备战高二数学下学期期中（人教A）专题03 高二下学期期中真题精选（第四章 数列）（解析版）

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题型一 等差（比）数列通项的基本量计算
题型二 等差（比）数列角标和性质
题型三 等差（比）数列前项和基本量计算
题型四 等差（比）数列前项和性质
题型五 数列求通项（高频）
题型六 数列求和之倒序相加法（高频）
题型七 数列求和之分组求和法（高频）
题型八 数列求和之裂项相消法（高频）
题型九 数列求和之错位相减法（易错）
压轴一 数列求和之分组求和（分类讨论）（重点）
压轴二 数列求和之裂项相加法 （易错）
压轴三 数列不等式中的恒（能）成立问题 （难点）
压轴四 数列新定义题（难点）
题型一、等差（比）数列通项的基本量计算（共8小题）
1．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列是等差数列，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算
【分析】利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】因为，，所以，解得.
故选：A.
2．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知等差数列中，，则数列的公差（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算
【分析】根据已知及等差数列通项公式列方程求公差即可.
【详解】由已知，得，解得.
故选：A
3．（24-25高三上·福建·期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】先根据等差数列和等比数列的通项公式分别求出和的值，再代入式子求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由，得，
即，即，则，
设等比数列的公比为，由，得，
即，则，即，
所以.
故选：C.
4．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知数列的前项和为，若，且，则下列说法错误的是（ ）
A．是递减的等差数列B．数列的首项为正数
C．的最大值是20D．是中的项
【答案】D
【知识点】求等差数列前n项和的最值、利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算
【分析】根据题意得到该数列为等差数列，依据公差的正负可判断A，根据通项公式可求得B，根据首项以及公差可求得C，根据数列中每一项的特征可判断D.
【详解】，即，则是公差为的等差数列，
对于A，等差数列公差，所以是递减的等差数列，A选项正确；
对于B，等差数列公差，由，有，解得，
所以数列的首项为正数，B选项正确；
对于C，，
时，；时；时，，
所以的最大值为，C选项正确；
对于D，由可知，中的项都是偶数，
所以不是中的项，D选项错误.
故选：D.
5．（24-25高三上·湖北·期中）已知等比数列的前3项和为28，且，则（ ）
A．28B．56C．64D．128
【答案】D
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】通过前3项和以及，求解，由通项公式可计算结果.
【详解】因为，所以，
又的前3项和为28，即①，
又②，
②式比①式可得，解得（舍）或，
代入②式得，则.
故选：D
6．（23-24高二上·河北衡水·期中）已知等比数列中，，，则公比（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】根据等比数列的通项公式列方程，可得解.
【详解】设等比数列的公比为，
则，解得.
故选：B.
7．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知首项为的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、确定数列中的最大（小）项、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】先求基本量公比，求出的通项公式，进而构造数列，构造函数，，研究函数的单调性证明，从而证明当时，成立，进而得到数列的最大项，由此可得的范围.
【详解】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，
则，又，得到，即，解得或（舍），
所以，由，得到，令，
当时，；当时，；
当时，，故.
下面证明当时，.
构造函数，
则，且在单调递增；
则，
故在上单调递增，
则，
所以当，成立，即，
故当时，，则，，
则当时，.
综上可知，数列的最大项为，即.
要使恒成立，即恒成立，则.
故选：C.
8．（24-25高二上·浙江宁波·期中）在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】先求出该等比数列的公比，再将后式化简，得出和的关系，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，
即，解得或（舍去）．
因为，所以，即，所以，
所以或或
所以的值为或或，所以的最小值为．
故选：A．
题型二、等差（比）数列角标和性质（共8小题）
1．（24-25高二上·福建三明·期中）已知等差数列满足，公差为3，则（ ）
A．8B．6C．5D．5
【答案】D
【知识点】利用等差数列的性质计算
【分析】先求出，然后利用等差数列的性质计算即可．
【详解】因为，公差为，所以，
所以，因此，
故选：D．
2．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，，则的值为（ ）
A．7B．14C．21D．28
【答案】B
【知识点】利用等差数列的性质计算
【分析】由等差中项的性质计算即可；
【详解】因为在等差数列中，，
所以，
所以，
故选：B.
3．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知在等差数列中，，，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【知识点】利用等差数列的性质计算
【分析】根据等差数列的性质求解即可.
