山东省菏泽市市区一类校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份山东省菏泽市市区一类校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数在处的导数为4，则（ ）
A B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】由函数在处的导数为4，
则
.
故选：A.
2. 从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有（ ）
A. 16个B. 24个C. 32个D. 48个
【答案】C
【解析】当公差时，数列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；，5，6，7；6，7，8；7，8，9共7个；
当公差时，数列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共5个；
当公差时，数列有1，4，7，；2，5，8；3，6，9共3个；
当公差时，数列有1，5，9共1个，
同理，当时，有7个，
当时，有5个，
当时，有3个，
当时，有1个，
故共有．
故选：C．
3. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，令，解得，
所以的单调递减区间为，
故选：A.
4. 若S=，则 S的个位数字是（ ）
A. 0B. 3C. 5D. 8
【答案】B
【解析】=1， =2，=6， =24，从开始一直到的个位数都是0．所以，要求S的个位数，则其实只要将前面四个数加起来，即1+2+6+24=33.所以S的个位数就是3，故选B．
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】二项展开式的通项为，
要得到项，有两类方法：
第一类：当中取项时，则需展开式中的项与之相乘，
由得，，即，则系数为；
第二类：当中取项时，则需展开式中的项与之相乘，
由得，，即，则项的系数为；
综上可知，展开式中的系数为.
故选：B.
6. 将3种植物种植在如图所示的4块试验田内，每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有（ ）
A. 24种B. 21种C. 18种D. 12种
【答案】C
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①在3种植物中选出1种，安排在4块试验田中不相邻的两块，有种情况，
②剩下的2种植物安排在剩下的2块试验田，有种情况，
则有种不同的种植方法．
故选：C．
7. 整数除以7，所得余数为（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
,
前六项均能被7整除，所以除以7余6.
故选：D.
8. 若函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题设，，又在上不单调，
所以函数在上存在变号零点，
设，，
则，则在上单调递增，
所以，即，解得，
则的取值范围是
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（ ）
A.
B. 展开式中项数共有13项
C. 含的项的系数为
D. 展开式中有理项的项数为3
【答案】ACD
【解析】依题意，展开式的通项公式为
，
因为第6项为常数项，
所以时，有，解得，故A正确；
由，得展开式中项数共有项，故B错误；
令，得，
所求含项的系数为.故C正确；
由,令，,则，即，
因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取，所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D.
故选：ACD.
10. 如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（ ）
A. 甲从M到达N处的走法种数为120
B. 甲从M必须经过到达N处的走法种数为9
C. 甲，两人能在处相遇的走法种数为36
D. 甲，乙两人能相遇的走法种数为164
【答案】BD
【解析】对于A，需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以从到达处的走法种数为，故A错误.
对于B，甲从到达，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有种走法，从到达，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有种走法，所以甲从必须经过到达处的走法种数为，故B正确.
对于，甲经过的走法种数为，乙经过的走法种数为，所以甲，乙两人能在处相遇的走法种数为，故C错误.
对于D，甲，乙两人沿着最短路径行走，只能在，，，处相遇，若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向上走3格，乙经过处，必须向左走3格，两人在处相遇的走法有1种；若甲，乙两人在或处相遇，各有81种走法；若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向右走3格，乙经过处，必须向下走3格，则两人在处相遇的走法有1种.所以甲，乙两人能相遇的走法种数为，故D正确.
故选：BD.
11. 设定义在R上的可导函数和满足，，为奇函数，且．则下列选项中正确的有（ ）
A. 为偶函数
B. 为周期函数
C. 存在最小值且最小值为1
D.
【答案】ACD
【解析】A选项，由为奇函数，x∈R，则，
两边同时求导，得，即，
从而为偶函数，所以A正确；
B选项，由题意知，构造函数，
根据求导法则，得，
于是，构造函数，根据求导法则，
得.
从而，即，其中为待定常数.
由为奇函数，得，再由，得，
又， 所以，
从而①.
