备战高二数学下学期期中（人教A）专题04 高二下学期期中真题精选（第五章 一元函数的导数及其应用） （解析版）

这是一份备战高二数学下学期期中（人教A）专题04 高二下学期期中真题精选（第五章 一元函数的导数及其应用） （解析版），共74页。试卷主要包含了由函数在区间上的单调性求参数等内容，欢迎下载使用。
（人教A版2019选择性必修第二册第五章 一元函数的导数及其应）

题型一 导数的定义
题型二 借助导数解决切线问题（高频）
题型三 已知某点的导数求参数值
题型四 导数的四则运算
题型五 公切线问题（难点）
题型六 利用导数求函数（不含参）的单调区间（高频）
题型七 由函数在区间上的单调性求参数
题型八 利用导数讨论函数（含参）的单调区间（高频）
题型九 函数的极值（极值点）问题（高频）
题型十 函数的最值问题（高频）
压轴一 利用切线解决距离问题 （难点）
压轴二 构造函数解决不等式问题 （难点）
压轴三 构造函数比较大小（难点）
压轴四 利用导数研究函数的恒成立问题（难点）
压轴五 利用导数研究函数的能成立问题（重点）
压轴六 利用导数研究函数的零点方程的根（重点）
压轴七 利用导数研究双变量问题（难点）
题型一、导数的定义（共4小题）
1．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值
【分析】根据导数定义及乘法求导数运算律计算求值.
【详解】因为,
所以.
故选：C.
2．（23-24高二下·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（ ）
A．2B．1C．-1D．-2
【答案】B
【知识点】导数定义中极限的简单计算
【分析】由导数的概念求解即可得.
【详解】.
故选：B.
3．（23-24高二下·山西·期中）已知函数，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则
【分析】由导数定义计算化简可得.
【详解】因为，所以，
由导数定义可知.
故选：D.
4．（23-24高二下·河南焦作·期中）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值
【分析】根据导数定义计算即可.
【详解】因为,
因为.
故选：D.
题型二、借助导数解决切线问题（共6小题）
1．（24-25高三上·辽宁大连·期中）直线是曲线和的公切线，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则
【分析】分别设两个切点，根据导数的几何意义分别求得切线方程，联立解方程即可.
【详解】对于，设切点为，求导得，
则在该点处的斜率为，
则切线方程为：，即，
对于，设切点为，求导得，
则在该点处的斜率为，
则切线方程为：，即，
因为是公切线，
所以，即，
所以，即，
所以
即或，解得或，
当时，此时，，所以
当时，此时，，所以，
所以或，
故选：C.
2．（24-25高二上·云南昭通·期中）设曲线（为自然对数的底数）在点处的切线与直线垂直，则 .
【答案】
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数
【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再由直线与切线垂直建立方程求出.
【详解】因为，则，
设曲线在点处的切线的斜率为，
则，
又直线的斜率为，
所以，解得.
故答案为：.
3．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知函数，曲线在点处的切线为（为常数），则 ．
【答案】
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则
【分析】求出函数的导函数，从而知道在切点的导函数，即可得切线斜率，又由切斜经过切点，建立方程即可求得参数的值.
【详解】，则，则方程为，将点代入方程，得，解得．
故答案为：
4．（24-25高三上·江苏连云港·期中）若直线是曲线的切线，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】利用导数的几何意义求出曲线在处的切线方程，对照条件求得，，则，构造函数，利用求导求得其最小值即可.
【详解】由求导得：，设切点为，则，①，
切线方程为，即，
由题意，② ，
将①代入②可得：，
于是，.
设，，
则，
因为，则，由，解得，
故当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增.
故当时，函数取得最小值，
即，从而的最小值是.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题主要考查导数的几何意义和导数在函数的最值上的应用，属于难题.对于已知函数的切线方程求参问题，一般先设切点，利用导数的几何意义求出切线方程，对照系数求得参数；对于求函数的最值问题，一般通过求导判断函数的单调性即得最值.
5．（24-25高三上·青海·期中）曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、导数的乘除法
【分析】先求导，将代入导函数求得斜率，写出切线方程即可.
【详解】由，得，当时，，
则曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
6．（24-25高三上·广东汕头·期中）已知函数，则在处切线方程为 .
【答案】
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】首先求出函数的导函数，再根据导数的几何意义求出以及，最后利用点斜式求出切线方程即可.
【详解】因为，所以，
当时，，，
所以在处切线方程的斜率，即切线方程为.
故答案为：.
题型三、已知某点的导数求参数值（共3小题）
1．（23-24高二下·四川绵阳·期中）已知，则若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【知识点】导数的运算法则、已知某点处的导数值求参数或自变量、求某点处的导数值
【分析】根据导数的运算法则求出导函数，再代入计算可得.
【详解】因为，所以，
又，即，解得.
故选：B
2．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，，且，则 .
【答案】
【知识点】基本初等函数的导数公式、已知某点处的导数值求参数或自变量
【分析】对给定函数求导，再求出在3处的导数值即得.
【详解】由，求导得，则，由，求导得，
所以.
故答案为：
3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设函数，若，则 ．
【答案】2
【知识点】导数的运算法则、已知某点处的导数值求参数或自变量
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再代入求出的值.
【详解】函数，求导得，由，得，
所以.
故答案为：2
题型四、导数的四则运算（共5小题）
1．（24-25高二上·云南昭通·期中）下列函数求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则
【分析】根据基本初等函数的求导公式以及导数的四则运算求解即可.
【详解】，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误.
故选：B.
2．（23-24高二下·江苏扬州·期中）下列导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则
【分析】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
3．（23-24高二下·江苏常州·期中）下列导数运算中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数
【分析】根据题意，由导数的计算公式依次分析选项，综合可得答案.