【详解】根据等差数列的性质，可得，
则，即.
故选：C.
4．（24-25高三上·安徽黄山·期中）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ）
A．B．C．11D．10
【答案】C
【知识点】等比数列下标和性质及应用、对数的运算
【分析】等比数列中若，，则，先根据性质求出的值，最后运用对数性质计算即可.
【详解】在等比数列中，，得.
根据等比数列性质，.
所以
，.
故选：C.
5．（24-25高二上·山东·期中）已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、对数的运算性质的应用
【分析】利用等比数列的性质得到，计算出，结合对数运算性质计算出结果.
【详解】由题意得，为各项均为正数的等比数列，故，
且，
故.
故选：C
6．（24-25高二上·河南开封·期中）在等差数列中，若，则 ．
【答案】60
【知识点】利用等差数列的性质计算
【分析】结合等差数列的性质可求，从而可求代数式的值.
【详解】∵在等差数列中，，∴，解得，
．
故答案为：60
7．（24-25高二上·湖南永州·期中）在正项数列中，，且，则 .
【答案】
【知识点】等比数列下标和性质及应用、对数的运算、等比中项的应用
【分析】先根据对数的运算得到等比数列，再结合等比中项可求得结果.
【详解】，可得，
所以，数列是公比为的等比数列，
因为，且，则，所以.
故答案为：.
8．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列是各项均为正数的等比数列，，则 .
【答案】5
【知识点】对数的运算性质的应用、等比数列下标和性质及应用
【分析】根据等比数列性质结合对数运算运算求解即可.
【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，且，可得，
所以.
故答案为：5.
题型三、等差（比）数列前项和基本量计算（共8小题）
1．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【知识点】等差中项的应用、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】由，取，得，结合，求解即可.
【详解】在中，取，得，
故，即，得，
故选：B.
2．（23-24高二下·辽宁·期中）设为数列的前项和，若，且存在，，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、判断等差数列、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】利用可得,继而可得数列的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，根据可得或，对的取值讨论即可求解．
【详解】由可得存在，使得，且
因为，
所以，
假设，解得或（舍去），
此时，
由存在，，所以有或，
由可得，，两式相减得：，
当时，有，即，
根据可知：数列的奇数项和偶数项分别是等差数列，且公差均为2，
所以，解得，
当时，有，即，，解得，
由已知得，所以．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：利用可得,得数列的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列.
3．（24-25高三上·福建龙岩·期中）设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ）
A．64B．14C．10D．3
【答案】C
【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】根据等差数列前项和公式，可得，再由等差数列的性质可知，从而求得.
【详解】由等差数列前项和公式，可知：，
所以，
由等差数列的性质“当时，”可知：，
所以.
故选：C.
4．（24-25高三上·山西·期中）已知是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】设等比数列公比为，利用等比数列通项公式与求和公式，解出基本量代入求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，由，
解得，所以，解得，
所以.
故选：B.
5．（多选）（24-25高二上·浙江宁波·期中）设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．与均为的最大值D．为的最小值
【答案】AC
【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】由已知可得公差，，即可判断AB；进而由等差数列的性质可判断CD.
【详解】因为，所以，故A正确；
因为是等差数列且，所以公差，故B错误；
因为，且，
所以当时，；当时，，
则与均为的最大值，故C正确，D错误.
故选：AC.
6．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知等比数列的前项和为，且，，则 .
【答案】32
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】先根据等比数列的通项公式与前项和公式求和，再求即可.
【详解】首先，等比数列的公比不是1，这是因为若，则，所以.
由.
由.
所以.
故答案为：32
7．（24-25高二上·重庆·期中）设等比数列的前项和为，，，则
【答案】
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，即可解出的值.
【详解】设等比数列的公比为，则，①
，②
②①得，整理可得，解得，
故.
故答案为：.
8．（24-25高三上·辽宁·期中）设数列的前项和为，且满足，则 .
【答案】
【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】利用等比数列的定义判定，再利用等比数列的通项公式和前项和公式来求解即可.
【详解】由，可得，
所以数列是一个公式为的等比数列，
即，
所以
即，
所以由等比数列的求和公式可得：，
故答案为:.
题型四、等差（比）数列前项和性质（共8小题）
1．（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题
【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得.
【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得，
.
