备战高一数学下学期期中（人教A）专题02 高一下学期期中真题精选（考题预测）（原卷版）

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压轴一 平面向量基本定理
压轴二 向量的数量积（含最值范围）（重点）
压轴三 向量的模（含最值范围）（重点）
压轴四 平面向量中的新定义题（难点）
压轴五 三角形周长（边长代数和）问题（重点难点）
压轴六 三角形面积问题（重点难点）
压轴七 复数模的最值（范围）问题
压轴八 空间几何体表面积和体积
压轴九 外接球与内切球（高频）
压轴一、 平面向量基本定理（共7小题）
1．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（ ）
A．B．
C．或D．或
2．（多选）（23-24高一下·贵州·期中）在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．与的面积之比为
3．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）如图，已知在中，是的角平分线，与交于点，是的中点，延长交于点，，则 .

4．（23-24高一下·江苏·期中）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，（，）.
(1)求证：为定值；
(2)设的面积为，的面积为，求的取值范围.
5．（23-24高一下·浙江丽水·期中）如图在平行四边形中，，，分别为和上的动点（包含端点），且，．
(1)若
①请用，表示
②设与相交于点，求
(2)若，求的取值范围．
6．（23-24高一下·山东·期中）如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点.
(1)若，求和的值；
(2)若，求的最小值.
7．（23-24高一下·吉林延边·期中）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．2
压轴二、向量的数量积（含最值范围）（共7小题）
1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）菱形边长为，为平面内一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·贵州·期中）已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·天津·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望. 图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若，则 ；若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 .
4．（23-24高一下·贵州·期中）在梯形中，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，求的取值范围 ．
5．（24-25高三上·天津滨海新·期中）如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 ．

6．（24-25高三上·上海·期中）在平行四边形中，，，点在边上，满足，若，点分别为线段上的动点，满足，则的最小值为 .
7．（24-25高三上·北京·期中）在平面直角坐标系中，点为圆上的动点，点的坐标为，其中为常数且．如果的最大值为，那么 ，此时的最小值为 ．
压轴三、向量的模（含最值范围）（共7小题）
1．（23-24高一下·河北石家庄·期中）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·浙江台州·期中）已知向量夹角为，若对任意，恒有，则函数的最小值为 ．
3．（23-24高一下·北京·期中）已知单位向量的夹角为，且（其中).当时， ；当时，的最小值是 .
4．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）设，向量，，且，则 ；当时，的取值范围为 ．
5．（23-24高一下·浙江·期中）已知．
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值；
(3)求的最小值．
6．（23-24高一下·河南南阳·期中）（1）已知，，求满足，的点D的坐标；
（2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值.
7．（23-24高一下·福建·期中）解决下列问题
(1)在平面直角坐标系中，已知，；
(2)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴与轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.在斜坐标系中，
①已知，求；
②已知，，，求的最大值.
压轴四、平面向量中的新定义题（共6小题）
1．（多选）（23-24高一下·福建龙岩·期中）对任意两个非零的平面向量和，定义：：；.若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能是（ ）
A．1B．C．D．
2．（多选）（23-24高一下·山西大同·期中）已知两个非零向量，定义新运算，则（ ）
A．当时，
B．对于任意非零向量，都有
C．对于不垂直的非零向量，都有
D．若，则
3．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；
(3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值．
4．（24-25高一上·河北保定·期中）已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且），点为坐标原点．

(1)设点为线段上靠近的三等分点，，求的值；
(2)如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，，
①当时，求的值（用含，的式子表示）；
②当，时，求的最小值．
（说明：可能用到的计算公式：，）．
5．（23-24高一下·四川泸州·期中）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
(1)若向量的“伴随函数”为，且，求的值；
(2)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．
6．（23-24高一下·山东日照·期中）如图，已知是的外心，，，，，．
(1)判断的形状，且求时的值；
(2)当时，
①求的值（用含的式子表示）；
②若，求集合中的最小元素．
压轴五、三角形周长（边长代数和）问题（共5小题）
1．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是 ．
2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 ．
3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设．