【详解】根据题意，依次分析选项,
对于A， ，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：C
4．（23-24高二下·天津河北·期中）下列求导数运算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数
【分析】利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确.
故选：B
5．（23-24高二下·青海西宁·期中）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)（，且）；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数、导数的乘除法
【分析】直接根据导数的运算法则计算即可．
【详解】（1），.
（2），.
（3），.
（4），.
（5），.
题型五、公切线问题（共5小题）
1．（23-24高二下·福建福州·期中）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数
【分析】曲线上的切点为，曲线上的切点为，由题意可得，求解即可.
【详解】设曲线上的切点为，曲线上的切点为，
，，
解得.
故选：A.
2．（23-24高二下·山东济宁·期中）已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、函数单调性、极值与最值的综合应用
【分析】首先可判断不为，设出公切线与函数的切点，根据导数的几何意义可得切线方程，再与曲线联立，利用判别式为，可得与的关系，结合导数工具可得解.
【详解】当时，，，不符合题意；
设的图像与公切线的切点为，，
由，则切线斜率，
切线方程为，即，
又切线与，
联立，
可得，
即，
可得，
设，，
，，
又函数在上单调递减，且，
即有当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减；
所以，
即，的最大值为，
故选：A.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
3．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知函数与偶函数在交点处的切线相同，则函数在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的乘除法
【分析】求得，得到且，根据题意，得到与相切于，且，再由为偶函数，求得，且，进而求得切线方程.
【详解】由函数，可得，所以且，
因为函数与偶函数在交点处的切线相同，
所以函数与相切于，且，
又因为为偶函数，所以，且，
所以函数在处的切线方程为，即．
故选：D.
4．（23-24高二下·广东佛山·期中）经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】首先联立与得到方程组，求出方程组的解，即可求出交点坐标，再设与和分别相切于，，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切线的斜率，再由点斜式求出所求直线方程.
【详解】由，消去整理得，
令，则，所以在上单调递增，
又，
所以方程组的解为，
即曲线与的公共点的坐标为，
设与和分别相切于，，
而，，
，，
，解得，
，即公切线的斜率为，
故与垂直的直线的斜率为，
所以所求直线方程为，整理得．
故选：B．
5．（22-23高二上·安徽·期中）抛物线与的两条公切线（同时与两条曲线相切的直线叫做两曲线的公切线）的交点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立求解作答.
【详解】设直线与抛物线相切的切点为，
与抛物线相切的切点为，
由求导得：，由求导得：，
则抛物线在点处切线为，即，
抛物线在点处切线为，即，
依题意，，解得，
因此两条公切线方程分别为，，
由，解得，
所以两条公切线的交点坐标为.
故选：C
题型六、利用导数求函数（不含参）的单调区间（共4小题）
1．（24-25高三上·山东聊城·期中）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出，再利用导数求出单调递减区间.
【详解】函数，求导得，则，
由曲线在点处的切线方程为，得，解得，
于是，由，得，而，解得，
所以函数在内的单调递减区间是.
故选：A
2．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】求出函数的导数，再解不等式即可得解.
【详解】函数的定义域为，求导得，
由，得，
所以函数的单调递减区间是.
故选：B
3．（23-24高二下·山东青岛·期中）若，则的增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】先求得，令，求解再结合定义域即可．
【详解】由题可知，定义域为，
，
令得，所以的增区间为，
故选：B．
4．（23-24高二下·北京通州·期中）定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
【答案】D
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、解余弦不等式
【分析】对函数求导并令，利用三角函数单调性解不等式即可求得结论.
【详解】由可得，
令,
当时，由可得，解得；
当时，由可得，解得；
因此可得在的单调递减区间是和.
故选：D
题型七、由函数在区间上的单调性求参数（共6小题）
1．（24-25高一上·四川·期中）若函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．（B．C．D．
【答案】D
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】先根据对勾函数的单调性求的取值范围，再利用二次函数对称轴和单调区间的关系确定的取值范围.
【详解】设，.
若，则在上递增，不满足条件；
若，则，所以不在上递减，不满足条件；
若，由知在上递减，不满足条件；
若，则由，及对有可知，在上递减.
由可知，在上递增，满足条件.
综上，实数的取值范围是.
故选：D.
2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】分析可知，对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】因为，则，
因为函数在区间上单调递增，
则对任意的，恒成立，则.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
3．（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】由题意可得在上恒成立，参变分离后计算即可得.
【详解】由题意可得在上恒成立，
故在上恒成立，
由，故.
故选：B.
4．（23-24高二下·海南·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】求导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，结合二次函数的零点分布即可求出的取值范围．
【详解】因为，所以，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
所以或，
解得或
综上可得，
故选：A
5．（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点、函数（导函数）图像与极值点的关系
【分析】对求导并将问题转化为函数在(0,1)上存在变号零点，再应用导数研究的单调性，结合零点存在性定理列不等式求参数范围.
【详解】由题设，，又在上不单调，
所以函数在上存在变号零点，
设，，
则，则在上单调递增，
所以，即，解得，
则的取值范围是
故选：B.
6．（23-24高二下·辽宁·期末）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】求导后在区间上有解,等价于在区间上有解，分类讨论，计算即可.
【详解】，因为在区间上存在单调递减区间，
所以在区间上有解，即在区间上有解，
当显然不出来；
当时，，即，
故选:C．
题型八、利用导数讨论函数（含参）的单调区间（共5小题）
1．（24-25高三上·浙江·期中）已知函数，其中.
(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、已知切线（斜率）求参数
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出值.
（2）分类讨论判断值的正负情况，求出函数的单调区间.
【详解】（1）函数，求导得，
由曲线在点处的切线垂直于直线，得，
所以.
（2）函数的定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，方程中，，
若，则，，函数在上单调递增；
若，则，关于x的方程有两个正根，，，
当或时，；当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是.
