备战高二数学下学期期中（人教A）专题03 高二下学期期中真题精选（第四章 数列）（原卷版）

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（人教A版2019选择性必修第二册第四章 数列）

题型一 等差（比）数列通项的基本量计算
题型二 等差（比）数列角标和性质
题型三 等差（比）数列前项和基本量计算
题型四 等差（比）数列前项和性质
题型五 数列求通项（高频）
题型六 数列求和之倒序相加法（高频）
题型七 数列求和之分组求和法（高频）
题型八 数列求和之裂项相消法（高频）
题型九 数列求和之错位相减法（易错）
压轴一 数列求和之分组求和（分类讨论）（重点）
压轴二 数列求和之裂项相加法 （易错）
压轴三 数列不等式中的恒（能）成立问题 （难点）
压轴四 数列新定义题（难点）
题型一、等差（比）数列通项的基本量计算（共8小题）
1．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列是等差数列，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知等差数列中，，则数列的公差（ ）
A．1B．C．D．2
3．（24-25高三上·福建·期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A．B．C．1D．
4．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知数列的前项和为，若，且，则下列说法错误的是（ ）
A．是递减的等差数列B．数列的首项为正数
C．的最大值是20D．是中的项
5．（24-25高三上·湖北·期中）已知等比数列的前3项和为28，且，则（ ）
A．28B．56C．64D．128
6．（23-24高二上·河北衡水·期中）已知等比数列中，，，则公比（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知首项为的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
8．（24-25高二上·浙江宁波·期中）在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
题型二、等差（比）数列角标和性质（共8小题）
1．（24-25高二上·福建三明·期中）已知等差数列满足，公差为3，则（ ）
A．8B．6C．5D．5
2．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，，则的值为（ ）
A．7B．14C．21D．28
3．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知在等差数列中，，，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．（24-25高三上·安徽黄山·期中）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ）
A．B．C．11D．10
5．（24-25高二上·山东·期中）已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（ ）
A．B．3C．D．4
6．（24-25高二上·河南开封·期中）在等差数列中，若，则 ．
7．（24-25高二上·湖南永州·期中）在正项数列中，，且，则 .
8．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列是各项均为正数的等比数列，，则 .
题型三、等差（比）数列前项和基本量计算（共8小题）
1．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．3
2．（23-24高二下·辽宁·期中）设为数列的前项和，若，且存在，，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·福建龙岩·期中）设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ）
A．64B．14C．10D．3
4．（24-25高三上·山西·期中）已知是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（多选）（24-25高二上·浙江宁波·期中）设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．与均为的最大值D．为的最小值
6．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知等比数列的前项和为，且，，则 .
7．（24-25高二上·重庆·期中）设等比数列的前项和为，，，则
8．（24-25高三上·辽宁·期中）设数列的前项和为，且满足，则 .
题型四、等差（比）数列前项和性质（共8小题）
1．（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·河北·期中）若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·河北·期中）等差数列与的前项和分别为，且，则（ ）
A．2B．C．D．
4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．8C．9D．16
5．（24-25高三上·安徽·期中）记为正项等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．6B．9C．12D．15
6．（24-25高二上·福建·期中）记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．36B．32C．24D．16
8．（23-24高二上·湖南张家界·期中）已知等差数列的前n项和为，若，则 ．
题型五、数列求通项（共10小题）
1．（23-24高二下·河南南阳·期中）在数列中，若，则（ ）
A．1012B．1013C．2023D．2024
2．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知数列的首项为14，且，则的最小值为 .
3．（24-25高二上·河南·期中）记数列的前项和为，已知且，则 .
4．（24-25高三上·河北·期中）已知数列中，且，则 .
5．（24-25高三上·天津·期中）已知数列的前项和为，若，则 .
6．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列的前n项和为，且，，则 ．
7．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足
(1)求的通项公式；
8．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列对于任意都有．
(1)求数列的通项公式．
9．（24-25高三上·河北·期中）已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列为等比数列；
10．（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知首项为1的正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
题型六、数列求和之倒序相加法（共5小题）
1．（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4050B．2025C．4052D．2026
2．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 .
3．（23-24高二下·江苏无锡·期中）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
①函数的对称中心坐标为 ；
②计算 .
4．（22-23高二下·湖南长沙·期中）德国数学家高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成.已知某数列通项 .
