备战高二数学下学期期中（北师大）专题06 第二章 导数与函数的零点（方程的根）（考点梳理）（原卷版）

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清单01 函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．
（2）三个等价关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．
清单02 函数零点判断
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
【考点题型一】讨论函数零点（方程的根）的个数（）
【例1】（2024·江西·模拟预测）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：是周期函数；
(3)判断在上的零点个数，并说明理由.
【变式1-1】.（24-25高三上·江西上饶·期中）已知函数.
(1)若的图象在处的切线方程为，求的值；
(2)若，证明：；
(3)讨论的零点的个数.
【变式1-2】.（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）函数的导函数为，函数的导函数是，已知函数.
(1)若，求的值和函数的单调区间；
(2)若，讨论的零点个数.
【变式1-3】.（2024高三下·江西新余·专题练习）已知函数，，.
(1)证明：存在直线与的图象相切且有无穷多个切点.
(2)当时，设的极大值点从小到大依次为，记，求证：数列为减数列.
(3)判断在上的零点个数.
【变式1-4】（2024·江西·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)若，求函数的零点个数.
【考点题型二】证明函数零点（方程的根）的唯一性（）
【例2】（23-24高三下·安徽亳州·开学考试）设函数，其中，．
(1)若，且在区间单调递减，在区间单调递增，求t的最小值；
(2)证明：对任意正数a，b，仅存在唯一零点．
【变式2-1】.（2024·全国·三模）已知函数，是的导函数，且．
(1)求实数的值，并证明函数在处取得极值；
(2)证明在每一个区间都有唯一零点．
【变式2-2】.（23-24高三·河南洛阳·阶段练习）已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，证明：在上存在唯一零点．
【变式2-3】.（23-24高二上·陕西汉中·阶段练习）已知函数，其中.
（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（III）若存在极值，证明有唯一零点.
【考点题型三】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根）（）
【例3】（23-24高三下·江西赣州·阶段练习）已知函数．
(1)当时，若的最小值为，求实数的值；
(2)若存在，使得函数恰有一个零点，求实数的取值范围．
【变式3-1】.（多选）（24-25高三上·江西吉安·期末）若方程有三个实根，则b的可能取值为（ ）
A．-1B．C．0D．
【变式3-2】.（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值；
(2)若函数无零点，求的取值范围.
【变式3-3】.（2024·江西吉安·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数有2个零点，求的取值范围.
【变式3-4】.（23-24高二上·江西南昌·期末）已知函数（）
(1)求的单调区间；
(2)当有3个零点时，求的取值范围．
【考点题型四】数形结合法研究函数的零点（方程的根）（）
【例4】（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知.
(1)求的极值；
(2)画出函数的大致图象；（注意：需要说明函数图象的变化趋势）
(3)若函数至多有一个零点，求实数的取值范围.
【变式4-1】.（24-25高三下·江西赣州·阶段练习）曲线关于直线对称的曲线为，若与的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围为 ．
【变式4-2】.（24-25高三上·广东·阶段练习）已知若函数有两个零点，则的取值范围为 ．
【变式4-3】.（2024·四川德阳·一模）若关于的方程有且仅有两个实根，则实数的取值范围为
【变式4-4】.（24-25高三上·河南·阶段练习）已知曲线上有不同的两点和，若点关于直线的对称点在曲线上，则实数的取值范围为 .
【考点题型五】导数中新定义题（）
【例5】（24-25高三下·江西·开学考试）定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与为“契合函数”．
(1)判断函数和是否为“契合函数”；
(2)若函数和不为“契合西数”，求的取值范围；
(3)若函数和在区间上为“契合函数”，求的取值范围．
【变式5-1】.（2025·江西·一模）设是定义在上的函数，若对于任意的，存在，均有，则称为“函数”．
(1)若函数，证明：不是“函数”．
(2)若函数，证明：是“函数”．
(3)对于区间，定义，已知，且为“函数”，证明：．
【变式5-2】.（2024·江西新余·模拟预测）在分析学中，我们给出了函数极限的两个性质：①保号性：若，则存在（足够小）使在区间恒有；若，则存在（足够大），当时恒有；（）同理；②保不等式性：若，则，其中与可以是无穷.注意：可以是一个常数，也可以是.已知函数的导函数为.
(1)设为在处的切线，求出的方程并证明的图像恒在曲线的下方.
(2)令，求证：对，恒有两个零点.
【变式5-3】.（23-24高三上·江西鹰潭·期中）对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”.
(1)若，求函数的“笃志点”；
(2)已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围；
提升训练
一、单选题
1．（22-23高三下·江西·阶段练习）若函数有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2010·重庆·一模）已知为R上的可导函数，当时，，若，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．0或2
3．（23-24高三上·北京东城·期中）已知函数与，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数，若方程在上有且仅有一个实数根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三下·全国·开学考试）已知函数恰有一个零点，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（24-25高一上·湖北随州·期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2025高三·全国·专题练习）函数的零点个数可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
三、填空题
10．（24-25高二下·福建福州·阶段练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
11．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是 .
四、解答题
12．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数．
(1)当时，求的极小值；
(2)若函数有2个零点，求的取值范围．
13．（2025·辽宁·一模）已知函数．
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)证明：函数在上有两个零点．
14．（2025·四川广安·二模）已知函数（为常数）.
(1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；
(2)是否存在实数，使得有3个零点？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由.
15．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若，讨论的零点个数．