2．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数.
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，判断单调性即可；
【详解】（1）函数的定义域为，导函数为，
若，则，此时在单调递减；
若，令，
解得，其中，
由，得，
由，得，
所以在单调递减，在单调递增，
综上，当时，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增.
3．（24-25高三上·河南新乡·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义可得直线的斜率，即可由点斜式得直线的方程；
（2）求导函数，即可对讨论求解.
【详解】（1）当时，，
则，则.
因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）的定义域为，.
当时，当时，，故在上单调递减.
当时，令，得，
当时，，则在上单调递增.
当时，，则在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
4．（24-25高三上·山东淄博·期中）已知函数，其中，．
(1)若在处取得极值，求的值；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见详解
【知识点】根据极值点求参数、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）根据极值点求得，并进行验证.
（2）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间.
【详解】（1）令，
由题意，.
由已知得，解得，
此时，
易知在区间上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取得极大值，因此.
（2）由题意，其中，，
①当，即，在上单调递减，在上单调递增.
②当，即，则在上单调递减.
综上，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
5．（24-25高三上·山东烟台·期中）已知函数.
(1)当时，求过点且与函数图象相切的直线方程；
(2)当时，讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求过一点的切线方程
【分析】（1）设函数在点的切线过点，可得切线方程为，可得，求解可得切线方程；
（2）求导得，分，，三种情况讨论可得单调区间.
【详解】（1）当时，，求导可得，
设函数在点的切线过点，所以，
又，
所以，
又因为切线过点，所以，
所以，解得，
所以切线方程为，即.
（2）由，
可得，
当时，由，可得或，
所以函数在和上单调递增，
由，可得，所以函数在上单调递减，
当时，由，可得，所以函数在上单调递增，
当时，由，可得或，所以函数在和上单调递增，
由，可得，所以函数在上单调递减，
综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.
题型九、函数的极值（极值点）问题（共5小题）
1．（24-25高三上·北京房山·期中）已知函数．
(1)当时，求的单调区间和极值；
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为，在处取得极大值，且极大值为1；
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式
【分析】（1）求导判断函数的单调性，进而可求出极值；
【详解】（1）当时，，则，
令，即，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；
因此在处取得极大值，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，在处取得极大值，且极大值为1；
2．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）已知函数.
(1)若，求的极值；
【答案】(1)极大值为；极小值为；
【知识点】由函数对称性求函数值或参数、求已知函数的极值
【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值.
【详解】（1）当时，，求导得，
由，可得，得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
因此当时，有极大值为；
当时，有极小值为.
3．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若在其定义域内不存在极值，求实数的值.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.
(2).
【知识点】函数极值点的辨析、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）求函数的导函数，求得导函数的零点，由表得出函数的单调区间；
（2）分类讨论的取值，①时，导函数只有一个零点，且零点左右区间导函数值符号相反，函数不单调；②或由（1）知函数不单调；③时，导函数恒小于0，单调递减，可得结论.
【详解】（1）函数的定义域为，
.
因为，所以由，
得或.
又，
所以随的变化情况如下表：
由上表可知，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）知，
当时，，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，存在极值，不符合题意；
当时，由（1）可得存在极值，不符合题意
当时，恒有不存在极值，符合题意；
当时，由（1）可知令时，得或.
∵，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为，
存在极值，不符合题意.
综上所述，.
4．（24-25高三上·甘肃白银·期中）已知函数.
(1)求函数的极值；
【答案】(1)的极大值为，极小值为
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求已知函数的极值
【分析】（1）根据导数判断函数的单调性，据此可得函数极值；
【详解】（1）.
当时，，为减函数；当和时，，为增函数.
故函数的极大值为，极小值为.
5．（24-25高三上·江苏无锡·期中）已知函数.
(1)若函数有两个不同的极值点，求的取值范围;
(2)求函数的单调递减区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】根据极值点求参数、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求导，可得有两个大于的不等实根，进而可得，求解即可；
（2）求导数，对分类讨论可求得单减区间.
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得，
令，可得，
因为函数有两个不同的极值点，所以有两个大于的不等实根，
所以，解得.
所以的取值范围为；
（2），
求导得
，
令，解得或，
当时，，由，可得，
函数在上单调递减，
当，，由，可得，函数无单调递减区间，
当，，由，可得，
函数在上单调递减，
当时，，由，可得，函数在上单调递减，
综上所述：当时，函数在上单调递减，
当时，函数无单调递减区间，
当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递减.
题型十、函数的最值问题（共8小题）
1．（23-24高二下·湖南益阳·期中）已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数
【分析】求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出a，即可求出函数的最小值．
【详解】由题意可知：，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，则上单调递减，
则函数的最大值为，
此时，且，，
可知当时，函数取得最小值为.
故选：A.
2．（23-24高二下·山东济宁·期中）若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（ ）
A．B．1C．3D．5
【答案】B
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数、导数的运算法则、函数单调性、极值与最值的综合应用
【分析】求出函数的导数，根据题意列式求出a的值，结合函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由，得，
由于函数在处取得极值，
故，则，
故，
则当或时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极大值，即适合题意，
由此可知在上单调递减，在上单调递增，
故函数在区间上的最小值为，
故选：B
3．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）
【分析】求导后结合正弦函数的取值分析即可.
【详解】因为，令，可得，而，，
所以，，函数单调递减；，，函数单调递增，
所以时函数最小为值，
所以函数在的最小值分别为.
故答案为：.
4．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数为奇函数，则函数在上的最小值为 .
【答案】/
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由奇偶性求参数
【分析】令，求出所对应的方程的解，再根据奇函数的对称性得到函数解析式，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值.
【详解】令，即，解得，，，
因为函数为奇函数，
则函数图象关于原点对称，又，
即、中必有一个为，则另一个为，
所以，
则，符合题意；
则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以函数在上的最小值为.
