【数学】山东省菏泽市2024-2025学年高二下学期4月期中试题（解析版）

这是一份【数学】山东省菏泽市2024-2025学年高二下学期4月期中试题（解析版），共99页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分．每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的．
1. 若为正整数，则乘积（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题得，
所以乘积.
故选：D
2. 设函数可导，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】．
故选:A.
3. 函数是上的单调函数，则的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数是上的单调函数，
即或(舍)在上恒成立
，解得
故选：D
4. 函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】从的图象可以看出，点处切线的斜率大于直线的斜率，直线的斜率大于点处切线的斜率，点处切线的斜率大于0，
根据导数的几何意义可得，
即.
故选：C
5. 若函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】由题意可得，
则，解得，
所以
所以．
故选：C．
6. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A. 60种B. 150种C. 180种D. 300种
【答案】B
【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有种；
②三组人数为2、2、1，此时有种.
所以不同的报名方法共有60＋90＝150种．
故选：B．
7. 已知为定义在上的偶函数，且当时，是单调递减函数．若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为为定义在上的偶函数，
所以，
令，则，
所以（）为奇函数，
又当时，是单调递减函数，
所以在上单调递减，
因为，
所以，即.
故选：B
8. 可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设与和分别相切于，，
而，，
，，
，解得，，即公切线的斜率为，故与垂直的直线的斜率为，所以所求直线方程可为．故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，求导正确的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】ACD
【解析】对于A，，，则A正确；
对于B，，，则B错误；
对于C，，，则C正确；
对于D，，，则D正确．故选：ACD.
10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（ ）

A. 第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B.
C. 第2020行的第1010个数最大
D. 第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
【答案】ABD
【解析】对于A：第行，第行，第行的第个数字分别为：，，，
其和为；而第行第个数字就是，故A正确；
对于B：因为，，
所以，故B正确；
对于C：由图可知：第行有个数字，
如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大；
如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大，
所以第行的第个数最大，故C错误；
对于D：依题意：第行从左到右第个数为，
第行从左到右第个数为，
所以第行中从左到右第个数与第个数之比为，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是
B. 当且时，
C. 对于任意满足
D. 若存在极值点，且，其中，则
【答案】ACD
【解析】对于A:当时，，，
由，可得或，
由，可得，
所以的增区间为和，减区间为，
所以在处取到极大值，在处取到极小值，
若有三个零点，则解得，故正确；
对于B：当，，，同时 ，
结合A函数的单调性得，故错误；
对于C：，故正确；
对于D：若，
由，得，
则，
其中代入，得，
整理得，即，
结合题设，故正确，
故选:ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】.
【解析】因为，
所以，而，，
因此曲线在点处的切线方程为：，
故答案为：.
13. 的展开式中，的系数为_______．
【答案】
【解析】把变形为，可得：
要得到，则的展开式中的次数与的次数之和为，
即，解得.
当时，.
再根据二项式定理展开，要得到，则，
此时该项系数为.
因为中展开式中的系数为，所以展开式中的系数为.
故答案为:.
14. 若对任意，，当时，，则a的取值范围为______．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以．因为，
所以，所以．
设，则满足在上单调递减，
因为，所以在上单调递减，
在内单调递增，所以，即a的取值范围为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.
（2）若的单调递减区间为，求a的值.
解：（1）因为，且在区间上为增函数，
所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，
所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是
（2）由题意知.因为，所以.
由，得，
所以的单调递减区间为，
又已知的单调递减区间为，
所以，
所以，即.
16. 已知，求解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解：（1）令，得①.
（2）令，得②，
由①②，得，
所以.
（3）因为，
的展开式通项为，
所以，
当为奇数时，；当为偶数时，.
所以.
（4），
两边分别求导，得，
令，得.
17. 已知函数．
（1）若，求函数的极值点；
（2）讨论的单调性．
解：（1）当时，函数，求导得，
令，则，列表有
所以的极大值点为，极小值点为1.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，由，得；
由，得，
函数在（0，1）上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或；
由，得，
函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得或；
由，得，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递增区间为，上单调递增，递减区间为；
当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，，递减区间为．
18. （1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）；
①，②.
（2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论；
（3）化简：.
解：（1）①
；
②
.
（2）令为，为，由，可得.
证明：.
（3）
由（2）得，即，
原式
.
19. 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若过点恰有2条与的图象相切的直线，求的取值范围；
（3）若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为，，所以，.
因为，所以.
所以若，则即在上恒成立，
所以在为增函数；
若，由；由.
所以函数在上递减，在上递增.
综上：当时，在为增函数；
当时，在上递减，在上递增.
（2）设切点，切线斜率为：，
所以切线方程为：.
因为切线过点，所以.
整理得：（）
设（），则（）.
由，由.
所以在上递增，在上递减.
又过点恰有2条与的图象相切的直线，
所以直线与的图象有两个不同交点.
因为，，，
所以.
即所求的取值范围为：.
（3）当时，，，.
设，则.
假设存在，（），使得直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率，
即，
因为，所以.
设（），
则（当且仅当时取“”）.
但，所以在恒成立.
所以在上单调递增，又.
所以在上恒成立.
即方程在上无解.
即满足条件的点不存在.1
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增