(1)当时，求四边形ABCD的面积；
(2)若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值．
4．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，.
(1)求角B的大小；
(2)若，求的取值范围.
5．（23-24高一下·安徽合肥·期中）在中，三内角对应的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
压轴六、三角形面积问题（共7小题）
1．（22-23高一下·山东青岛·期中）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．6D．
2．（22-23高一下·河南·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，，且，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·广东·期中）设正三角形的三边分别经过点，，，则该三角形面积的最大值为 ．
4．（23-24高一下·广东广州·期中）在等腰中，角所对的边分别为，其中为钝角，.
(1)求;
(2)如图，点与点在直线的两侧，且，设，求的面积的最大值和此时的值.
5．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知函数的最大值是4，函数图象的一条对称轴是，一个对称中心是．
(1)求的解析式；
(2)已知中，是锐角，且，边长为3，求的面积的最大值．
6．（24-25高三上·山东菏泽·期中）定义向量的“亲密函数”为.设向量的“亲密函数”为.
(1)求的单调递增区间；
(2)若方程有三个连续的实数根，，，且，，求实数的值；
(3)已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围.
7．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在中，内角的对边分别为，若
(1)求的大小；
(2)若是线段上一点，且，求的最大值.
压轴七、复数模的最值（范围）问题（共7小题）
1．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（ ）
A．B．4C．D．6
2．（23-24高一下·河北石家庄·期中）当复数z满足时，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（23-24高一下·河北·期中）若复数，满足，，则的最小值为 ．
4．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数 .
5．（23-24高一下·陕西西安·期中）若复数满足为虚数单位，则的最大值为 ．
6．（23-24高一下·重庆·期中）在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，对应的点为点，则点与点之间距离的最小值 .
7．（23-24高一下·福建·期中）已知复数满足，则的最小值为 ．
压轴八、空间几何体表面积和体积（共10小题）
1．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知点为圆锥的底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积为，的面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（23-24高一下·山东·期中）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，体现了数学的对称美．如图，将棱长为2的正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个半正多面体，它们的棱长都相等，则下列说法正确的有（ ）

A．此半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式
B．过A，B，C三点的平面截该正多面体，所得截面面积为
C．若该半正多面体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为
D．若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为
3．（多选）（23-24高一下·山西太原·期中）如图，在直三棱柱中，与相交于点，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的体积是6B．三棱锥的体积为定值
C．的最小值为D．直三棱柱的外接球表面积是
4．（23-24高一下·云南曲靖·期中）祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .

5．（23-24高一下·吉林·期中）如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ .
6．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，直三棱柱中，，，，点P在棱上，且，则当 时，的面积取最小值；此时三棱锥的外接球的表面积为 ．
7．（23-24高一下·山东济南·期中）如图，将两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为4的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．若该正子体的体积为，则 .
8．（24-25高一上·四川·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为 .

9．（23-24高一下·天津河北·期中）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥的体积为 ；四棱锥的表面积是 .

10．（24-25高一上·河南南阳·期中）平均值不等式（，，…，，当且仅当时等号成立）是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究中占有重要的位置，在不等式证明、数列收敛性证明、函数性质分析、数学建模和优化问题等方面，平均值不等式常常能够发挥关键作用.当时，可得基本不等式（a，，当且仅当时，等号成立）.当时，可得，（a，b，，当且仅当时，等号成立），而利用该不等式我们可解决某些函数的最值问题，例如：（）求函数）的最小值我们可以这样处理：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12.
(1)请利用当时的结论解决下面问题：已知，，，求证：；
(2)请利用当时的结论解决下面问题：
①已知，求的最小值；
②已知矩形ABCD的周长为6，设（），将其绕AB所在直线旋转一周所得圆柱的体积为V，求V的最大值.
压轴九、外接球与内切球（共6小题）
1．（24-25高三上·四川成都·期中）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（ ）
A．B． C．D．
2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）四面体ABCD中，，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知一圆锥底面圆的直径为，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为（ ）
A．3B．C．D．
4．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高一上·四川·期中）如图，棱长为2的正方体的内切球为球，，分别是棱和棱的中点，在棱上移动，则下列命题正确的是（ ）
A．存在点，使垂直于平面
B．对于任意点，平行于平面
C．到直线的距离为
D．过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为
6．（24-25高三上·河南·期中）从球外一点作球表面的三条不同的切线，切点分别为，，，，若，则球的表面积为 .
7．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）在四面体中，，，，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为 ．
8．（24-25高二上·四川南充·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，且是正三角形，是的中点，则三棱锥外接球的表面积为 ．