故选：C.
2．（24-25高三上·河北·期中）若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题
【分析】由等差数列的前项和公式结合等差数列的性质求解.
【详解】因为数列均为等差数列，
所以.
故选：A
3．（24-25高三上·河北·期中）等差数列与的前项和分别为，且，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、两个等差数列的前n项和之比问题、利用等差数列的性质计算
【分析】利用等差数列求和公式和等差数列的性质得到，从而得到.
【详解】因为数列与均为等差数列，
则，
所以.
故选：C.
4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．8C．9D．16
【答案】B
【知识点】等比数列片段和性质及应用
【分析】根据等比数列的前项和的性质，将分别用表示，代入即可求解.
【详解】因为所以，则，
由等比数列的前项和的性质可知，
数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，
，即，
所以.
故选：B.
5．（24-25高三上·安徽·期中）记为正项等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．6B．9C．12D．15
【答案】B
【知识点】等比数列片段和性质及应用
【分析】运用等比数列前项和的性质，即：等比数列依次项的和仍为等比数列求解即可.
【详解】设正项等比数列的公比为，
由题意知，，
所以，，成等比数列，
所以，即，
解得（舍负）.
故选：B.
6．（24-25高二上·福建·期中）记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】等比数列片段和性质及应用
【分析】根据等比数列前项和的性质计算即可.
【详解】因为为等比数列的前项和，所以成等比数列，
由，得，则，所以，所以，
所以.
故选：B
7．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．36B．32C．24D．16
【答案】A
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用
【分析】根据给定条件，利用等比数列的公比，再利用性质计算即得.
【详解】设等比数列的公比为，由，，得，
因此，所以.
故选：A
8．（23-24高二上·湖南张家界·期中）已知等差数列的前n项和为，若，则 ．
【答案】36
【知识点】等差中项的应用、等差数列片段和的性质及应用
【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可.
【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列，
可得，即，解得.
故答案为：36.
题型五、数列求通项（共10小题）
1．（23-24高二下·河南南阳·期中）在数列中，若，则（ ）
A．1012B．1013C．2023D．2024
【答案】B
【知识点】判断或写出数列中的项、累乘法求数列通项
【分析】由题意先求出，再将已知式化简后运用累乘迭代法求得，即可求得.
【详解】在中，取，可得，代入解得，
又由可得，
于是，
故.
故选：B.
2．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知数列的首项为14，且，则的最小值为 .
【答案】10
【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、基本不等式求和的最小值
【分析】利用累加法求通项公式，并注意检验首项，然后用基本不等式求最小值，并考虑取等号条件即可.
【详解】当时，由，得，，…，，
将以上各式左右分别相加，
得，
所以，
又满足上式，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立，
即的最小值为10.
故答案为：10.
3．（24-25高二上·河南·期中）记数列的前项和为，已知且，则 .
【答案】
【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】由与的关系，可得，再累加法求解即可．
【详解】当时，由得，
即，
因为，所以，
所以， ，
则，
又满足上式，故，
故答案为：．
4．（24-25高三上·河北·期中）已知数列中，且，则 .
【答案】
【知识点】判断或写出数列中的项、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列
【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此可得，代入求值即可.
【详解】因为，所以，
即，又，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，所以.
故答案为：.
5．（24-25高三上·天津·期中）已知数列的前项和为，若，则 .
【答案】54
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、利用等比数列的通项公式求数列中的项
【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值.
【详解】当时，，所以，即，
当时，，
所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
则.
故答案为：54.
6．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列的前n项和为，且，，则 ．
【答案】
【知识点】由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项
【分析】由，可知是等比数列，由等比数列的通项公式求出，然后由求解即可.
【详解】因为，，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
当时，，
又不符合上式，所以.
故答案为：
7．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【知识点】利用等差数列的性质计算、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解；
【详解】（1）①，
当时，②，
由①②，得，即，
又当时，，满足，所以.
8．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列对于任意都有．
(1)求数列的通项公式．
【答案】(1)
【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列综合
【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解；
【详解】（1）因为①，
当时，②，
由①②，得到，所以，
又时，，得到，满足，
所以数列的通项公式为.
9．（24-25高三上·河北·期中）已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列为等比数列；
【答案】(1)证明见解析
【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项
【分析】（1）由条件可得，，故可证明数列为等比数列.
