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2023-2024学年广东省东莞市东莞中学松山湖学校高一上学期12月段考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年广东省东莞市东莞中学松山湖学校高一上学期12月段考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简集合B，结合集合交集的定义运算即可.
【详解】，则.
故选：B
2．若命题“”为真命题，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】命题为真命题转化为二次不等式有解问题，再转化为二次函数图象与轴有交点得，由此解得的取值范围.
【详解】由题意，不等式有解.
即不等式有解.
设，则函数图象开口向上，
要使不等式有解，则函数图象与轴有交点，
则，化简得，
解得，或.
故选：D.
3．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知：在内为增函数，根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断.
【详解】因为在内均为增函数，则在内为增函数，
可知在内至多有一个零点，
又因为，结合选项可知的唯一零点在内.
故选：C.
4．“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由“关于x的不等式对恒成立”解出的取值范围，结合选项再逐一判断，即可得到答案.
【详解】解：由“关于x的不等式对恒成立”，
可得，解得：，
对于A，“”是“关于x的不等式对恒成立”的充要条件；
对于B，“”是“关于x的不等式对恒成立”的必要不充分条件；
对于C，“”是“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件；
对于D，“”是“关于x的不等式对恒成立”的既不充分也不必要条件.
故选：B.
5．已知，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数单调性结合中间值“0”和“1”可得的大小关系，再结合的单调性分析判断.
【详解】因为在内单调递增，则，即；
在内单调递增，则，即；
在内单调递减，则，所以；
综上所述：.
又因为在内单调递增，所以.
故选：A.
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．
【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．
故选：A.
【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．
7．函数（且）的图象定点，若对任意正数，都有，则的最小值为（ ）
A．4B．2C．D．1
【答案】D
【分析】由得过定点，则，再由“”的代换，利用基本不等式求最值.
【详解】由（且），
令，则，
即的图象恒过定点，则，
由，所以，，
又，
则
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
8．已知函数，若方程有4个不同的零点，且，则（ ）．
A．10B．8C．6D．4
【答案】B
【分析】作出f(x)图像，由图可知方程的4个不同的零点为函数y＝f(x)与函数y＝m图像的四个交点的横坐标，由图可知，且.
【详解】作函数的图像如图，
有四个不同的实根且，可得，
且，即为，
即有，即为，
可得.
故选：B.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】利用不等式的运算法则与性质即可求解.
【详解】对于A：当，，故A错误；
对于B：，，故B正确；
对于C：当，时，
则，，，
则，故C错误；
对于D：，，故D正确；
故选：BD.
10．已知关于的不等式的解集为或，则（ ）
A．B．
C．D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】根据不等式解的结构形式，可得，且方程的两个根为，根据韦达定理，继而可判断A,B；对于C，代入即可判断，故C正确；对于D，直接利用分式不等式的解法求解即可.
【详解】根据题意可知，，且方程的两个根为，
由韦达定理知，所以，
由，得，即，
故A错误，B正确；
因为，故C正确；
不等式可化为，
即，且，
所以不等式的解集为，故D正确，
故选：BCD.
11．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．函数的最小值为0
D．当时，，则a的取值范围为
【答案】BC
【分析】根据函数新定义结合函数解析式，作出函数的图象，数形结合，可判断A，B，C；由图象得出时函数的最大值，结合不等式恒成立即可求得a的范围，判断D.
【详解】在同一坐标系作出和的图象如图所示，
联立可得，即得图中，由对称性可得，
则，其图象是图中实线部分．
则，故A错误；
由图象可知函数为偶函数，函数的最小值为0，无最大值，B，C正确；
当时，，由于，所以，D错误，
故选：BC
12．若定义在上的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“特征函数”.下列结论正确的是（ ）
A．是常数函数中唯一的“特征函数”
B．是“特征函数”
C．不是“特征函数”
D．“特征函数”至少有一个零点
【答案】BCD
【分析】根据“特征函数”的定义逐个分析判断
【详解】对于选项A：设是一个“特征函数”，则，
当时，，因此不是常数函数中唯一的“特征函数”，故A不正确；
对于选项B：若是一个“特征函数”，
则对任意实数x恒成立，即，
令，则由两函数的图象可知，两图象有一个交点，
所以有解，故B正确.
对于选项C：因为，
即，要使该式恒成立，则，
而该方程无解，故C正确；
对于选项D：令，得，所以，
若，显然有实数根；
若，则，
又因为的函数图象是连续不断的，所以在上必有实数根，
因此任意“特征函数”至少有一个零点，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题
13．已知函数，则 .