故答案为：
5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（含参）
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.
【详解】（1）当时，则，
可得，，即切点坐标为，切线斜率为，
所以切线方程为，即.
（2）定义域为，且，
若，则对任意恒成立．
所以在上单调递增，无极值，不合题意，
若，令，解得，令，解得，
可知在上单调递增，上单调递减，
则有极大值，无极小值，
由题意可得：，即.
令，，在上单调递减,
又，不等式等价于，解得.
综上的取值范围是．
6．（23-24高二下·浙江台州·期中）已知函数在处取得极大值6.
(1)求实数的值；
(2)当时，求函数的最小值.
【答案】(1)，
(2)1
【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）由即可求出，再由极值的定义检验即可.
（2）对求导，得出的单调性和极值，结合端点值即可求出函数在的最小值.
【详解】（1），
因为在处取得极大值6.
所以，得
此时，
令可得：；令可得或，
所以在上单调递减，在，上单调递增
所以在处取得极大值，符合题意，
所以.
又，所以
（2），所以
列表如下：
由于，故时，.
7．（23-24高二下·北京·期中）已知函数．
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为36，最小值为
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）求导，再利用导数的几何意义求解；
（2）令得到或1，分别求得极值和区间的端点值求解.
【详解】（1）解：函数，定义域为，
则，
所以，又因为，
所以函数的图象在点处的切线方程为，
即；
（2）函数，，
则，
令得，或1，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为36，最小值为．
8．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知函数．
(1)当时，求的单调区间．
(2)若函数在时取得极值，求的值；
(3)在第（2）问的条件下，求证：函数有最小值.
【答案】(1)和，单调减区间是
(2)
(3)证明见解析
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）求导，利用导数判断的单调区间即可；
（2）求导，根据极值点处导数值为0可得，并代入检验即可；
（3）分和两种情况，结合（2）中的单调性分析证明.
【详解】（1）因为的定义域为，
当时，则，可得，
令，解得或；令，解得；
所以的单调增区间是和，单调减区间是.
（2）由题意可得：，
若函数在时取得极值，
则，解得：，
当时，，
当或时，；当时，；
可知的单调增区间是和，单调减区间是，
则是的极大值点，符合题意，
综上所述：.
（3）由（2）可知：，
当时，恒成立；
当时，由（2）可知：在上单调递增，在上单调递减，
所以的取得最小值；
综上所述：在处取得最小值，最小值为.
压轴一：利用切线解决距离问题（共3小题）
1．（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、求曲线切线的斜率（倾斜角）
【分析】令，，则可转化为曲线上的点与曲线上的点之间的距离与到直线的距离之和，据此利用导数和三角形不等式即可求解.
【详解】令，，则点在函数图象上，在函数的图象上，
容易知道图象是抛物线图象的上半部分，
记抛物线焦点为，过 作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示：

则，
当且仅当在线段 上时，取最小值.
设这时点坐标为，又，
所以有，解得 ，即该点为，
所以，因此.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，将的值转化为点到点的距离与点到直线的距离之和的问题.
2．（23-24高二下·浙江·期中）已知实数，且函数，则函数的最小值为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的焦半径公式、用两点间的距离公式求函数最值、已知切线（斜率）求参数
【分析】由题意可得的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和，其中点在曲线上，点在抛物线上，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】由题意得，
设，，
则点在曲线上，点在抛物线上，
的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和．
设抛物线的焦点为，
则由抛物线的定义知，
所以，
所以，
问题转化为求曲线上的点到点 的距离的最小值，
设曲线上的点，到点的距离最小，
则与曲线在点处的切线垂直，
即，
所以，
作出函数与函数的图象，如图所示：
由图象知，两函数图象只有一个交点，
所以方程的解为，则．
所以，
所以函数的最小值为．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：将看作是，两点间距离与点到轴的距离之和，利用抛物线的性质求解.
3．（22-23高三上·河南南阳·期中）不等式对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数不等式恒成立问题、求点到直线的距离、解不含参数的一元二次不等式、已知切线（斜率）求参数
【分析】设，则可得，而分别在曲线和直线上，将直线平移恰好与曲线相切时，可求出的最小值，从而可解关于的不等式可得答案.
【详解】由题意设，则，所以，
因为分别在曲线和直线上，
所以将直线平移恰好与曲线相切时，切点到直线的距离最小，此时最小，
设切线为，切点为，则，得，
所以，得，则，
所以的最小值为点到直线的距离，，
即的最小值为，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为，，进一步转化为曲线上的点和直线的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题.
压轴二：构造函数解决不等式问题（共7小题）
1．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）定义在上的函数的导函数为，且，则下列函数一定是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】对各选项求导，结合题意即可得出答案.
【详解】对于A，，，无法判断单调性，故A错误；
对于B，，，无法判断单调性，故B错误；
对于C，恒成立，则义在上是增函数，故C正确；
对于D，，，无法判断单调性，故D错误.
故选：C.
2．（23-24高二下·甘肃白银·期中）已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的应用
【分析】根据构造函数通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，最后利用这些性质可解得或
【详解】令则,
因为当时，所以在上单调递增,
又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数,
由得解得或
故选：B.
3．（23-24高二下·湖北·期中）已知函数的导函数为，若，设，，．则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小
【分析】由题设不等式想到构造函数，知其在上单调递增，再由，可得，最后再利用函数的单调性整理即得.
【详解】由可知，两边除以，，即，
设，则由可得在上单调递增.
因，则有，即，
因为增函数，故有，即，
故.
故选：A.
4．（多选）（23-24高二下·四川雅安·期中）已知定义在区间上的奇函数，对于任意的满足（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】由题意构造函数，求导研究其单调性，根据奇偶性可得整个定义域上的单调性，逐个检验选项，可得答案.