【详解】（1）∵，
∴当时，，
两式相减得，，整理得，即，
令得，，，，
∴是以为首项，公比的等比数列.
10．（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知首项为1的正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据递推公式可得是首项和公差均为1的等差数列，可得通项公式；
【详解】（1）因为，，且，
所以，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
所以，
因为，所以，且，
所以是首项和公差均为1的等差数列，即有．
题型六、数列求和之倒序相加法（共5小题）
1．（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4050B．2025C．4052D．2026
【答案】A
【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和
【分析】先由得，再由等比中项的性质得，
再得定值，直接代入求和即可.
【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故，
因为，故，
即有，
由，则当时，
有，
设，
，
，，
故．
故选：.
2．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 .
【答案】
【知识点】判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用、倒序相加法求和
【分析】利用中心对称的定义求出图象的对称中心，利用函数的对称性及倒序相加法求出通项.
【详解】函数的定义域为， ，
由，得，
则，
因此函数图象的对称中心是；
由，得，
当时，，
，
，
于是，即，，
所以数列的通项公式为.
故答案为：；.
3．（23-24高二下·江苏无锡·期中）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
①函数的对称中心坐标为 ；
②计算 .
【答案】 2023
【知识点】函数对称性的应用、导数的加减法、倒序相加法求和
【分析】①先对函数求二阶导，得到，根据题意求出拐点，即可得出结果；②先由①得到，推出，用倒序相加法，即可求出结果.
【详解】①因为，
所以，所以，
由得，此时，
由题意可得，即为函数的对称中心；
②由①知，函数关于中心对称，
所以，即，
因此；
记，
则
，
所以.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解三次函数对称中心与拐点的关系，从而得解.
4．（22-23高二下·湖南长沙·期中）德国数学家高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成.已知某数列通项 .
【答案】2022
【知识点】倒序相加法求和
【分析】根据项数和为2023两项和为2，分组求和可得结果.
【详解】因为，
所以，
因此.
故答案为：2022.
5．（22-23高二下·河南信阳·期中）给出定义：设是函数的导函数，是函数 的导函数，若方程有实数解，则称()为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数．都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，已知函数
(1)求出的对称中心；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】函数对称性的应用、求函数的零点、导数的加减法、倒序相加法求和
【分析】（1）求出函数二阶导数的零点后可求函数图象的对称中心.
（2）利用倒序相加法可求的值.
【详解】（1），，令可得，
因为为三次函数，故函数的拐点为，
故图象的对称中心为.
（2）因为图象的对称中心为，故，
设，
则，
所以
，
故.
题型七、数列求和之分组求和法（共5小题）
1．（24-25高三上·江苏苏州·期中）在数列中，，则数列前24项和的值为（ ）
A．144B．312C．288D．156
【答案】C
【知识点】分组（并项）法求和
【分析】根据条件，利用并项求和，即可求解.
【详解】因为，
所以，
故选：C.
2．（23-24高三上·天津河东·期中）已知数列满足，，，则数列的前40项和为
【答案】820
【知识点】判断等差数列、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】根据递推公式得出奇数项数列和偶数项数列各为等差数列，分组求和即可得出前40项和．
【详解】因为，
当为奇数时，则，是首项为1，公差为1的等差数列；
当为偶数时，则，是首项为2，公差为3的等差数列，
．
故答案为：820．
3．（24-25高二上·重庆·期中）已知正项数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和；
(3)若，的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用构造式子相减，再进行因式分解，结合正项数列的概念得出，即可求解；
（2）先求出时，，再进行分类讨论，利用等差数列前项求和公式进行求解即可；
（3）利用分组求和法，公式法进行求和即可求解．
【详解】（1）①
②
①②整理得
数列是正项数列，
当时，由，可得，
数列是以2为首项，4为公差的等差数列，
；
（2），
，
当时，解得，
即，
当时，，
当时，，
当时，，
；
（3）由题意知，，
故
．
4．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列的前项和满足：,．
(1)求；
(2)若，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】错位相减法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项
【分析】（1）令，求出的值，当时，由可得，作差可得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
（2）对任意的，计算出，问题转化为求数列的前项和，利用错位相减法结合分组求和可求得.
【详解】（1）因为数列的前项和满足：，
则，则，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
令，可得，则，解得，
所以，，且，
所以，数列为等比数列，首项为，公比为，
所以，，故.
