广东省东莞市众美中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份广东省东莞市众美中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列的通项公式为，若存在正常数，使得对一切都成立，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
3．已知数列是等差数列，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
4．在等差数列中，前项和为，若，则（ ）
A．18B．33
C．36D．40
5．在等差数列中，公差，，下列说法正确的是（ ）
A．是与的等比中项B．是与的等比中项
C．是与的等比中项D．是与的等比中项
6．设数列满足，，，为的前项和，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：
①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同；
②汽车在时间段内不断加速行驶；
③汽车在时间段内不断减速行驶；
④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度.
其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A．B．C．2D．1
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知数列的通项公式为，则（ ）
A．
B．中的最小项为
C．从第三项起，的每一项都大于它的前一项
D．数列为等差数列
10．已知正项等比数列的公比为，若，且，则（ ）
A．B．
C．是数列中的项D．成等差数列
11．是定义在上的连续可导函数，其导函数为，下列命题中正确的是（ ）
A．若为偶函数，则为奇函数
B．若的图象关于点中心对称，则的图象关于直线轴对称
C．若的周期为T，则的周期也为T
D．若，为奇函数，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．在数列中，，则数列前10项和的值为 ．
13．用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 .
14．若函数在处的切线与的图象有三个公共点，则k的范围 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列 满足
(1)求数列的通项公式
(2)若数列 满足 ，求数列的前 项和
16．已知正项等比数列满足条件.
(1)求的通项公式；
(2)设，求的最大值及取最大值时的取值.
17．在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）．
(1)求及；
(2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．
18．已知函数.
(1)求在区间上的平均变化率；
(2)求曲线过点的切线方程.
19．已知函数．
(1)求；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)若直线与曲线相切于点，求k的值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为
所以当，即时，，所以.
当，即时，，所以.
且时，数列为递减数列，
所以该数列的前50项中最大项是.
故选C.
2．【答案】C
【详解】令，
则，
所以单调递减，．
故选C．
3．【答案】A
【详解】设数列的公差为d，由，得，
整理得，
把该式看作关于d的一元二次方程，
则，解得．
故选A．
4．【答案】B
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
因为，可得，
所以，解得.
故选B.
5．【答案】A
【详解】因为，得到，所以
对于选项A，因为，，，又，所以，
则，，构成等比数列，故选项A正确，
对于选项B，因为，，，又，但，所以选项B错误，
对于选项C，因为，，，所以，，不构成等比数列，故选项C错误，
对于选项D，因为，，，又，但，所以选项D错误，
故选A.
6．【答案】D
【详解】令由，得到，
即，又，，则，，
所以，则，又，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，则，
由，得到，即，又，所以，
故选D.
7．【答案】C
【详解】根据题意，
①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确；
②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确；
③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确；
④汽车在时刻的瞬时速度为0，在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④不正确．
故选C．
8．【答案】D
【分析】根据已知求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．
【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，即.
所以，，，.
故选D．
9．【答案】ABD
【详解】，
对于A，，则，故A正确；
对于B，当时，中的最小项为，故B正确；
对于C，由上计算得，显然从第三项起，的每一项不一定大于它的前一项，故C错误；
对于D，由，
显然，
所以是公差为4的等差数列，故D正确.
故选ABD.
10．【答案】BC
【详解】由，可得，
所以，A错误‘
所以，B正确；
所以，
，故C正确；
由，可得，显然不是等差数列，D错误；
故选BC
11．【答案】ABD
【详解】对A，因为为偶函数，所以，都有，
两边同时求导，，即，则为奇函数，A正确；
对B，因为的图象关于点中心对称，故，
两边对求导可得，，
即，所以的图象关于直线轴对称，B正确；
对C，因为的周期为T，则，故，（为常数），
所以当时，不是的周期，C错误；
对D，由可得，函数的图象关于点中心对称，
因是定义在上的连续可导函数，故，
又为奇函数，则的图象关于原点对称，
故的图象关于点中心对称，即，
故，D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】因为，所以，
所以.
13．【答案】
【详解】因为，且可知：的第一个取值为，
由题意可知，当时，，
所以第一步需验证的不等式为．
14．【答案】
【详解】，，，所以切线方程为，
，，，
当，，单调递减，当，，单调递增，
所以当时，取得最小值，，
所以与只有1个交点，交点坐标为，
由题意可知：在有两个不同的解，
，，
函数在区间单调递减，在区间单调递增，
且在区间的值域为，
若与在区间有两个交点，
则的范围为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得，
故当时，，
，
，
…….
，
累加后可得，
所以，
当时，代入成立，
所以数列的通项公式为.
（2），
当时，，
此时
；
当时，，
，
综上
16．【答案】(1)
(2)；或11
【详解】（1）设的公比为q，
由题意得，所以，
，
所以，．
所以．
（2）．
二次函数的图象的对称轴为，
所以当或11时，取得最大值，且最大值为．
故的最大值为，取最大值时的取值为10或11.
17．【答案】(1)，．
(2)，证明见解析
【详解】（1）由已知条件得，
所以
，，可得：，
，，可得：，
，，可得：；
（2）由（1）的计算可以猜想．
下面用数学归纳法证明：
①当时，由已知可得结论成立；
②假设当且时猜想成立，
即．
则当时，
，
，
因此当时，结论也成立．
由①②知，对一切都有成立．
18．【答案】(1)4049
(2)或
【详解】（1）因为，
所以在区间上的平均变化率为
.
（2）易知直线与曲线不相切，故设切点为，，
由于，所以在点外的切线方程为：，
由切线经过点得：，
即，解得或，
当时，切点为，，
此时满足题意的切线方程为，显然它过点，
当时，切点为，，
此时满足题意的切线方程为，即，显然它过点，
综上所述，满足题意的切线方程为或.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），．
（2）由（1）可得，则切点坐标为，
又，
因此，曲线在点处的切线方程为，即．
（3）直线过原点，则，
由点在曲线上，得，．
又，所以，
又，，整理得，
，，则．