【详解】令，求导可得，
由题意可得：当时，，在上单调递增，
由题意可得：，则是的奇函数，
易知，在上单调递增，
对于A，由，则，整理可得，故A错误；
对于B，由，则，
整理可得，故B正确；
对于C，由，则，
整理可得，故C正确；
对于D，由，则，整理可得，故D错误.
故选：BC.
5．（多选）（23-24高二下·江西萍乡·期中）奇函数满足对于任意，有，其中为的导函数，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系
【分析】首先构造函数，在判断函数的单调性和奇偶性，再根据选项判断大小.
【详解】设，，
所以函数在上单调递增，
且，所以函数是偶函数，
则，即，即，故A正确；
，即，所以，故B正确；
，即，即，故C正确；
，，即，故D错误.
故选：ABC
6．（多选）（23-24高二下·山东淄博·期中）已知函数的导函数为，若，且，，则的取值可能为（ ）
A．7B．4C．5D．3
【答案】BC
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】令,利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而求得的取值范围，即可判断.
【详解】因为，令，
则，
所以在定义域上单调递增，所以，
即，又，，
所以，即，
又，所以，，
则的取值可能为4、5.
故选：BC.
7．（23-24高二下·广东珠海·期中）定义在上的偶函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为 .
【答案】
【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、判断证明抽象函数的周期性、函数奇偶性的应用
【分析】由条件证明为周期函数，结合条件及函数的奇偶性可求得，因为不等式可化为，故考虑构造函数，利用导数判断其单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】因为，
所以
所以，
所以函数为周期函数，周期为4，
因为，
所以，
因为是定义在上的偶函数，
所以.
不等式，可化为，
令，
则，又，
所以，即在上单调递减，
因为，
，
不等式的解集为；
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，
具体步骤是：（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数的奇偶性在化简过程中的差异.
压轴三：构造函数比较大小（共5小题）
1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】通过比较的大小，可比较的大小，由于，则，构造函数，利用导数求出其最小值，从而可比较的大小，进而可得答案.
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以，
令，则
，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以当时，，
所以，所以，
所以，所以，
综上.
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查比较大小，考查导数的应用，解题的关键是对变形，然后构造函数，利用导数判断其单调性求出最值，然后比较大小，考查计算能力和转化思想，属于较难题.
2．（22-23高二下·浙江·期中）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】时，构造函数，由单调性得矛盾，时，由即可求解.
【详解】解：由，得，，易知.
当时，记函数，
则
所以在区间上单调递增，所以，所以，所以，矛盾
当时，，所以，所以，
记函数，则在区间上单调递减，又
由得，所以，所以.
综上所述，.
故选：B
【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：
（1）结合函数性质进行比较；
（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；
（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.
3．（23-24高二下·山东聊城·期中）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】比较函数值的大小关系、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】对取对数，构造，对求导，求出，则，可得，构造，对求导，可得出，则，即可得出答案.
【详解】因为，所以，
，所以，
令，
所以，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即，
取，所以，所以，
所以，所以，
，
设，，
所以在上单调递减，且，所以，
所以，所以，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于构造两个函数，，通过对函数求导，得出函数的单调性和最值，即可得出答案.
4．（23-24高二下·江苏常州·期中）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、比较函数值的大小关系
【分析】将两边分别同时取对数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】由，，，
得，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：将两边分别同时取对数，构造函数是解决本题的关键.
5．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知，，，那么的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】由，构造函数、，利用导数讨论两个函数的性质可得、，即可求解.
【详解】，
令，则，
所以函数在上单调递减，则，
即，由，得，即，
所以，即；
令，则，
所以函数在上单调递减，则，即，
又当时，，所以，所以，
即，所以，
所以.
故选：A
压轴四：利用导数研究函数的恒成立问题（共5小题）
1．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知函数.若对于任意的，且，均有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】求导判断在上恒成立，不妨设，则原不等式可转化为，构造函数，再利用导数研究函数的性质即可求得实数的取值范围
【详解】因为，
则，
当时，，则恒成立，
所以在上为增函数，
不妨设，则.
因为，所以等价于，
即，
令，，
则在上为增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
则，
所以在上为减函数，所以，
所以，所以实数的取值范围为.
故选：D
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为 ．
【答案】/
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】构造，证明其为奇函数，再利用导函数得到的单调性，变形不等式得，则，分离参数得，然后分两方面讨论即可得到的最大值.
【详解】设，则其定义域为，且
，故为奇函数.
而，且仅在时，所以为增函数.
同时，不等式可化为，即.
而是奇函数，故原不等式又等价于，再根据是增函数，知这等价于.
当时，这可化为，故条件即为对任意成立.
①一方面，在条件中取，即可得到，从而一定有；
②另一方面，当时，我们证明对任意的，都有.
首先，代入，然后两边同乘正数，可知该不等式等价于.
设，则，故对有，对有.
从而在上递减，在上递增，所以对均有.
这就意味着，所以
.
从而由即可得到.
这就证明了不等式对恒成立，从而原条件一定满足.
综合①②两方面，可知的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造出函数，利用其奇偶性和单调性得到不等关系，再分离参数即可.
3．（24-25高二上·江西宜春·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上恒成立，求的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）根据导数的几何意义求解函数在某点的切线方程；
（2）分类讨论以及结合导数和函数的增减性，分别从，，三方面分类讨论；
【详解】（1）当时，，
，
所以曲线在点处切线的斜率，
又，
所以曲线在点处切线的方程为即.
（2）因为在区间上恒成立，即，
对，即恒成立，
令，只需，
，，
当时，有，则，
在上单调递减，符合题意，
当时，令，
其对应方程的判别式，
若即时，有，即，
在上单调递减，，符合题意，
若即时，，对称轴，
又，
方程的大于1的根为，
，，即，
，，即，
所以函数在上单调递增，，不合题意.
