广东省汕头市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份广东省汕头市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列各式中，二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、的被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、三次根式，故此选项不符合题意；
C、的被开方数，是二次根式，故此选项符合题意；
D、的被开方数有可能小于0，即当时不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6B. 1，1，C. 6，8，11D. 5，12，23
【答案】B
【解析】A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. 32B. C. D. （2）2＝2
【答案】D
【解析】，选项A错误；
与不是同类二次根式，不能合并，选项B错误；
，选项C错误；
（）2＝2，选项D正确；
故选：D．
4. 平行四边形的对角线交于点O，若，则平行四边形的面积为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】如图，
四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
故选：B．
5. 在中，，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，
，，，
，
．
故选：D．
6. 如图，已知P、R分别是长方形的边、上的点，E、F分别是、的中点，点P在上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（ ）
A. 线段的长不变B. 线段的长逐渐变小
C. 线段的长逐渐增大D. 无法确定
【答案】A
【解析】如图，连接．
∵、分别是、的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵不动，∴的长度不变，
∴线段的长不变．
故选：A．
7. 如图，在数轴上，O点为原点，点A在数轴上表示的数是2，AB＝1，AB⊥OA于点A，OB为半径画弧交数轴于点C，C点在O点左侧，则点C表示的数是（ ）
A. B. 2C. D. ﹣2
【答案】C
【解析】∵在Rt△AOB中，OA＝2，AB＝1，
∴OB＝＝．
∵以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，
∴OC＝OB＝，C点在O点左侧，
∴点C表示的实数是．
故选：C．
8. 如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为的长方体盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得：盒子底面对角长为，
盒子的对角线长为，
则细木棒露在外面的最短长度为．
故选：D．
9. 如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】，点是的中点，，
，
，
，
，
分别是的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
10. 如图，△ABC中，AC＝BC＝3，AB=2，将它沿AB翻折180°得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的动点，则PE+PF的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】作出关于的对称点，再过作，交于点，此时最小，此时，过点A作，于，
沿翻折得到，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
由勾股定理可得，，
，
可得，
，
最小为．
故选：C．
二、填空题
11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】代数式有意义，
故答案为：．
12. 如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____．
【答案】（﹣5，4）
【解析】由题知A（3,0），B（-2,0），D在y轴上，
∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2，
由菱形邻边相等可得AD=AB=5，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
OD==4，
由菱形对边相等且平行得CD=BA=5，所以C（-5,4）．
故答案为：（﹣5，4）．
13. 如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有四尺（绳索比木柱长4尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，则木柱长为_______尺．
【答案】6
【解析】如图所示，
设木柱长为尺，
∵，
则，
解得．
故答案为：6．
14. 如图，圆柱体高为，底面周长为，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，想吃到和它相对的侧面B处的食物，已知B处距上底，则蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是_______．
【答案】5
【解析】如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，
连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，C、H分别是、的中点，
∵底面周长是，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是，
故答案为：5．
15. 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作分别交AB，BC于E，F两点，，则EF的长为__________．
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴在和中，，
∴(ASA)，
∴，
∴，即，
∴在Rt中，．
故答案为：．
16. 阅读下列材料：我们知道，因此将分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是_______．
【答案】2025
【解析】∵，
∴，
∴．
故答案为：2025．
三、解答题
17. 计算：．
解：
．
18. 计算：．
解：
．
19. 已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD交于F．求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵平行四边形ABCD中AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCF，
又∵OA=OC，∠COF=∠AOE，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
又∵OA=OC．
∴四边形AECF是平行四边形．
20. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，，CD＝8，求∠ADC的度数．
解：∵AB=AD=4，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，BD=4，
∵BC=，CD=8．
∴BD2+CD2=42+82=16+64=80=（）2，
∴△BDC是直角三角形，∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+90°=150°，
即∠ADC的度数是150°．
21. 已知，，．求值：
（1）；
（2）．
解：（1）∵，
∴
；
（2）由题意知，
．
22. 我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”．
（1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形；
（2）当时，求菱形的“神似度”．
解：（1）∵对角线相等的菱形是正方形，
∴当时，即时，菱形是正方形，
∴当菱形的“神似度”时，菱形就是正方形，
故答案为：；
（2）如图，连接和，交于点O，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即菱形的“神似度”为．
23. 如图，在和中，，E是的中点．
（1）求证：；
（2）若，求．
（1）证明：∵在和中，，E是的中点，
∴，，
∴；
（2）解：∵在和中，E是的中点，，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴为．
24. 如图，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＝12，点E、F分别在边CD、AB上．
（1）若DE＝BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴AF∥CE，
∵CE＝CD﹣DE，AF＝AB﹣BF，DE＝BF，
∴AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴AE＝CE＝CF＝AF，
∵AB＝CD，AB＝16，
∴CD＝16，
设AE＝CE＝x，则DE＝CD﹣CE＝16﹣x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°，
∴在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2．
又∵x＞0，AD＝12，
∴122+（16﹣x）2＝x2，
解得x＝12.5，
∴C菱形AFCE＝4×12.5＝50．
答：菱形AFCE周长为50．
25. （1）【操作发现】：如图一，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC的数量关系是 ．
（2）【类比探究】：如图二，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）【应用】：如图三，将（1）中的矩形ABCD改为正方形，边长AB＝4，其它条件不变，求线段GC的长．
（1）猜想：点E在BC的中点时，GF＝GC，
证明：如图一，连接EG，
∵E是BC的中点，∴BE＝CE，
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE＝EF，∴EF＝EC，
∵EG＝EG，∠C＝∠EFG＝90°，
∴△ECG≌△EFG（HL），
∴FG＝CG，故答案为FG＝CG；
（2）（1）中的结论仍然成立．
证明：如图二，连接FC，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE＝EF，∠B＝∠AFE，
∴EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠ECD＝180°﹣∠D，∠EFG＝180°﹣∠AFE＝180°﹣∠B＝180°﹣∠D，
∴∠ECD＝∠EFG，
∴∠GFC＝∠GFE﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF＝∠GCF，
∴∠GFC＝∠GCF，
∴FG＝CG；
即（1）中的结论仍然成立；
（3）解：设GF＝GC＝x，则AG＝4+x，DG＝4﹣x，
在Rt△ADG中，（4+x）2＝（4﹣x）2+42，
解得：x＝1，
即CG＝1．