（2）因为，
对任意的，，
问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为，
，
则，
上式下式得
，
化简得，
因此，.
5．（24-25高三上·北京海淀·期中）已知无穷等比数列的前项和为.
(1)求的值；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据等比数列中的关系可得解；
（2）根据分组求和，利用等比数列、等差数列求和公式得解.
【详解】（1）当时，，
因为是等比数列，所以，
又因为，所以.
（2）由（1）知，
因为，且，
所以是以6为首项，9为公比的等比数列，
题型八、数列求和之裂项相消法（共5小题）
1．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）已知数列满足（），记数列前n项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和
【分析】将数列通项与前项和的关系，求得数列递推公式，进而可得通项，将题设中的数列的通项展开裂项，运用裂项相消法求和，求得和式的范围即得.
【详解】依题意，当时，，解得，
当时，，可得，即.
故是以1为首项，2为公比的等比数列，故.
所以，
所以，
因不等式恒成立，故的取值范围是.
故选：A
2．（24-25高三上·河北·期中）已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组即可求解，，即可得；
（2）由可得，由裂项相消法即可求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
所以，解得，
所以；
（2）因为，
所以，
所以
.
3．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由定义判定等比数列、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）由已知条件可得出，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
（2）设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得出的值，结合已知条件求出的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，利用裂项相消法求出，即可结论成立.
【详解】（1）由可得，且，
所以数列是公比和首项都为的等比数列，
所以，，故.
（2）设等差数列的公差为，且，
因为，可得，
因为、、成等比数列，即，
因为，解得，所以，
，
因为，
综上所述，对任意，.
4．（24-25高三上·河北邯郸·期中）已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和．
(1)求数列和的通项公式：
(2)设的前项和，求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见详解
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和
【分析】（1）根据等差数列，等比数列的基本量运算列式求解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和得证.
【详解】（1）由题，设数列的公比为（），的公差为，
由，即，
解得，，
又，即，
解得，.
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.
（2）由（1）得，，
所以
，
，，
所以.
5．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值．
(3)已知，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2)当时，取最大值；
(3).
【知识点】确定数列中的最大（小）项、写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据给定条件，结合变形等式，再利用等比数列定义求出通项.
（2）求出，作差并探讨数列的单调性求出最大项.
（3）求出，利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）数列中，，当时，，
两式相减得，即，由，得，
因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，，
则，
当时，，即，当时，，即，
所以当时，取得最大值.
（3）由（1）知，，
所以.
题型九、数列求和之错位相减法（共5小题）
1．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知数列的前项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)=
【知识点】错位相减法求和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）应用，可求出通项公式；
（2）方法一应用错位相减法计算求和；方法二应用待定系数法结合累加即可求解.
【详解】（1）当时，.
当时，由，得，
则.
因为，所以.
（2）（方法一）由（1）可得.
则，①
则，②
①，得
，
从而.
（方法二）由（1）可得，
令，则
令，且，
则，
整理得，
则，解得，
故.
.
2．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知数列的前n项和为，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2).
【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）由的关系可判断为等差数列，进而可求解；
（2）由错位相减法求和即可；
【详解】（1）由，
，
，
，
即是以2为公差，1为首项的等差数列，
，即，
当时，，
显然，时，上式不成立，
所以．
（2）当时，，
当时，
则
两式相减得
化简可得：.
当时，，满足；
综上，.
3．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知数列的首项，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和
【分析】（1）由已知得出是首项为3，公差为5的等差数列，根据等差数列通项公式求得，即可求得数列的通项公式；
（2）结合（1），根据错位相减法求解即可．
【详解】（1）由题意知，所以由，得，
所以，又，
所以是首项为3，公差为5的等差数列，
所以，即．
（2）由（1）得，
所以①，
②，
①②，得
，
所以．
4．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求实数的值和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据给定的递推公式，取求得，再利用，结合等比数列求出通项.
（2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）当时，，又，则，所以；
当时，，整理得，
因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
则，
于是，
两式相减得
，
所以.
5．（24-25高三上·湖南·期中）记首项为1的数列的前项和为，且.
(1)探究数列是否为单调数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)数列不是单调数列.
(2)
【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）当时，利用，求出数列的递推关系式即可得解；
（2）利用错位相减法求和.