综上，在区间上恒成立，
综上，实数的取值范围为.
4．（24-25高三上·天津·期中）已知函数.
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)若，当时，证明：恒成立；
(3)若函数在处的切线与直线垂直，且对任意的恒成立，求的最大整数值.
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)证明见解析
(3)3
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参）
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可；
（2）构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可证明；
（3）根据导数的几何意义求出，将原问题转化为对，恒成立，利用导数分类讨论研究的性质求出，令即可.
【详解】（1）当时，，，
令可得，故当时，在单调递减；
当时，在单调递增；
故递减区间为，递增区间为，
函数的极小值是唯一的极小值，无极大值.
又，
在上的最大值是，最小值是；
（2）当时，令，
.
当时，，则在上单调递增，
所以当时，，所以恒成立.
（3）因为函数的图象在处的切线与直线垂直，
所以，即，解得
所以.
因为对，恒成立，
所以对，恒成立.
设，则，
令，得.
当即时，
由，得；由，得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，需，得.
当时，，成立；当时，，不成立；当时，都不成立，
所以实数的最大整数值为3.
当即时，，，在上单调递增，
所以，符合题意.
综上，实数的最大整数值为3.
【点睛】方法点睛：利用导数证明形如的不等式恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
5．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2).
（i）当时，求的最小值；
（ii）若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增.
(2)（i）；（ii）
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）求出，就、分类讨论后可得函数的单调性.
（1）（i）求出，讨论其符号可得函数的最小值；
（ii）求出函数的三阶导数得该函数恒为正，从而就、分类讨论二阶导数的符号可得的增减性，故可得时不等式恒成立.
【详解】（1），
若，则，
故当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若，则，而，
若在上恒成立，
故同理可得在上单调递减，在上单调递增；
综上，在上单调递减，在上单调递增.
（2）,
当时，，
则，其中，
因在上为增函数，且当时，，
故当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
故.
（ii），
设，则，
设，
则当时，，
故在为增函数，故，
若，则即在上恒成立，
故即在上为增函数，故，
故在上为增函数，故恒成立.
若，，
而，故在上有且只有一个零点，
且当时，，
故在为减函数，故时，，
故在为减函数，故时，，
这与题设矛盾，
综上，.
【点睛】思路点睛：含参数的不等式恒成立问题，注意结合端点效应分类讨论，有时需要多次求导讨论各阶导数的符号，从而得到上阶导数的单调性，注意两者之间的对应性.
压轴五：利用导数研究函数的能成立问题（共5小题）
1．（24-25高三上·山东泰安·期中）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究能成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】对，及进行分类讨论，分别判断条件是否满足，即可得到答案.
【详解】设，则，.
故对有，对有.
这表明在上递增，在上递减.
而，，.
所以结合的单调性知，存在，使得对有，对有，且.
这表明在和上递减，在上递增.
从而对有，对有，对有.
故对任意，都有，而对任意，都有.
下面对进行分类讨论：
①若，则对有，，从而，且.
故，满足条件；
②若，则有，满足条件；
③若，设，则.
从而对有，对有.
所以在上递增，在上递减，这就得到
.
故对任意，都有
，不满足条件.
综上，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于分类讨论，以求得的取值范围.
2．（23-24高二下·江苏常州·期中）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究能成立问题
【分析】题设中的不等式等价于，令，结合导数可得该函数的单调性，结合可得的解，从而可求实数的取值范围.
【详解】由有意义可知，.
由，得.
令，即有.
因为，所以，令，
问题转化为存在，使得.
因为，令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，所以当时，.
因为存在，使得成立，所以只需且，解得.
故选：.
3．（23-24高二下·河北石家庄·期中）若，使得成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、指数函数图像应用、利用导数研究能成立问题、对数的运算
【分析】令，得到不等式，通过数形结合或者单调性得到的范围，由此反推出的范围.
【详解】由，原不等式可变形为，
移项两边同时加1得，，
令，原式得，
法一：令，
因为，
由图象可知，当时，可得，
法二：设，则，
易知在上单调递增，且，
所以存在唯一的，使得，
即在上递减，在上递增，
且，
所以，
即，
所以，因为使命题成立，
所以，解得：.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将不等式变形后设，通过换元达到化简不等式的目的.
4．（24-25高三上·天津·期中）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求函数的最小值，并证明；
(3)当时，若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)最小值为，证明见解析
(3)
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究能成立问题、利用导数证明不等式
【分析】（1）求导可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果；
（2）由条件可得，即可得到，再由裂项相消法代入计算，即可证明；
（3）将不等式转化为在上有解，令，转化为在上有解，然后求导计算，即可得到结果.
【详解】（1）的定义域为，，
①当时，恒成立，在上单调递减.
②当时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增.
综上可得：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，
由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以当时，函数的最小值为，
因为，即，
当时，，即，
即，
令，则，
所以，
故当时，.
即
（3）关于的不等式在区间上有解，
即在上有解，
即在上有解，
又，由（1）可知时，即，
令，则，
则在上有解，
令，则，
令，得，
所以，当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以存在使得，
所以，当或时，，当时，，
所以只需，即时满足题意.
所以的取值范围为
5．（22-23高二下·山东淄博·期中）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若存在，，使得恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究能成立问题
【分析】（1）求导后，研究导函数的零点个数即大小关系，对参数进行讨论即可；
（2）先计算，然后分离变量转化为函数的最值问题.
【详解】（1）定义域
，
若,则,令,得，
当单调递减，
当单调递增，
若,得或，
若,则对恒成立,所以在上单调递减，
若,则，
当单调递减，
当单调递增，
当单调递减，
若,则，
当单调递减，
当单调递增，
当单调递减，
综上，
若在上单调递减,在上单调递增，
若在上单调递减，
若在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减，
若在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减，
（2）因为,所以,即在[1,2]上单调递减，
所以在，
所以，
所以，
即,对恒成立，
设，
则,令,得，
当单调递增，
当单调递减，
所以，
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是处理，因为是存在性问题，所以只需要.