5．（22-23高二下·河南信阳·期中）给出定义：设是函数的导函数，是函数 的导函数，若方程有实数解，则称()为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数．都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，已知函数
(1)求出的对称中心；
(2)求 的值．
题型七、数列求和之分组求和法（共5小题）
1．（24-25高三上·江苏苏州·期中）在数列中，，则数列前24项和的值为（ ）
A．144B．312C．288D．156
2．（23-24高三上·天津河东·期中）已知数列满足，，，则数列的前40项和为
3．（24-25高二上·重庆·期中）已知正项数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和；
(3)若，的前项和为，求．
4．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列的前项和满足：,．
(1)求；
(2)若，求的前项和．
5．（24-25高三上·北京海淀·期中）已知无穷等比数列的前项和为.
(1)求的值；
(2)设，求数列的前项和.
题型八、数列求和之裂项相消法（共5小题）
1．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）已知数列满足（），记数列前n项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·河北·期中）已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前项和.
3．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：．
4．（24-25高三上·河北邯郸·期中）已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和．
(1)求数列和的通项公式：
(2)设的前项和，求证：．
5．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值．
(3)已知，求数列的前项和．
题型九、数列求和之错位相减法（共5小题）
1．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知数列的前项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
2．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知数列的前n项和为，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
3．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知数列的首项，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求的前项和．
4．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求实数的值和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
5．（24-25高三上·湖南·期中）记首项为1的数列的前项和为，且.
(1)探究数列是否为单调数列；
(2)求数列的前项和.
压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）（共4小题）
1．（24-25高三上·河北沧州·期中）设数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
2．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列的各项均为正数的等比数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
3．（22-23高二上·福建莆田·期中）已知数列的前n项和公式为．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)令，求数列的前n项和；
4．（21-22高二上·贵州黔西·期中）已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)求数列的前n项和.
压轴二：数列求和之裂项相加法（共4小题）
1．（24-25高三上·四川自贡·期中）数列的前项和
(1)求数列的通项公式；
(2)设恒成立，求的取值范围．
2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知正项等比数列的前项和为且.
(1)求；
(2)求数列的前项的和.
3．（24-25高三上·天津武清·期中）已知数列的前n项和为，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)证明：对于中任意项，在中都存在两项，，使得.
4．（23-24高二下·浙江丽水·期中）设数列为等差数列，前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：．
压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题（共5小题）
1．（24-25高三上·四川自贡·期中）数列的前项和
(1)求数列的通项公式；
(2)设恒成立，求的取值范围．
2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和为；
(3)若对任意恒成立．求实数的取值范围．
3．（24-25高二上·河南信阳·期中）已知正项数列的前n项和为，且满足，.
(1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值；
4．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前项和为，，（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，恒成立，求实数的取值范围.
5．（24-25高三上·河北衡水·期中）已知数列和满足，，，，
(1)求与；
(2)记数列的前项和为，且，若对，恒成立，求的取值范围.
压轴四：数列新定义题（共5小题）
1．（24-25高三上·浙江·期中）每个正整数有唯一的“阶乘表示”为（，，…，），这些满足，其中每个都是整数，且，.
(1)求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”；
(2)若正整数对应的“阶乘表示”为（，，…，），正整数对应的“阶乘表示”（，，…，），其中，求证：；
(3)对正整数，记，表示不超过的最大整数，数列前项和为，若，当最小时，求的值.
2．（23-24高二下·辽宁大连·期中）设数列满足：①；②所有项；
③．设集合，将集合中的元素的最小值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最小值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，2，2，3，3．
(1)请写出数列1，5，7的伴随数列；
(2)设，求数列的伴随数列的前30项之和；
(3)若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和．
3．（23-24高三上·北京·期中）已知数列：，，…，.如果数列：，，满足，，其中，则称为的“衍生数列”.
(1)若数列：，，，的“衍生数列”是：5，，7，2，求；
(2)若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；
(3)若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…依次将数列，，，…第（）项取出，构成数列：，，….求证：是等差数列.
4．（22-23高二下·北京东城·期中）若数列：，，，满足：对任意，均有成立，则称数列为“数列”．
(1)直接判断下面三个数列是否是“数列”；①：，，，；②：，，，；③：，，，；
(2)若“数列”：，，，满足，证明：数列是等差数列的充分不必要条件是；
(3)求的取值范围，使得存在非零实数，对任意正整数，数列：，，，，恒为“数列”．
5．（22-23高二下·北京·期中）已知有穷数列：满足，且当时，，令.
(1)写出所有可能的值；
(2)求证：一定为奇数；
(3)是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由.