备战高二数学下学期期中（人教A）专题05 第五章 导数与函数的零点（考点梳理）（原卷版）

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清单01 函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．
（2）三个等价关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．
清单02 函数零点判断
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
【考点题型一】判断（讨论）函数零点（方程的根）的个数（）
【例1】（2025·贵州六盘水·一模）已知函数．
(1)当时，证明函数在单调递增；
(2)若函数在有极值，求实数a的取值范围；
(3)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数．
【变式1-1】.（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值；
(2)讨论的零点个数，并证明.
【变式1-2】.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)画出函数的大致图像并求出方程的解的个数．
【变式1-3】.（2025·山东·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在区间上的最值；
(2)讨论的零点个数．
【变式1-4】.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数在上零点的个数.
【考点题型二】证明函数零点（方程的根）的唯一性（）
【例2】（24-25高三下·河南·阶段练习）已知函数，.
(1)讨论的单调区间；
(2)若直线为的切线，求a的值.
(3)已知，若曲线在处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围.
【变式2-1】.（2025·安徽滁州·一模）已知函数
(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围;
(2)若，求证：有且只有1个零点.
【变式2-2】.（2025高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)证明：函数只有一个零点；
【变式2-3】.（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数 ，其中 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明: 在 上均恰有一个零点.
【变式2-4】.（24-25高三下·浙江·开学考试）已知函数是奇函数．
(1)求a；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)证明：函数有且仅有1个零点．
【考点题型三】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根）（）
【例3】（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数 其中a为实数.
(1)当 时，求曲线 )在点处的切线方程;
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数有且仅有一个零点，求a的取值范围.
【变式3-1】.（2025·四川巴中·一模）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)求证：当时，；
(3)若.其中.讨论函数的零点个数.
【变式3-2】.（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数上点处的切线方程为
(1)求的解析式；
(2)若函数在上有两个零点，求的取值范围．
【变式3-3】.（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数.
(1)若在区间上不是单调函数，求a的取值范围；
(2)若方程有两个不等实根，求a的取值范围.
【变式3-4】.（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
【考点题型四】数形结合法研究函数的零点（方程的根）（）
【例4】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知函数．
(1)求函数极值点：
(2)讨论关于的方程解的个数．
【变式4-1】.（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数
(1)判断函数的奇偶性.
(2)当时，求函数经过点的切线方程；
(3)若函数在处有极值，根据实数的不同取值，讨论关于的方程的实根的个数.
【变式4-2】.（2025·湖北·二模）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，讨论方程的根的个数.
【变式4-3】.（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数在处有极大值.
(1)求实数的值；
(2)若函数，研究方程实数根的个数及实数的取值范围.
【变式4-4】.（2025·山东·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为（是自然对数的底数），求的值；
(2)若有且只有两个零点，求的取值范围．
【考点题型五】利用同构函数法研究函数的零点（方程的根）（）
【例5】（24-25高三上·云南昆明·期中）已知是函数的零点，则（ ）
A．0B．C．1D．
【变式5-1】.（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】.（2024·河南驻马店·二模）已知函数的定义域为，若存在零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】.（23-24高二下·湖南·期中）已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-4】.（2024高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点题型六】】导数中新定义题（）
【例6】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知是函数的零点，若对满足的任意正整数，使得，则称“被控制”．
(1)已知函数，若“被2控制”，求的取值范围．
(2)已知函数有三个零点．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：“被1控制”．
【变式6-1】.（24-25高二下·山西·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
(1)已知函数，求曲线在处的曲率的值；
(2)已知函数，求曲线在点处的曲率的最大值；
(3)对（2）中的，记，证明：在区间上有且仅有2个零点．
【变式6-2】.（2025·湖南·模拟预测）若函数的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，则称该公共点为函数与的一个“公切点”.
(1)若函数与存在“公切点”，求实数的值；
(2)设函数，直线是曲线在点处的切线.求证:直线不经过点(1,0);
(3)已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“公切点”?并说明理由.
【变式6-3】.（24-25高三下·上海·阶段练习）已知k、，函数的定义域为，直线l的方程为，记集合．
(1)若，求集合；
(2)若，且存在实数k、m使得集合中有且只有两个元素，求实数b的取值范围；
(3)若函数的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为的严格减函数，求证：“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件．
提升训练
一、单选题
1．（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）已知函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·福建泉州·期末）若函数有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数，有大于的极值点，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）定义：若函数存在个极值点，则称为折函数．例如，函数为3折函数．已知函数，则为（ ）（参考数据：）
A．3折函数B．4折函数C．5折函数D．6折函数
6．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）函数有三个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（20-21高二下·陕西榆林·阶段练习）已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）若函数与的零点个数相同，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．（23-24高二下·海南·期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 .
10．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 .
三、解答题
11．（24-25高二上·海南·期末）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数有两个零点，求实数的值．
12．（23-24高二下·浙江台州·期中）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若有三个零点，求的取值范围.
13．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，求实数的取值范围；
(3)若在区间上有且仅有一个零点，求实数的取值范围．
14．（重庆市部分区县2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题）已知函数．
(1)若，求在上的值域；
(2)若，求在上的零点个数．