压轴六：利用导数研究函数的零点方程的根（共5小题）
1．（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点
【分析】利用导数研究函数的性质，确定方程的解的情况，然后结合二次方程根的分布知识求参数范围．
【详解】依题意，函数，
当时，求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，在时，取得极小值，
时，求导得，在上单调递增，值域为，
作出函数的大致图象，如图，

令，由图象知当时，无实解；当时，有一解；
当时，有两解；时，有三解，
方程有四解，则方程有两解且，
令，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：本题是把函数的性质与二次方程根的分布知识结合起来求解，利用导数研究函数的性质得出方程的解的情况，再利用二次方程根的分布知识求解.
2．（24-25高三上·天津·期中）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值；
(3)已知，函数有3个零点为：，且，证明：.
【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是
(2)
(3)证明见解析
【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
【分析】（1）先求导，然后根据导函数的正负判断的单调性，由此可确定出单调区间；
（2）根据条件写出切线方程，通过联立思想求解出关于切点坐标的表示，由此构造函数分析单调性和最小值，即可确定出整数的最小值；
（3）将问题转化为方程有三个根，借助图象分析出的范围，然后通过转化将待证明的问题变为证明，再通过构造函数分析单调性和最值完成证明.
【详解】（1），令，解得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（2）设切线分别与和交于，
的导数为，的导数为，
所以处切线方程为，处切线方程为，
由公切线可知，，
所以，化简可得，
因为公切线有两条，所以有两个根；
设，所以，
因为均在上单调递增，所以在上单调递增，
且，所以存在唯一使得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以且，
所以，
由对勾函数性质可知在时单调递增，
所以，所以，
且时，，时，，
所以若有两个根，则，故整数的最小值为.
（3）的定义域为，
由题意可知，是方程的三个根；
当时，令，所以，
令，所以，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以，
所以在上单调递增，且；
当时，令，所以，由解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
且，，
作出的简图如下图所示，
由图象可知，，
要证，只需证，即证，
因为，所以，
又因为在上单调递增，
所以只需证，且，
所以只需证，即证（*）；
设，
所以，
所以，
因为，对称轴且开口向下，
所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递减，
所以，所以对恒成立，
所以（*）成立，即成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
(3)适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
(4)构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
3．（24-25高三上·湖北·期中）设函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)判断并证明函数在区间上零点的个数.
【答案】(1)函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
(2)函数在区间上有2个零.，证明见解析
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）求出函数的导数后根据导数的符号可得函数的单调性；
（2）根据（1）中函数的单调性可得函数在区间上存在唯一的零点，设，根据三角函数的性质可得判断出，故结合零点存在定理可判断在上的单调性，再结合零点存在定理可判断零点的个数.
【详解】（1），且.
当时，，，
从而，
即此时函数在区间上单调递增；
当时，，，
从而，
即此时函数在区间上单调递减.
∴综上所述，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2），又，且函数在区间上单调递减，
∴函数在区间上存在唯一的零点.
当时，记，
从而，且此时，，
∴，在区间上单调递增.
，，∴存在，使得
且时，，即此时在区间上单调递减；
时，，即此时在区间上单调递增.
∴由，得，
即函数在区间上无零点；
而由，，
即函数在区间上有唯一的零点.
∴函数在区间上有2个零点.
【点睛】思路点睛：函数零点问题，需利用导数讨论其单调性，再结合零点存在定理判断零点个数.
4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数.
(1)求出在上的值域；
(2)已知函数，求在定义域上的零点个数.
【答案】(1)
(2)2个零点
【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）由题可得的解，即可得在上的单调性，即可得值域；
（2）由题可得在时无零点，然后令，由单调性结合零点存在性定理可得单调性，最后再由零点存在性定理可得答案.
【详解】（1），
因为，由得到，
由，得到或，
所以的单调性如下表所示：
即的值域为；
（2），
，
当时，，，所以，
所以函数单调递减，所以，此时函数无零点；
当时，设，则，
所以在单调递增，即在单调递增，
，，
因此在，即在上有唯一零点，记零点为，即，
在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
又，，，
所以在有一个零点，在上有一个零点，
综上所述，在定义域上有2个零点.
【点睛】关键点睛：对于零点问题，可转化为函数图像与直线交点个数问题，也可结合单调性与零点存在性定理讨论.
5．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知函数，.
(1)如果函数在处的切线，也是的切线，求实数的值.
(2)若在存在极小值，试求的范围.
(3)是否存在实数，使得函数有3个零点，若存在，求出所有实数的取值集合，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用、已知切线（斜率）求参数
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）利用极值点的定义，得出，然后构造函数求出的范围即可；
（3）根据的单调性对进行分类讨论，注意，然后转化为在上有唯一零点求解即可.
【详解】（1），，
故在处的切线为，
也是的切线，
故方程只有一个解，即只有一个解，
，解得.
（2），
，
当时，，无极值点，不符合题意；
当时，在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
故的极小值点，则，
故，
设，，则，
此时，
设，则，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
，故,
即
（3），，
，
当时，，在单调递减，不存在3个零点；
当时，，在单调递增，不存在3个零点；
当时，，
因为在上单调递增，设，
则在上也是单调递增，且，
当，，
故存在唯一一个，使，
即在，，，单调递减；
在，，，单调递增；
且，故，且，
故在有唯一零点，
，故，
当时，，因为在有唯一零点，故在也有唯一零点，
故当，有3个零点;
综上所述，所有实数的取值集合为.
