2023-2024学年广东省汕头市潮阳实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省汕头市潮阳实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了下列图形中，不是轴对称图形的是，下列二次根式中，最简二次根式是，下列运算中正确的是，化简的结果为等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，不是轴对称图形的是
A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形
2．下列二次根式中，最简二次根式是
A．B．C．D．
3．下列条件中，使不是直角三角形的是
A．，，B．
C．D．
4．下列运算中正确的是
A．B．
C．D．
5．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为
A．1B．2C．3D．4
6．为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的学生正对门缓慢走到离门0.8米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离等于
A．1.0米B．1.25米C．1.2米D．1.5米
7．化简的结果为
A．B．C．D．
8．如图，在四边形中，是对角线的中点，，分别是，的中点，，，则的度数是
A．B．C．D．
9．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为
A． ，B．C．D．
10．如图，矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连接，，下列结论：
①；
②；
③；
④；
其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共6小题，每小题3分）
11．计算： ．
12．如图，，则在数轴上点表示的实数是 ．
13．已知，则 ．
14．如果成立，那么的取值范围是 ．
15．如图，点是正方形内位于对角线下方的一点，，则的度数为 ．
16．如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为，点在边上，沿翻折后点恰好落在轴上点处，若为等腰三角形，点的坐标为 ．
三．解答题（一）（共3小题，每小题6分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，，是平行四边形的对角线上的点，．请你猜想与的关系并加以证明．
四．解答题（二）（共3小题，每小题8分）
20．阅读：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与；这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子，分母同乘以分母的有理化因式．
如：；．
（1）请你写出的有理化因式： ．
（2）已知：，求的值．
（3）化简：．
21．如图，在边长为6的正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若时，求线段的长．
22．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
五．解答题（三）（共3小题，每小题10分）
23．如图1，在△中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）求证：．
（2）探究线段，，之间的数量关系并说明理由．
（3）如图2，在四边形中，．若，，求的长．
24．已知：△是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，
其中，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点在线段上，且，．请回答下列问题：
①线段 ， ；
②猜想：，，三者之间的数量关系为 ．（提示：连接
（2）如图②，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立吗？若成立，请你给出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）若动点在线段上，满足，求的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为
，，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持．
（1）连接、， ；
（2）求△周长的最小值及此时点的坐标；
（3）在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标．
参考答案
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，每小题3分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是
A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形
【分析】结合选项根据轴对称图形的概念求解即可．
解：、矩形是轴对称图形，本选项错误；
、菱形是轴对称图形，本选项错误；
、平行四边形不是轴对称图形，本选项正确；
、正方形是轴对称图形，本选项错误．
故选：．
2．下列二次根式中，最简二次根式是
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项逐一分析即可．
解：．不是最简二次根式，不符合题意；
．，被开方数不含有能开得尽方的因式，是最简二次根式，符合题意；
．，被开方数中含有分母，不符合题意；
．，分母中含有二次根式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
3．下列条件中，使不是直角三角形的是
A．，，B．
C．D．
【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．
解：、由，，得，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
、由，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
、符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
、由，及得，故不是直角三角形．
故选：．
4．下列运算中正确的是
A．B．
C．D．
【分析】结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘法运算，然后选择正确选项．
解：、，原式计算错误，故本选项错误；
、，原式计算错误，故本选项错误；
、，原式计算错误，故本选项错误；
、，计算正确，故本选项正确．
故选：．
5．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为
A．1B．2C．3D．4
【分析】由，推出，所以，由，，推出，所以，，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半，进而得出．
解：，
，
，
，，
，
，
，
在中，
，
．
故选：．
6．为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的学生正对门缓慢走到离门0.8米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离等于
A．1.0米B．1.25米C．1.2米D．1.5米
【分析】过点作于点，构造△，利用勾股定理求得的长度即可．
解：如图，过点作于点，
米，米，米，
（米．
在△中，由勾股定理得到：（米，
故选：．
7．化简的结果为
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的乘除运算以及积的乘方运算即可求出答案．
解：原式
，
故选：．
8．如图，在四边形中，是对角线的中点，，分别是，的中点，，，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
解：是对角线的中点，，分别是，的中点，
，，
，
，
，
，
故选：．
9．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为
A． ，B．C．D．
【分析】由正方形的性质得，由边在轴上，的中点是坐标原点，求得，由，证明四边形是菱形，求得，由轴，，得，于是得到问题的答案．
解：四边形是边长为2的正方形，边在轴上，的中点是坐标原点，
，
，
把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，
，，
四边形是菱形，，
轴，，
，
故选：．
10．如图，矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连接，，下列结论：
①；
②；
③；
④；
