【答案】BCD
【详解】对于A：若，，满足，但是，，故A错误；
对于B：由正弦定理，所以，即外接圆的半径为，故B正确；
对于C：由余弦定理，又，
所以为钝角，故为钝角三角形，故C正确；
对于D：取中点，则，又，
所以，所以在中线上，且，所以为的重心，故D正确；
故选BCD.
10．【答案】BC
【详解】对于A选项，因为，故图象不关于直线对称，A错；
对于B选项，因为，故图象关于点对称，B对；
对于C选项，当时，，
所以，函数在区间内是增函数，C对；
对于D选项，为奇函数，D错.
故选BC.
11．【答案】BC
【详解】对于A，，对应的点位于第二象限，A错误；
对B， ，故为纯虚数，B正确；
对于C，的模长等于，C正确；
对于D， ，其共辄复数为，D错误，
故选BC.
12．【答案】/
【详解】因为，所以，解得.
13．【答案】
【详解】,.
14．【答案】/
【详解】先求平移后函数解析式：对于函数，图象向左平移个单位.根据函数图象平移规律“左加右减”，也就是给加上平移的单位数.
所以平移后函数的解析式是.
已知所得图象关于直线对称.
则. 得到.
因为，当时，不符合要求.
当时，，所以的最小值是.
15．【答案】(1)或2
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可得：
解得：或2；
（2）由题意可得：，且，
∴或，且且，
∴；
（3）由题意可得：
解得：．
16．【答案】(1)
(2)1或
【详解】（1）由题意，，所以，
所以.
（2）由题意与平行，
所以当且仅当，化简得，
解得，即实数的值为1或-1.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
18．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，，
的最小正周期.
（2）由题知在区间上恰有两个不同的实数根，
即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点，
令，
作出的图象与直线，如图，
由图知，当时，的图象与直线有两个交点，
所以实数的取值范围为.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)增函数
(3)
【详解】（1）由题意可知，的定义域为，
因为，所以为奇函数；
（2）因为，
而在上为增函数，
所以在上为减函数，
所以由复合函数的单调性可知在上为增函数；
（3），所以，
由于在上单调递增，所以，
所以，解得，
所以的取值范围是.