【详解】（1）由题意得，当时，，
两式作差得，
所以，则数列为常数数列，
无单调性，故数列不是单调数列.
（2）由（1）可得，所以，故．
所以，①
，②
①-②得
所以
压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）（共4小题）
1．（24-25高三上·河北沧州·期中）设数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和
【分析】（1）根据与关系，可得是等比数列，求得答案；
（2）由（1）求出，根据分组求和求得答案.
【详解】（1）因为，所以当时，，
所以，即.
当时，，解得，
则是首项为1，公比为3的等比数列，
故．
（2）由（1）可知当为奇数时，；
当为偶数时，.
当为奇数时，
，
当为偶数时，
.
综上，.
2．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列的各项均为正数的等比数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）由等比数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）可得，再分类讨论结合分组并项求和法求解即可
【详解】（1）设公比为，由题意得
解得
（2）
当为偶数时，，
当为奇数时，；
．
3．（22-23高二上·福建莆田·期中）已知数列的前n项和公式为．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)令，求数列的前n项和；
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【知识点】求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、由递推关系证明等比数列
【分析】（1）利用之间的关系，求得的关系，根据等比数列的定义，即可证明；
（2）根据（1）中所求，求得，对进行分类讨论，结合等比数列的前项和公式，即可求得结果.
【详解】（1）数列的前n项和，，
则当时，，即，
当时，，解得，
所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，，，，
当n为偶数时，，
于是得，
当n为奇数时，，
所以.
4．（21-22高二上·贵州黔西·期中）已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】数列求和的其他方法、分组（并项）法求和、由递推关系证明等比数列
【分析】（1）根据等比数列的定义，证明等于一个定值即可；
（2）求出数列的通项公式，利用分析法和分组求和法即可得出答案.
【详解】（1）证明：因为，，
所以，
所以数列是首项为4，公比为4的等比数列；
（2）解：由（1）可得，即，
则
.
当n为偶数时，，
则
，
当n为奇数时，则
，
综上所述，.
压轴二：数列求和之裂项相加法（共4小题）
1．（24-25高三上·四川自贡·期中）数列的前项和
(1)求数列的通项公式；
(2)设恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】数列不等式恒成立问题、对勾函数求最值、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和
【分析】（1）利用求出通项公式；
（2）在（1）的基础上，裂项相消求出，不等式变形得到，由对勾函数的性质得到单调性，得到的最小值，得到答案.
【详解】（1）当时，，
当时，，
显然满足上式，故的通项公式为；
（2），
所以
，
故，变形得到，
其中，
由于在上单调递减，在上单调递增，
又，故当或时，取得最小值，
当时，，当时，，
故的最小值为，所以.
所以的取值范围是.
2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知正项等比数列的前项和为且.
(1)求；
(2)求数列的前项的和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和
【分析】（1）根据等比数列的性质可得，即可根据求解公比，进而可求解；
（2）利用等比求和公式可得，进而利用裂项相消法求和即可求解.
【详解】（1）设公比为，由可得，
又，解得或，
由于为正项数列，所以，故；
（2）由可得，
，
故
.
3．（24-25高三上·天津武清·期中）已知数列的前n项和为，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)证明：对于中任意项，在中都存在两项，，使得.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【知识点】数列不等式能成立（有解）问题、写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和
【分析】（1）根据与的关系式计算即可；
（2）运用裂项相消计算即可；
（3）找出符合条件的，即可.
【详解】（1）当时，，解得.
当时，，
所以，即，
而，故，故，，
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1）可得，
所以
所以.
（3）∵，，，，
则，
所以结论成立.
4．（23-24高二下·浙江丽水·期中）设数列为等差数列，前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】（1）根据等差数列的性质和前n项求和公式求出公差和首项，结合等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）可得，根据裂项相消法计算可得，即可证明.
【详解】（1），
由，
所以，
所以．
（2）
所以
压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题（共5小题）
1．（24-25高三上·四川自贡·期中）数列的前项和
(1)求数列的通项公式；
(2)设恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】裂项相消法求和、对勾函数求最值、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）利用求出通项公式；
（2）在（1）的基础上，裂项相消求出，不等式变形得到，由对勾函数的性质得到单调性，得到的最小值，得到答案.