其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由等腰直角三角形的性质可得，可证，故①正确；由“”可证△△，可得，故②正确；可证垂直平分，故③正确；由“”可证△△，可得，故④正确．
解：四边形是矩形，
，，，
平分，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，，，
△△，
，，
，
，，
又，
△△，
，故②正确；
，，
垂直平分，故③正确；
，
，
又，，
△△，
，故④正确，
综上所述：正确的结论有①②③④，共4个，
故选：．
二．填空题（共6小题，每小题3分）
11．计算： ．
【分析】先化简，再合并同类二次根式即可．
解：．
故答案为：．
12．如图，，则在数轴上点表示的实数是 ．
【分析】求得点到原点的距离即可．
解：，
，
点在原点的左侧，到原点的距离是，
点表示的实数是．
故答案为：．
13．已知，则 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，分别求出、，根据有理数的乘法法则进行计算即可．
解：根据二次根式有意义得，，
解得，
，
解得，
，
故答案为：．
14．如果成立，那么的取值范围是 ．
【分析】直接利用二次根式的性质结合不等式组的解法，分析得出答案．
解：成立，
，
解得：．
故答案为：．
15．如图，点是正方形内位于对角线下方的一点，，则的度数为 135 ．
【分析】由正方形的性质可得，可得，由三角形内角和定理可求解．
解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：135．
16．如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为，点在边上，沿翻折后点恰好落在轴上点处，若为等腰三角形，点的坐标为 或，或， ．
【分析】分三种情形讨论①，②，③，只要求出的长即可解决问题．
解：①当时，在中，，，
，
，
点坐标．
②时，，，
，，
点坐标，．
③当时，设，
在中，，
，
，
点坐标，．
综上所述，满足条件的点坐标或，或，．
故答案为或，或，．
三．解答题（一）（共3小题，每小题6分）
17．计算：．
【分析】先化简零指数幂、绝对值以及分母有理化，再进行加减运算即可．
解：
．
18．先化简，再求值：，其中．
【分析】先计算分式的乘法运算，再计算减法运算，然后把代入化简后的代数式计算即可．
解：
，
当时，原式．
19．如图，，是平行四边形的对角线上的点，．请你猜想与的关系并加以证明．
【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可以得到相等的线段和相等的角，从而可以证明△△，进而证得结论．
解：猜想：且．
理由：四边形是平行四边形，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，即且．
四．解答题（二）（共3小题，每小题8分）
20．阅读：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与；这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子，分母同乘以分母的有理化因式．
如：；．
（1）请你写出的有理化因式： （答案不唯一） ．
（2）已知：，求的值．
（3）化简：．
【分析】（1）根据有理化因式的定义进行分析即可；
（2）把已知条件进行分母有理化的运算，从而可求得，，对所求的式子进行整理代入相应的值运算即可；
（3）利用分母有理化的法则进行求解即可．
解：（1）的有理化因式：（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）；
（2），
，
，
，，
；
（3）
．
21．如图，在边长为6的正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若时，求线段的长．
【分析】（1）根据正方形的性质及角平分线的定义推出，据此即可得解；
（2）根据，，可以得到、的长，然后根据正方形的性质，可以得到的长，结合（1）可以得到线段的长．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
平分，
，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：在正方形中，，，，
，
，
，
，
．
22．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据菱形的性质先证明，进而得到且，证得四边形是平行四边形，再根据是直角证得四边形是矩形；
（2）先根据勾股定理求出，得到的长，利用，求出的长．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
且，
，
，
即，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
在△中，由勾股定理可得：
，
，
，
，
．
五．解答题（三）（共3小题，每小题10分）
23．如图1，在△中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）求证：．
（2）探究线段，，之间的数量关系并说明理由．
（3）如图2，在四边形中，．若，，求的长．
【分析】（1）证明△△，根据全等三角形的性质解答；
（2）连接，，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可；
（3）作，使，连接，，证明△△，得到，根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：，
，即，
在△和△中，
，
△△，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，连接，，
，
，即，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
在△中，，即，
又，
；
（3）解：如图3，作，使，连接，，
，
，
在△与△中，
，
△△，
，
，，
，
，
，，
．
24．已知：△是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，
其中，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点在线段上，且，．请回答下列问题：
①线段 ， ；
②猜想：，，三者之间的数量关系为 ．（提示：连接
（2）如图②，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立吗？若成立，请你给出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）若动点在线段上，满足，求的值．
【分析】（1）①在△中，利用勾股定理可求得，由可求得；
②如图1，过作于点，则△是等腰直角三角形，△为等腰直角三角形，，把和都用和表示出来，从而可得到，，三者之间的数量关系；
（2）过作于点，把和都用和表示出来，从而可证得结论；
（3）当点在线段上，在△ 和△中，利用勾股定理可分别得到、和的关系，从而可求解．
【解答】（1）解：①：△是等腰直角三角形，，
，
，
，
故答案为：；；
②，
证明：如图1，过作于点，
则△是等腰直角三角形，△为等腰直角三角形，，
，
，
，
在△ 中，由勾股定理可得，
，
．
故答案为：．
（2）成立，证明：如图2，过作于点．
△为等腰直角三角形，，
，
，
，
，
在△中，由勾股定理可得，
，
，
（3）解：过点作于点，如图3，当点在线段上时，
，
，
在△中，由勾股定理可得，
，
在△中，由勾股定理可得，
．
25．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为
，，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持．
（1）连接、， 60 ；
（2）求△周长的最小值及此时点的坐标；
（3）在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）连接，证明，△与△为等边三角形，，可得△△，再利用全等三角形的性质可得答案；
（2）证明△为等边三角形；可得，则当时，△周长有最小值，结合△为等边三角形，，，再结合中点坐标的含义可得答案；
（3）设，而，，，；分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质建立方程组求解即可．
解：（1）四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，如图，连接，
，△与△为等边三角形，
，，，，
，，
，
△△，
，，
，
故答案为：60；
（2），，
△为等边三角形；
，
当时，△周长有最小值，
△为等边三角形，
，，
△的周长最小值为，，
，
为的中点，
；
（3）点的坐标为或，或，．理由如下：
设，
，，，；
当为对角线时，
依题意得：，
解得：，
；
当为对角线时，
依题意得：，
解得：，
，；
当为对角线时，
依题意得：，
解得：，
，，
综上所述，点的坐标为或，或，．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
D
B
A
C
C
D
D