【点睛】关键点点睛：本题的解题过程中，需通过导数分析函数的性质，并将问题转化为函数零点的讨论，充分体现了数学思想方法的应用．在解题时，要特别注意导数符号的变化对函数单调性的影响，确保分类讨论的全面性和严谨性．
压轴七：利用导数研究双变量问题（共5小题）
1．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)令，若存在，且时，，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）参变分离可得在上恒成立，设，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解；
（3）根据题意可得，通过构造函数，求函数单调性及参变分离可得，令，通过导数得的单调性，即可证明，从而可证明.
【详解】（1）定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递增
当时，由得，由得，
即在上单调递增，在上单调递减，
综上可得当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）当时，不等式恒成立在上恒成立，
设，，所以，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以时，；
（3），，
，
令，则，
在上单调递增，不妨设，
，
，
要证，即，只需证，
令，只需证，只需证，
设，则，
∴在上单调递增，∴，
所以，即成立，
∴，即.
【点睛】思路点睛:利用导数求含参函数的单调性时，一般先求函数的定义域，求出导数后，令导数为零，解方程，讨论方程的根的个数以及根与定义域的位置关系，确定导数的符号，从而求出函数的单调性.
2．（23-24高二下·福建·期中）已知函数．
(1)讨论函数的单调性;
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，
（i）求实数的取值范围;
（ii）求证:．
【答案】(1)答案见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究双变量问题、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）先对进行求导，再对值分类讨论，即可判断其单调性；
（2）（i）先将方程进行化简得，利用换元，将原方程转换成关于得方程有两个不等的实根；再令，利用导数判断函数的单调性及极值，并作出的大致图像，即可求解出的取值范围；
（ii）要证，即证，由，得到，推导后得到，即证；令，只需证 ，构造函数，，利用导数即可证得结果.
【详解】（1）因为，
所以，其中
①当时，，所以函数的减区间为，无增区间；
②当时，由得，由可得．
所以函数的增区间为，减区间为．
综上：当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的增区间为，减区间为．
（2）（ⅰ）方程可化为，即．
令，因为函数在上单调递增，
易知函数的值域为，
结合题意，关于的方程（*）有两个不等的实根．
又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为．
令，其中，则．
由可得或，由可得，
所以，函数在和上单调递减，在上单调递增．
所以，函数的极小值为，
且当时，；当时，则．
作出函数和的图象如图所示：
由图可知，当时，函数与的图象有两个交点，
所以，实数的取值范围是．
（ⅱ）要证，只需证，即证．
因为，所以只需证 ，
由（i）知，不妨设．
因为，所以，即，作差可得
所以只需证，即只需证．
令，只需证 ，
令，其中，
则，
所以在上单调递增，故，即在上恒成立．
所以原不等式得证.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用比值换元法并结合导数证明不等关系.
3．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数有两个极值点，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式
【分析】（1）将原问题转化为直线与函数的交点个数.利用导数讨论函数的性质可得，分类讨论求出当或、、时对应的零点个数即可；
（2）由极值点的概念可得，进而，利用换元法（令）得，利用导数证明即可证明.
【详解】（1）令得，
设.
要求的零点个数，即求直线与函数的交点个数.
则由得，由得，
函数在上单调递增，在上单调递减，得，
当且无限趋近于0时，；当趋向于正无穷时，且无限接近于0.
故当或即或时，函数只有一个零点；
当即时，函数有两个零点；
当时，函数没有零点.
（2）函数有两个极值点.
方程有两个不相同的正根，
不妨设，则有.
要证明，
只需证明
将式两式相加整理得，
将式两式相减整理得，
则，即，
令，则有.
只需证明，
即证
令，则恒成立，
所以函数在上单调递增，则函数成立.
故原不等式成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
4．（23-24高二下·湖北武汉·期中）设函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若有两个零点，，
①求a的取值范围；
②证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)①；②证明见解析
【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）（1）对求导数，分和两类情况讨论，得到函数的单调区间；
（2）由（1）得a的取值范围，构造，证明不等式，
通过证明，证明.
【详解】（1）由，，可得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
所以在单调递减，在单调递增；
（2）①因为函数有两个零点，由（1）得，
此时的递增区间为，递减区间为，有极小值
当，，当，在上有一个零点，
当，，当，在上有一个零点，
所以由可得
②证明：由（1）可得的极小值点为，则不妨设．
设，，
可得，，
所以在上单调递增，所以，
即，则，，
所以当时，，且．
因为当时，单调递增，所以，即
设，，则，则，即．
所以，．
设，则，所以在上单调递减，
所以，所以，即．
综上，
【点睛】方法点睛：构造，应用单调性证明不等式，再通过证明，证明即可.
5．（22-23高三上·江苏常州·期中）已知函数，，．
(1)若在x＝0处的切线与在x＝1处的切线相同，求实数a的值；
(2)令，直线y＝m与函数的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，证明：．
【答案】(1)a＝1
(2)证明见解析
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数中的极值偏移问题、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）由于在x＝0处的切线与在x＝1处的切线相同，即可.
（2）本问题为极值点偏移问题，可转化为单变量的不等式证明，构造函数，利用导数证明即可.
【详解】（1），．，，1－a＝a－1，a＝1．
检验a＝1时两个函数切线方程都是y＝1．
（2），x＞0，令，则，
∴在递增，，，
因为函数连续不间断，所以存在唯一实数，
，，从而在递减，递增．
不妨设，则，
当时，．
当，则，，在递增，
，
令，，
令，，
令，，
，在递减，
因为，，，在递增，
，所以在递减，
所以，
即，即，
因为，，在递增，
所以，所以．综上可得，．
【点睛】导数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，转化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，极（最）值问题处理.
0
-
0
+
0
-
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
0
1
2
3
+
0
0
+
1
极大值6
极小值5
10
-
-
0
+
0
-
-
0
极小值
极大值
0