【详解】（1）当时，，
当时，，
显然满足上式，故的通项公式为；
（2），
所以
，
故，变形得到，
其中，
由于在上单调递减，在上单调递增，
又，故当或时，取得最小值，
当时，，当时，，
故的最小值为，所以.
所以的取值范围是.
2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和为；
(3)若对任意恒成立．求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，；
(2)；
(3).
【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式；
（2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求；
（3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围.
【详解】（1）由，则，又，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，则，
所以.
（2）由，则，
所以，
所以.
（3）由（1）（2），则，整理得恒成立，
令，则，
当时，当时，当时，
所以，即的最小值为，
综上，.
3．（24-25高二上·河南信阳·期中）已知正项数列的前n项和为，且满足，.
(1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值；
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【知识点】求等比数列前n项和、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）利用的关系，作差即可得，利用等差数列的定义即可求解.
（2）根据等差求和可得，即可分离参数得，根据的单调性求解最值即可求解.
【详解】（1）由可得，
相减可得，
因此，
由于为正项数列，所以，因此，
故，
故数列为等差数列，且公差为2，
又，所以，
故
（2），故，
由可得，化简可得，
因此，
记，则
，
当时，，故，而，
当时，，
，故，
故为数列的最小项，故，
故的最大值为
4．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前项和为，，（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）由，得时，，相减得出数列的递推关系，再确定关系式对是否适用，得证其为等比数列，从而得通项公式；
（2）用错位相减法求得和，不等式恒成立，化为，
利用不等式法（最大项不比前后两项小）或作差法得出最大项，从而得参数范围．
【详解】（1）由，可得：
时，，两式相减可得：，所以，
时，，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，的通项公式为
（2），.
，
，
两式相减得：，
所以，
因为恒成立，可得，
记，
法一：
令，则，解得，
则，即当时，取到最大值2，
可得，所以实数的取值范围.
法二：
，
时，，即，
时，，即，
则，即当时，取到最大值2，
可得，所以实数的取值范围
5．（24-25高三上·河北衡水·期中）已知数列和满足，，，，
(1)求与；
(2)记数列的前项和为，且，若对，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)．
【知识点】写出等比数列的通项公式、二项展开式的应用、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）由等比数列求得，对，写出时等式，两式相减确定是常数列，从而可得；
（2）对中奇数项与偶数项分别求和，再相加得，用作差法证明是递增数列，最小值为，从而易得的范围．
【详解】（1），，是等比数列，公比为2，所以，
∵，
∴，
两式相减得，∴，从而是常数列，，
所以，即；
（2）由已知，为奇数时，，
，
为偶数时，，
则，
，
，
（∵），
∴，∴，
∴，即是递增数列，
所以中最小值为，
对，恒成立，则．
压轴四：数列新定义题（共5小题）
1．（24-25高三上·浙江·期中）每个正整数有唯一的“阶乘表示”为（，，…，），这些满足，其中每个都是整数，且，.
(1)求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”；
(2)若正整数对应的“阶乘表示”为（，，…，），正整数对应的“阶乘表示”（，，…，），其中，求证：；
(3)对正整数，记，表示不超过的最大整数，数列前项和为，若，当最小时，求的值.
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
(3)8
【知识点】累加法求数列通项、作差法证明不等式、数列新定义
【分析】（1）根据阶乘表示的概念解题即可；
（2）表示出和，再用作差法计算证明；
（3）用数列累加法求和，结合解不等式组即可.
【详解】（1）因为，故“阶乘表示”为；
，故“阶乘表示”为；
，故“阶乘表示”为；
因为，故“阶乘表示”为；
（2）因为，因为，故，
所以，由于，所以，
即，
依次化简可得，所以.
（3）由于，由于，
故，
所以，
即，
累加可得，
即.当，时取到最小值，
此时，解得，即，所以.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解定义，方可使用定义验证或探究结论.
2．（23-24高二下·辽宁大连·期中）设数列满足：①；②所有项；
③．设集合，将集合中的元素的最小值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最小值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，2，2，3，3．
(1)请写出数列1，5，7的伴随数列；
(2)设，求数列的伴随数列的前30项之和；
(3)若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和．
【答案】(1)1，2，2，2，2，3，3.