【答案】
【分析】利用分段函数的解析式代入直接计算即可.
【详解】易知，故.
故答案为：.
14．计算 .
【答案】2
【分析】利用指数及对数运算法则计算即可求得结果.
【详解】根据题意可得：
；
故答案为：2
15．若函数是上的单调函数，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意结合二次函数性质可得函数是上的单调递减函数，根据分段函数单调性列式求解.
【详解】因为开口向上，由题意可得：函数是上的单调递减函数，
则，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由奇函数定义域关于原点对称可得，由奇函数性质利用换元法解不等式即可得，可求出m的取值范围.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，解得，
当时，，
解不等式，可得或，
又因为，可得；
当时，则，可得，
解不等式，无解；
由，可得，解得，
即m的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，分别求出集合、，即可求出.
（2）根据，课确定，然后分和分别确定的取值范围，再合并在一起.
【详解】（1）由，解得：，所以.
当时，，
所以.
故答案为：.
（2）因为，所以.
当时，，解得：；
当时，要满足题意需，解之得：.
综上：实数的取值范围为.
故答案为：
18．已知幂函数在上单调递增，函数.
(1)求的值；
(2)记，在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围.
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义和性质列式求解；
（2）求出的值域和的值域，根据题目条件得到，得到不等式，求出实数k的取值范围.
【详解】（1）由题意可得，解得.
（2）由（1）得在上单调递增，且，
当时，的值域为，即.
又因为在为单调递减，且，
所以的值域.
因为是的必要条件，则，
可得，解得，所以的取值范围是.
19．设（，且）其图象经过点，又的图象与的图象关于直线对称．
(1)若在区间上的值域为，且，求c的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点代入解析式，即可求出，根据其单调性得，则，解出即可；
（2）根据指数函数与对数函数的关系得，则有，则.
【详解】（1）因为（，且）的图象经过点，
所以，所以，所以，所以，
因为在区间上单调递增，则，
因为，所以，所以，
即，解得.
（2）的图象与的图象关于直线对称，
，若，则，，
所以，所以.
20．已知函数.
(1)若的定义域和值域均是，求实数的值；
(2)若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先确定单调性，根据单调性列方程组求解；
（2）求出函数和的值域，根据题意得到值域之间的包含关系，进而可列不等式求解.
【详解】（1）因为，可知的开口向上，对称轴为，
则在上单调递减，且，所以在上单调递减，
可得，解得；
（2）因为，
又因为在上单调递增，可知在上单调递增，
且，所以当时，，
又因为在上单调递减，且，
所以当时，，
因为对任意的，都存在，使得成立，
则可得，解得，
所以实数的取值范围为.
五、应用题
21．某企业生产大型空气净化设备，年固定成本500万元，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足150台，则；若年产量不小于150台，则，每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业所获利润最大？
【答案】(1)
(2)200台
【分析】（1）分两种情况写出函数的解析式，再综合即得解；
（2）求出分段函数的每一段的最大值，再比较即得解.
【详解】（1）依题意，若年产量不足150台，即，
另外投本，固定投本500万，总收入万元，
故利润；
若年产量不小于150台，即，
另外投本，固定投本500万，总收入万元，
故利润，
综上所述：.
（2）若时，则，
可知当时，；
若时，则，
当且仅当，即时，等号成立，
可知当时，；
又因为，所以当年产量为200台时，该企业所获利润最大.
六、解答题
22．已知函数是奇函数，且过点．
(1)求实数m和a的值；
(2)设，是否存在正实数t，使关于x的不等式对恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，
【分析】（1）根据奇函数的性质可求得，从而可得解；
（2）由（1）可得，再用整体换元思想将函数转化为二次函数，再分类讨论，讨论时和若时函数的单调性，从而可解决函数在上恒成立问题.
【详解】（1）因为是定义域为R的奇函数，
∴，∴，检验符合.
∴．
又因为过点，
∴ ，
∴
（2）由（1）得，
因为，令，∴，
记，∵函数在上恒成立，
∴（ⅰ）若时，函数在上为增函数，
所以为减函数，
则需函数恒成立，即恒成立．
由于对称轴，函数在区间上为增函数，
∴恒成立，∴恒成立，则恒成立，
故合题意
（ⅱ）若时，则需在恒成立，则：
①
②
③
综上所述：故存在正数，使函数在上恒成立
【点睛】关键点睛：第二小问中，用换元法令，将复杂函数转化为二次函数是关键，再利用分类讨论思想解决函数不等式上恒成立的问题，本题考查了函数的奇偶性，整体换元以及分类讨论思想，属于较难题.
