【数学】山东省菏泽市2024-2025学年高二下学期期中考试试题（解析版）

这是一份【数学】山东省菏泽市2024-2025学年高二下学期期中考试试题（解析版），共99页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分．每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的．
1. 某学校寒假期间安排4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求2名学生，则分配方案有（ ）
A. 24种B. 12种C. 6种D. 3种
【答案】C
【解析】.
故选：C.
2. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. 2C. D. 6
【答案】C
【解析】由题意知：含的项为，故的系数为.
故选：C.
3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，时，，函数在上单调递增，A错误；
对于B，函数是奇函数，B错误；
对于C，函数是偶函数，当时，，在上单调递减，C正确；
对于D，由得函数的定义域为，不关于原点中心对称，D错误.
故选：C.
4. 已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由已知可得，，
由导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率.
对于A、B项，由可得，，解得.
当时，切点为，此时切线方程为，
整理可得，切线方程为，故B项正确.
当时，切点为，此时切线方程为，
整理可得，切线方程为，故A项正确；
对于C、D项，由可得，，解得，切点为，
此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故C项正确，D项错误.
故选：D.
5. 某商场举办购物抽奖活动，每次从中任意抽取一个数字，其中将抽到的各位数字之和为8的三位数称为“幸运数”（如224是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（ ）
A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个
【答案】B
【解析】由，则，
符合题意的三位数有，共个.故选：B.
6. 伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题.当，时,,又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，,，
两边同时除以，得，
又展开式中的系数为，
所以，
所以
故选：A
7. 若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，得，即，
记，求导得，
因为当时，，
函数在单调递减，
当时，，
所以在上单调递增，
且当时，且，当时，且，
则函数的大致图象如图，
交点有3个，所以，
所以的取值范围为.
故选：A.
8. 若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，则，即，，
所以.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在的展开式中（ ）
A. 所有奇数项的二项式系数的和为128
B. 二项式系数最大的项为第5项
C. 有理项共有两项
D. 所有项的系数的和为
【答案】AB
【解析】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确；
对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；
对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误；
对于D,令，则所有项系数和为，故D错误.
故选：AB.
10. 已知函数函数，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则恰有2个零点
B. 若，则恰有4个零点
C. 若恰有3个零点，则的取值范围是
D. 若恰有2个零点，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】令，
则，解得或.
当时，.由，得；由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，.
，当时，取最小值，最小值为，
故的大致图象如图所示.由图可知，有且仅有1个实根.
当时，恰有1个零点，故A错误；
当时，有3个实根，则恰有4个零点，故B正确；
由恰有3个零点，得恰有2个实根，则或或，则错误；
由恰有2个零点，得恰有1个实根，且，
则或或，则D错误.
故选：ACD.
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的有（ ）
A. 函数是偶函数B.
C. 函数图象关于点对称D.
【答案】ACD
【解析】对A，因为，所以，
所以函数是偶函数，故A正确；
对B，因为为偶函数，所以，即，
所以，即，令，得，
所以，故B错误；
对C，因为，所以，
即，又，所以，
所以，所以，即，
所以函数的图象关于点对称，故C正确；
对D，因为，令，得，
所以，又，所以，
，…，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数a=_______.
【答案】
【解析】令，解得，所以切点为，
将代入切线得.
故答案为：
13. 的展开式中常数项为___________（用数字作答）.
【答案】
【解析】，
故展开式中含的项为展开式中常数项为，
所以展开式中的常数项为，
故答案为：
14. 已知，若关于的方程无解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】，令（，且），
，
又，
令，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
, 即.
在上是单调递减函数.
（，且），
（，且），
令（，且），则，
当或时，单调递减，
当时，单调递增，
又因为当时，，则，当时，，则，
画出的图象，如图所示：

由图可知，当时，关于的方程无解.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加．
（1）求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？
（2）若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？
解：（1）若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案；
该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案．
（2）若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案；
若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案；
若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案；
若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案；
所以总共有种不同的参赛方案．
16. 已知．
（1）当时，讨论的单调区间；
（2）若在定义域内单调递增，求的取值范围．
解：（1）当时，，定义域.
.
令，即解得：；
令，即解得：；
∴当时，函数的单调增区间是，递减区间为.
（2）∵，∴
∵在上单调递增，即恒成立，
∵时
∴，即a的取值范围为．
17. 已知
（1）若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数；
（2）若，且，求．
解：（1）由于的二项展开式中第项的二项式系数为且最大（唯一），可得，
所以展开式的通项为（且），
所以当时，故展开式中的系数为；
（2）若，
则展开式的通项为（且），
当为奇数时，即的偶次项系数为负，当为偶数时，即的奇次项系数为正，
所以，
又，
故．
18. 已知函数．
（1）若函数在区间上恰有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）当时．证明：
（i）若，则恒成立；
（ii）若，则恒成立．
解：（1）由已知可得，
由可得．
令，则，
当时，有，
所以，所以在上单调递减．
又，
所以在上的值域为；
当时，有，
所以，所以在上单调递增．
又，
所以在上的值域为．
作出函数在的图象如图所示，
由图象可知，当时，有两解，
设为，且．
由图象可知，当时，有，即；
当时，有，即；
当时，有，即．
所以，在处取得极大值，在处取得极小值．
综上所述，的取值范围为．
（2）（i）构造函数，则，
令，则在时恒成立，
所以，即在上单调递增，所以，
所以，在上单调递增，所以，
所以，当时，．
因为，故在上，．
令，
则，
令，
故，即为增函数，所以，
所以增函数，所以，
即，即，所以．
又，所以，当时，有；
（ii）在（i）的条件下，只需讨论上成立，
因为，所以．
令在上恒成立，
所以，在上单调递增，所以，
所以，当时，有，所以．
又，所以．
综上所述，在上，恒成立．
19. 设是定义域为的函数，当时，.
（1）已知在区间上严格减，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格减函数；
（2）已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；
（3）已知，且对任意，当时，有，证明：.
解：（1）不妨设，在区间上严格减，
对任意，有，
又，
函数在区间上是严格减函数；
（2）由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增，
当在区间上严格减时，在区间上是严格减，
又当时，函数取得极值，当时，函数也取得极值，
因为.是函数的极值点，
所以是的根，所以，
当时，.
令，
解得或，
所以h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
满足条件，所以.
（3）当时，
由条件知，
当时，对任意，有，
即，又的值域是，，
当时，对任意，有，
，
又的值域是，，
综上可知，任意，.