(2)110
(3)
【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列新定义
【分析】（1）由伴随数列的定义求解；
（2）由伴随数列的定义结合对数的运算求出数列中项，可求前30项之和；
（3）由和的关系式求出，代入得，并求出伴随数列的各项，再对分类讨论，分别求出伴随数列的前项和．
【详解】（1）由伴随数列的定义可知，数列1，5，7的伴随数列为1，2，2，2，2，3，3.
（2）由，得 ∴
当时，； 当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
∴.
（3），得，
当时，，也符合，所以，
由，得，
使得成立的的最小值为，则，，，，
，
当时，，
当时，，
当时，，
所以
3．（23-24高三上·北京·期中）已知数列：，，…，.如果数列：，，满足，，其中，则称为的“衍生数列”.
(1)若数列：，，，的“衍生数列”是：5，，7，2，求；
(2)若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；
(3)若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…依次将数列，，，…第（）项取出，构成数列：，，….求证：是等差数列.
【答案】(1)2，1，4，5
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】等差中项的应用、数列新定义、数列综合
【分析】（1）根据题意中的新定义，列出关于的方程，解之即可；
（2）由题意得，进而，，将上式n个等式中的第2,4,6，这个式子都乘以-1，相加得，结合“衍生数列”的定义即可求解；
（3）设数列中后者是前者的“衍生数列”.欲证数列成等差数列，只需证明成等差数列，只需证即可.
【详解】（1）由题意知，
，
解得，
所以；
（2）由，得，
所以，，
由于n为偶数，将上式n个等式中的第2,4,6，，这个式子都乘以-1，相加得
，
即，所以，
又，，
根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”；
（3）设数列中后者是前者的“衍生数列”.
欲证数列成等差数列，只需证明成等差数列，
即只要证明即可.
由（2）知，
，
所以，即成等差数列，
所以成等差数列.
4．（22-23高二下·北京东城·期中）若数列：，，，满足：对任意，均有成立，则称数列为“数列”．
(1)直接判断下面三个数列是否是“数列”；①：，，，；②：，，，；③：，，，；
(2)若“数列”：，，，满足，证明：数列是等差数列的充分不必要条件是；
(3)求的取值范围，使得存在非零实数，对任意正整数，数列：，，，，恒为“数列”．
【答案】(1)①②③均为“数列”
(2)证明见解析
(3)
【知识点】充分条件的判定及性质、根据等差数列前n项和的最值求参数、数列新定义
【分析】（1）根据“数列”的定义直接判断这三个数列即可；
（2）根据条件可知数列是以为公差的等差数列，充分性成立，再由数列是“数列”且，可证不必要性；
（3）当时，易知数列为“数列”；当时，条件等价于对任意的正整数，，然后分，，和四种情况讨论即可．
【详解】（1）均为“数列”．
（2）充分性：对，由条件，，
即，，，
当时，，
数列是以为公差的等差数列．
不必要性：当是常数列，且时，数列是“数列”，但．
（3）当时，取，则数列为“数列”；
当时，条件等价于对任意的正整数，，
即，，
当时，取，则成立；
当时，取，则成立；
当时，取，则当偶数时，；
当是奇数时，，均成立；
当时，下证：存在正整数，使得，即．
事实上，当时，取奇数且，则成立；
当时，取是偶数且，则成立．
综上所述，的范围为．
5．（22-23高二下·北京·期中）已知有穷数列：满足，且当时，，令.
(1)写出所有可能的值；
(2)求证：一定为奇数；
(3)是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由.
【答案】(1)1，；
(2)证明见解析
(3)不存在数列，使得，理由见解析
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义
【分析】（1）根据可利用得，即可由的定义求解，
（2）根据得或，即可由递推迭代法得，结合即可求证，
（3）利用（2）的结论，即可根据假设得矛盾求解.
【详解】（1）解：由题意，,所以，故满足条件的数列的所有可能情况有：
0，1，0，此时；
0，-1，0，此时；
综上所述，的所有可能取值为1，-1；
（2）证明：由，可设，则或（，），
所以，
因为，所以，
设中有个1，个，则，
故为奇数；
（3）为奇数，是由个1和个构成的数列，
，
则当的前项取1，后项取时，最大，
此时，不符合题意；
如果的前项中恰有项取，后项中恰有项取1，
则，
若，则，
因为是奇数，所以是奇数，而是偶数，
因此不存在数列，使得.
【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.