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简集合B，结合集合交集的定义运算即可.
【详解】，则.
故选：B
2．若命题“”为真命题，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】命题为真命题转化为二次不等式有解问题，再转化为二次函数图象与轴有交点得，由此解得的取值范围.
【详解】由题意，不等式有解.
即不等式有解.
设，则函数图象开口向上，
要使不等式有解，则函数图象与轴有交点，
则，化简得，
解得，或.
故选：D.
3．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知：在内为增函数，根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断.
【详解】因为在内均为增函数，则在内为增函数，
可知在内至多有一个零点，
又因为，结合选项可知的唯一零点在内.
故选：C.
4．“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由“关于x的不等式对恒成立”解出的取值范围，结合选项再逐一判断，即可得到答案.
【详解】解：由“关于x的不等式对恒成立”，
可得，解得：，
对于A，“”是“关于x的不等式对恒成立”的充要条件；
对于B，“”是“关于x的不等式对恒成立”的必要不充分条件；
对于C，“”是“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件；
对于D，“”是“关于x的不等式对恒成立”的既不充分也不必要条件.
故选：B.
5．已知，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数单调性结合中间值“0”和“1”可得的大小关系，再结合的单调性分析判断.
【详解】因为在内单调递增，则，即；
在内单调递增，则，即；
在内单调递减，则，所以；
综上所述：.
又因为在内单调递增，所以.
故选：A.
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．
【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．
故选：A.
【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．
7．函数（且）的图象定点，若对任意正数，都有，则的最小值为（ ）
A．4B．2C．D．1
【答案】D
【分析】由得过定点，则，再由“”的代换，利用基本不等式求最值.
【详解】由（且），
令，则，
即的图象恒过定点，则，
由，所以，，
又，
则
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
8．已知函数，若方程有4个不同的零点，且，则（ ）．
A．10B．8C．6D．4
【答案】B
【分析】作出f(x)图像，由图可知方程的4个不同的零点为函数y＝f(x)与函数y＝m图像的四个交点的横坐标，由图可知，且.
【详解】作函数的图像如图，
有四个不同的实根且，可得，
且，即为，
即有，即为，
可得.
故选：B.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】利用不等式的运算法则与性质即可求解.
【详解】对于A：当，，故A错误；
对于B：，，故B正确；
对于C：当，时，
则，，，
则，故C错误；
对于D：，，故D正确；
故选：BD.
10．已知关于的不等式的解集为或，则（ ）
A．B．
C．D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】根据不等式解的结构形式，可得，且方程的两个根为，根据韦达定理，继而可判断A,B；对于C，代入即可判断，故C正确；对于D，直接利用分式不等式的解法求解即可.
【详解】根据题意可知，，且方程的两个根为，
由韦达定理知，所以，
由，得，即，
故A错误，B正确；
因为，故C正确；
不等式可化为，
即，且，
所以不等式的解集为，故D正确，
故选：BCD.
11．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．函数的最小值为0
D．当时，，则a的取值范围为
【答案】BC
【分析】根据函数新定义结合函数解析式，作出函数的图象，数形结合，可判断A，B，C；由图象得出时函数的最大值，结合不等式恒成立即可求得a的范围，判断D.
【详解】在同一坐标系作出和的图象如图所示，
联立可得，即得图中，由对称性可得，
则，其图象是图中实线部分．
则，故A错误；
由图象可知函数为偶函数，函数的最小值为0，无最大值，B，C正确；
当时，，由于，所以，D错误，
故选：BC
12．若定义在上的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“特征函数”.下列结论正确的是（ ）
A．是常数函数中唯一的“特征函数”
B．是“特征函数”
C．不是“特征函数”
D．“特征函数”至少有一个零点
【答案】BCD
【分析】根据“特征函数”的定义逐个分析判断
【详解】对于选项A：设是一个“特征函数”，则，
当时，，因此不是常数函数中唯一的“特征函数”，故A不正确；
对于选项B：若是一个“特征函数”，
则对任意实数x恒成立，即，
令，则由两函数的图象可知，两图象有一个交点，
所以有解，故B正确.
对于选项C：因为，
即，要使该式恒成立，则，
而该方程无解，故C正确；
对于选项D：令，得，所以，
若，显然有实数根；
若，则，
又因为的函数图象是连续不断的，所以在上必有实数根，
因此任意“特征函数”至少有一个零点，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题
13．已知函数，则 .
【答案】
【分析】利用分段函数的解析式代入直接计算即可.
