山西省太原市某校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（解析版）

这是一份山西省太原市某校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题．，多选题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（8小题，共32分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得，
故.
故选：C.
2. 已知函数，若为奇函数，则的值为（ ）
A. -2B. -1C. 0D. 1
【答案】D
【解析】因为为定义在上的奇函数，
所以，解得，则，
因为，
所以为奇函数，
所以符合题意.
故选：D.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】由题得，，
由得，，解得．
故选：B.
4. 已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，且，
∵，
∴，，
∴在方向上的投影向量为.
故选：D．
5. 若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，则，①
又因为，则，
故①式整理可得，，解得或（舍去），
故，所以．
故选：．
6. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】向右平移个单位长度得到，
然后所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，
所以.
故选：D.
7. 已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】由，得，且，
而三点共线，则，即，
所以，
所以.
故选：A.
8. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（ ）
A. 若，则为的重心
B. 若为的内心，则
C. 若，为的外心，则
D. 若为的垂心，，则
【答案】C
【解析】对于A：取的中点D，连接，
由，则，
所以，
所以A，M，D三点共线，且，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，
所以为的重心，故A正确；
对于B：由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，
所以，
即，故B正确；
对于C：由为的外心，则可设的外接圆半径为，
又，
则有，
所以，
，
，
所以，故C错误；
对于D：如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，
由为的垂心，，则，
又，则，，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D正确．
故选：C．
二、多选题（多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 全部选对的得6分，部分选对的得2，3，4分，有选错的得0分，每题有两个或两个以上是符合题目要求）．
9. 设向量，则下列说法错误的是（ ）
A. 若与的夹角为钝角，则
B. 的最小值为9
C. 与共线的单位向量只有一个，为
D. 若，则
【答案】BC
【解析】A选项，与的夹角为钝角，故且不反向共线，
则且，解得且，
综上，，A正确；
B选项，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为3，B错误；
C选项，，与共线的单位向量有2个，
为，C错误；
D选项，若，则，解得，D正确.
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，都有”的否定为“，使得”
B. 函数单调递增区间是
C. “”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件
D. 不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是
【答案】AC
【解析】对于A选项，命题“，都有”的否定为“，使得”，故A正确；
对于B选项，函数是由函数和复合而成，
由于函数单调递增，解得，
所以函数的单调递增区间为，
故函数单调递增区间是，故B错误；
对于C选项，因为，
所以，函数的增区间为，
若函数在区间单调递增，则，可得，
因为，
所以，“”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件，故C正确；
对于D选项，不等式对任意恒成立，
当时恒成立，合乎题意，
当时，则有，解得，
因此，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是，故D错误，
故选：AC.
11. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为是正八边形边上任意一点，则（ ）
A. 与能构成一组基底
B.
C. 在向量上的投影向量为
D. 若在线段（包括端点）上，且，则取值范围
【答案】BCD
【解析】连接AF，因为°，，
因为，现，
故.
以AB所在直线为x轴，AF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
则，
，且，
故，
故，
所以与平行，不能构成一组基底，错误；
，
，故，B正确；
又，所以，
即在向量上的投影向量为，C正确；
若在线段（包括端点）上，设，
所以，
，，
由，可得，则，
所以，D正确.
故选：BCD.
三、填空题（共3小题，每小题4分，共12分）．
12. 已知函数的图象恒过定点．若点在幂函数的图象上，则______．
【答案】
【解析】令，解得，此时，
所以指数函数的图象恒过定点；
因为点在幂函数的图象上，所以，解得，
所以，所以．
13. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是_______．
【答案】
【解析】设点为坐标原点，
点在线段的延长线上，且，，
即，．
点的坐标为．
14. 已知函数，则不等式的解集是___________．
【答案】
【解析】由，得，显然上式都成立，
所以函数定义域为．
由，
得
，
所以，所以是奇函数，
当时，，和在上是增函数，
所以在上是增函数，
又因为是奇函数，所以可得是上的增函数．
所以可转化为，即，
所以，解得．故原不等式的解集是．
四、解答题（共4小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
15. 已知，，且．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
解：（1）由，得，当且仅当时，等号成立．
故的最大值是3．
（2）由，得，即．
，
当且仅当，即，时，等号成立．
故的最小值为．
16. 已知为坐标原点，，，.
（1）若三点共线，求实数的值；
（2）若点满足，求的最小值.
解：（1）因为，，，
所以，，
又三点共线，所以，
所以，解得.
（2）因为，，
所以，，
所以，
所以，
所以当时.
17. 已知向量，，．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，求函数值域．
解：（1）因为，，
所以
，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）当时，，
所以，则，
所以函数在上的值域为.
18. 已知函数是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）求的最小值；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）函数的定义域为，
因为偶函数，所以，
即，解得，
此时函数的定义域为，
且，
所以为偶函数，符合题意，
所以.
（2）由（1）可得，
因为，，所以，
当且仅当，即时等号成立；
所以，
即的最小值为，当时取得最小值.
（3）由（1）可得，
则，
由不等式对任意恒成立，
即不等式对任意恒成立，
令，则，，
所以不等式对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
因为函数在上单调递增，所以当时取得最小值，
所以，即实数的取值范围为.