山东省菏泽市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省菏泽市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了 ，，则等于， 的展开式中无理项的项数为， 若，则m的取值可能是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知二项式（其中且）的展开式中与的系数互为相反数，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】依题意，，
则，又，
则，所以.
故选：A.
2. 若函数在处可导，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题得.
故选：B.
3. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】,
直线的斜率为-a.所以a=-2, 故选D.
4. ，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因且，表示80个连续正整数的乘积，
其中最大因数为，最小因数为，由排列数公式的意义得结果为，
所以.
故选：A.
5. 已知函数有极值，则c的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，
若函数有极值，则，
解得，
故选：A．
6. 的展开式中无理项的项数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】由题，
又的展开式，
所以的展开式的通项公式为，
所以当的指数不为整数时，该项为无理项，
而当时，不为整数，所以展开式中无理项的项数为4.
故选：B.
7. 某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日,丁不排在5月7日,则不同的安排方案共有（ ）
A 504种B. 960种C. 1008种D. 1200种
【答案】C
【解析】依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有（种），
其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班的方法共有（种）；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在5月7日值班的方法共有(种)；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有(种).
因此满足题意的方法共有(种).
故选：C.
8. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数，求导得，
由在区间上单调递增，得，，
而对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，因此，
所以实数k的取值范围为.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则m的取值可能是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】BC
【解析】根据题意,对于,有0≤m﹣1≤8且0≤m≤8,则有1≤m≤8,
若,则有,
变形可得：m＞27﹣3m,
解可得：m＞,
综合可得：＜m≤8,则m＝7或8；
故选：BC.
10. 定义在上的函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减
B.
C. 函数在x＝5处取得极小值
D. 函数存在最小值
【答案】ACD
【解析】在恒成立，则在上单调递减，故A正确；
在恒成立，则在上单调递增，
则，故B错误；
上，上,
则函数在x＝5处取得极小值，故C正确;
由导数图可知在上递减，在上递增，
在上递减，在上递增，
故在两个极小值和中产生，故存在最小值，故D正确;
故选：ACD.
11. 已知，则下列描述不正确的是（ ）
A. B. 除以5所得的余数是1
C. D.
【答案】ACD
【解析】，
令，可得，再令，可得，
,故A错误．
由于，即展开式各项系数和系数和，
故，
，故C错误．
由题意，，
显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确．
把函数两边同时对求导数，可得，
再令，可得，，可得，
故,故D错误．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的图象在点处的切线方程的斜率为____________.
【答案】
【解析】由题得，
所以函数在点处的切线方程的斜率为.
13. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有____________种.（请用数字作答）
【答案】24
【解析】先将丙和丁绑在一起有种排列方法，
然后将其与乙、戊进行排列有种排列方法，
最后将甲插入中间两空中的一空中有种排列方法，
所以不同的排列方式共有种.
14. 已知关于x的不等式恰有3个不同的整数解，则k的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由不等式，化为，
令且，则，
当时，，当时，，函数在上递增，
在上递减，
则当时，取得极大值，也为最大值，且当时，，
画出函数的图象，如图所示，而直线恒过定点，
当直线位于如图所示的两条直线和之间，
其中包含，不包含时，恰有三个整数解，与的图象分别交于点，
则，
所以实数的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题.共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中共有13项.
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中各项系数之和.
解：（1）由题意可知：，
则的展开式通项为
，
令，解得，
所以展开式中的常数项为.
（2）令，可得展开式中各项系数之和为.
16. 从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字的五位数．求：
（1）共有多少个五位数？
（2）其中偶数排在一起的有多少个？
（3）其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？
（4）其中两个偶数不相邻的有多少个？
解：（1）依题意，从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，共有（种）情况，共有（个）五位数．
（2）把选出的偶数捆绑在一起，和奇数进行全排列，故其中偶数排在一起的有（个）．
（3）把选出的偶数捆绑在一起，把选出的奇数也捆绑在一起，再全排列，故其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有（个）．
（4）先排3个奇数，2个偶数插空，故其中两个偶数不相邻的共有（个）．
17. 已知函数，，若的图象在点处的切线方程为，
（1）求函数的解析式；
（2）若在区间上是减函数，求实数a的取值范围.
解：（1）函数的图象在点处的切线方程为，
又，则，即，
又，即切点为，于是，解得，
所以函数的解析式为．
（2）由（1）知，在上是减函数，
则对恒成立，
即对恒成立，
又在上为减函数，则在上为减函数，
当时，取得最小值，因此，解得，
所以实数的取值范围是．
18. 某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
（1）试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；
（2）假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明）
解：（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中同时购买了甲、乙两种商品有（位）.
所以顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为．
（2）设事件A：顾客购买了两种商品，事件B：顾客购买一种商品，事件C：顾客购买了三种商品．
从统计表可以看出，顾客购买了两种商品有（位）；顾客购买一种商品有（位）；顾客购买了三种商品（位）；
所以可估计为，可估计为，可估计为．
依题意，在随机抽取4名顾客中，求恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客个购买一种商品，一名顾客购买了三种商品的概率为：
．
因此所求的概率可估计为0.1176．
（3）因为在这1000位顾客中，顾客同时购买了甲、丙两种商品的概率可以估计为
；
顾客同时购买了甲、丁两种商品的概率可以估计为．
所以该顾客购买丙的可能性最大.
19. 若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.
（1）证明：存在源数列；
（2）（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；
（ⅱ）记的源数列为，证明：前项和.
解：（1）由，得，
即在上单调递减，又，
当且x无限趋近于0时，趋向于正无穷大，
即的值域为，且函数在上单调递减，
对于可以取到任意正整数，且在上都有存在唯一自变量与之对应，
故对于，令，其在上的解必存在且唯一，不妨设解为，
即，则都存在唯一的实数，使得，即存在源数列；
（2）（i）恒成立，即恒成立，
令，即恒成立，
令，则，
令，则，仅在时取等号，
即在上单调递减，故，即在上单调递增，
故，故；
（ii）由（i）得，故，即，
故，
当时，，
当时，，
即前项和.
顾客人数
商品
甲
乙
丙
丁
100
√
×
×
√
217
√
√
×
×
200
√
√
√
×
250
√
×
√
×
100
×
×
×
√
133
√
×
√
×