【详解】易知，故.
故答案为：.
14．计算 .
【答案】2
【分析】利用指数及对数运算法则计算即可求得结果.
【详解】根据题意可得：
；
故答案为：2
15．若函数是上的单调函数，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意结合二次函数性质可得函数是上的单调递减函数，根据分段函数单调性列式求解.
【详解】因为开口向上，由题意可得：函数是上的单调递减函数，
则，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由奇函数定义域关于原点对称可得，由奇函数性质利用换元法解不等式即可得，可求出m的取值范围.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，解得，
当时，，
解不等式，可得或，
又因为，可得；
当时，则，可得，
解不等式，无解；
由，可得，解得，
即m的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，分别求出集合、，即可求出.
（2）根据，课确定，然后分和分别确定的取值范围，再合并在一起.
【详解】（1）由，解得：，所以.
当时，，
所以.
故答案为：.
（2）因为，所以.
当时，，解得：；
当时，要满足题意需，解之得：.
综上：实数的取值范围为.
故答案为：
18．已知幂函数在上单调递增，函数.
(1)求的值；
(2)记，在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围.
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义和性质列式求解；
（2）求出的值域和的值域，根据题目条件得到，得到不等式，求出实数k的取值范围.
【详解】（1）由题意可得，解得.
（2）由（1）得在上单调递增，且，
当时，的值域为，即.
又因为在为单调递减，且，
所以的值域.
因为是的必要条件，则，
可得，解得，所以的取值范围是.
19．设（，且）其图象经过点，又的图象与的图象关于直线对称．
(1)若在区间上的值域为，且，求c的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点代入解析式，即可求出，根据其单调性得，则，解出即可；
（2）根据指数函数与对数函数的关系得，则有，则.
【详解】（1）因为（，且）的图象经过点，
所以，所以，所以，所以，
因为在区间上单调递增，则，
因为，所以，所以，
即，解得.
（2）的图象与的图象关于直线对称，
，若，则，，
所以，所以.
20．已知函数.
(1)若的定义域和值域均是，求实数的值；
(2)若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先确定单调性，根据单调性列方程组求解；
（2）求出函数和的值域，根据题意得到值域之间的包含关系，进而可列不等式求解.
【详解】（1）因为，可知的开口向上，对称轴为，
则在上单调递减，且，所以在上单调递减，
可得，解得；
（2）因为，
又因为在上单调递增，可知在上单调递增，
且，所以当时，，
又因为在上单调递减，且，
所以当时，，
因为对任意的，都存在，使得成立，
则可得，解得，
所以实数的取值范围为.
五、应用题
21．某企业生产大型空气净化设备，年固定成本500万元，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足150台，则；若年产量不小于150台，则，每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业所获利润最大？
【答案】(1)
(2)200台
【分析】（1）分两种情况写出函数的解析式，再综合即得解；
（2）求出分段函数的每一段的最大值，再比较即得解.
【详解】（1）依题意，若年产量不足150台，即，
另外投本，固定投本500万，总收入万元，
故利润；
若年产量不小于150台，即，
另外投本，固定投本500万，总收入万元，
故利润，
综上所述：.
（2）若时，则，
可知当时，；
若时，则，
当且仅当，即时，等号成立，
可知当时，；
又因为，所以当年产量为200台时，该企业所获利润最大.
六、解答题
22．已知函数是奇函数，且过点．
(1)求实数m和a的值；
(2)设，是否存在正实数t，使关于x的不等式对恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，
【分析】（1）根据奇函数的性质可求得，从而可得解；
（2）由（1）可得，再用整体换元思想将函数转化为二次函数，再分类讨论，讨论时和若时函数的单调性，从而可解决函数在上恒成立问题.
【详解】（1）因为是定义域为R的奇函数，
∴，∴，检验符合.
∴．
又因为过点，
∴ ，
∴
（2）由（1）得，
因为，令，∴，
记，∵函数在上恒成立，
∴（ⅰ）若时，函数在上为增函数，
所以为减函数，
则需函数恒成立，即恒成立．
由于对称轴，函数在区间上为增函数，
∴恒成立，∴恒成立，则恒成立，
故合题意
（ⅱ）若时，则需在恒成立，则：
①
②
③
综上所述：故存在正数，使函数在上恒成立
【点睛】关键点睛：第二小问中，用换元法令，将复杂函数转化为二次函数是关键，再利用分类讨论思想解决函数不等式上恒成立的问题，本题考查了函数的奇偶性，整体换元以及分类讨论思想，属于较难题.
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