又由为奇函数，为偶函数知，
②，
联立①②， 解得，，
由，故在是增函数，
故不存在常数，使，所以不是周期函数，故B错误；
C选项，由基本不等式知，，
其中当且仅当时等号成立，即存在最小值且最小值为，故C正确；
D选项，
，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某商场举行的“春节合家欢，砸蛋赢现金”活动中，在8个金蛋中分别有一、二、三等奖各1个，其余5个无奖．由4个人参与砸金蛋活动，每人砸2个，不同的获奖情况数为______．
【答案】60
【解析】根据题意，分两种情况讨论：
①一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有种获奖情况，
②三人各获得一张奖券，有种获奖情况，
故共有种获奖情况．
故答案为：60．
13. 设函数．能说明“对于任意的，都有成立”为真命题的一个实数a的值可以是______．
【答案】1（答案不唯一，只要满足即可）
【解析】对于任意的，都有成立，
故在上单调递增，
恒成立，即，由于，
故只需即可.
故答案为：1（答案不唯一，只要满足即可）
14. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2．
【答案】32
【解析】第 行从左到右第 11个数为 , 第 12个数为 ,
依题意得 , 即 ,
解得 .
故答案为： 32
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数
（1）求的单调区间和极值；
（2）若对任意，成立，求实数m的最大值．
解：（1）由，得，
令，得；令，得，
∴的单调增区间是，单调减区间是，
故在处有极小值，无极大值；
（2）由及，得恒成立，
令，则，
由，由，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，
因此，所以m的最大值是4．
16. 某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？
（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；
（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；
（3）男选手甲和女选手乙至少有一人参加.
解：（1）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，有种方法；
第二步，排好出场顺序，有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
（2）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，有种方法；
第二步，排好出场顺序，有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
（3）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，“有男选手甲且无女选手乙”的选法种数为；
“无男选手甲且有女选手乙”的选法种数为；
“有男选手甲且有女选手乙”的选法种数为；
第二步，排好出场顺序，有种排法，
所以，共有种不同的安排方法.
17. 已知函数．
（1）若在处的切线与直线平行，求实数m的值；
（2）若，求函数的极值．
解：（1）由函数，定义域为，
可得，
可得，即在处的切线的斜率为，
因为在处的切线与直线平行，
可得，则；
（2）若，可得，所以，其中，
可得，
令，可得，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以当时，函数取得极小值为，无极大值．
18. 设(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若展开式中第4项与第5项二项式系数最大．
(1)求n；
(2)求最大的系数ai；
(3)是否存在正整数m，使得am+2+4am=4am+1成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)若展开式中第4项与第5项二项式系数最大，即Cn3=Cn4，则n=7．
(2)设(1+2x)7展开式中第r+1项Tr+1是系数最大的项，则Tr+1=C7r2rxr，
由不等式组C7r2r≥C7r-12r-1C7r2r≥C7r+12r+1，解得r≤163r≥133，且r∈N，∴r=5，
所以ai=C7525=672．
(3)因为(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，所以am=C7m2m，
因为am+2+4am=4am+1，所以C7m+22m+2+4C7m2m=4C7m+12m+1，
所以7!(m+2)!(5-m)!2m+2+47!m!(7-m)!2m=47!(m+1)!(6-m)!2m+1，
由此方程可得：1(m+1)(m+2)+1(6-m)(7-m)=2(m+1)(6-m)，
解得：m=1或4．
综上：存在m=1或4，使得am+2+4am=4am+1成立．
19. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．
解：（1）的定义域为，求导得，直线的斜率为2，
令，解得，不妨设切点，
则点处的切线方程为，即，
点处的切线方程为，即，
所以直线是曲线的“双重切线”.
（2）函数，求导得，
显然函数在上单调递增，函数在0,+∞上单调递减，
设切点，则存在，使得，
则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，
因此，消去可得，
令，求导得，
则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此，
所以曲线y=gx的“双重切线”的方程为.
（3）设对应的切点为，对应的切点为，
由，
得，，
由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，
其中，
由及余弦函数在上递增知，，
则，
，
因此，又，，
则，同理，
令，求导得，
则Fx在上单调递增，显然，且，
函数在上的值域为，即函数在上存在零点，则有，
由，同理可得，而，因此，
于是，即有，
所以，即.第一试验田
第二试验田
第三试验田
第四试验田