备战高二数学下学期期中（人教B）清单07 等差数列及等比数列（考点梳理）（原卷版）

这是一份备战高二数学下学期期中（人教B）清单07 等差数列及等比数列（考点梳理）（原卷版），共10页。试卷主要包含了等差数列的概念，等差中项，等差数列的通项公式及其变形，等差数列的常用性质等内容，欢迎下载使用。

清单01 等差数列
1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数．
2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且．
3．等差数列的通项公式及其变形
以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为．
公式的变形：，．
4．等差数列的常用性质
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列
若分别是公差为的等差数列,则有
清单02 等差数列的前项和
1．等差数列的前项和
等差数列的前n项和公式：．
令，，可得，则
当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点；
当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点．
2．与等差数列各项的和有关的性质
设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，
（1）数列是等差数列，首项为，公差为．
（2）构成公差为的等差数列．
（3）若数列共有项，则，；
若数列共有项，则，．
（4），．
清单03 等比数列
1．等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；
（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.
2．等比中项
如果在与中间插入一个数，使若，，成等比数列，则
那么叫做与的等比中项，此时．
3．等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是．
等比数列通项公式的变形：．
4．等比数列与单调性
当或时，是递增数列；
当或时，是递减数列；
当时，为常数列；
当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．
清单04 等比数列的前n项和公式
首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为
若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：
（1）若，则；若，则．
推广：若，则．
（2）若成等差数列，则成等比数列．
（3）若项数为，则，若项数为，则．
（4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．
【考点题型一】判断数列是等差（等比）数列（）
【例1】在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要
【变式1-1】已知数列满足，则（ ）
A．4B．2或C．4或D．2
【变式1-2】已知无穷数列满足：，则“对任意，都有”是“数列是等比数列”的（ ）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】设数列都是等比数列，则下列选项中一定是等比数列的有（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-4】若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列（）
【例2】已知数列满足：，.若，
(1)求证：为等差数列.
(2)求数列的通项公式
【变式2-1】设数列的前项和为.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式，并求数列的最大项.
【变式2-2】数列满足，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
【变式2-3】若数列的前n项和为，且满足．
(1)求证：是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
【变式2-4】已知数列的首项，且满足.
(1)求，；
(2)证明：数列为等比数列；
(3)求数列的通项公式.
【考点题型三】等差数列下标和性质（）
【例3】已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】在等差数列中，，当取得最小值时， .
【变式3-2】在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ）
A．24.5尺B．25.5尺C．37.5尺D．96尺
【变式3-3】在 1 和 15 之间插入 个数，使得这 个数成等差数列． 若这 个数中第 1 个为 ，第 个为 ，则的 值为 （ ）
A．14B．15C．16D．17
【变式3-4】给定81个数排成数阵如下图所示，若每一行，每一列都构成等差数列，且正中间一个数，则此数阵中所有数之和为 ．
【考点题型四】等比数列下标和性质（）
【例4】在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（ ）
A．10B．C．D．
【变式4-2】（多选）设公比为的等比数列的前项积为，若，则（ ）
A．当时，B．
C．D．
【变式4-3】（多选）在等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足 ， ， ，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．的值是中最大的D．使成立的最大自然数等于197
【变式4-4】（多选）已知为正项等比数列的前项积，若，，则（ ）
A．的公比的取值范围为
B．数列为递增数列
C．当时，最小
D．当时，最大
【考点题型五】等差（等比）数列前n项和的基本量计算（）
【例5】在等差数列中，前七项之和为30，最后七项之和为110，前项之和是230，则项数为（ ）
A．21B．22C．23D．24
【变式5-1】记为等差数列的前项和，且，，则（ ）
A．12B．8C．6D．3
【变式5-2】设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5-3】已知等比数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A．B．C．64D．32
【变式5-4】已知各项均为正数的等比数列的前n项和，，， .
【考点题型六】等差数列的前n项和性质（）
【例6】已知是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．75B．65C．50D．55
【变式6-1】已知数列和都是等差数列，且前n项和分别为，，若，则 .
【变式6-2】设为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A．12B．14C．16D．18
【变式6-3】已知为等差数列的前项和，若，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
【变式6-4】已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【考点题型七】等比数列的前n项和性质（）
【例7】已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（ ）
A．2B．-2C．-1D．2或-2
【变式7-1】已知等比数列的前项和为，若，则 ．
【变式7-2】已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为 ．
【变式7-3】已知是公比为2的等比数列，若，则 ．
【变式7-4】（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．是数列中的最大值
D．数列无最大值
【考点题型八】与（）
【例8】已知等比数列的前项和是，则 .
【变式8-1】（多选）已知等比数列的前n项和为，公比为q，且满足，，则（ ）
A．B．
C．D．若，则当最小时，
【变式8-2】设为数列的前项和，.
(1)求；
(2)证明是等差数列.
【变式8-3】已知数列的前n项和为，且
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前n项和
【变式8-4】已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，，设数列的前项和为，证明：.
【考点题型九】等差数列前n项和的最值（）
【例9】已知数列为等差数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前项和的最大值．
【变式9-1】已知等差数列的首项为正数，其前 项和 满足 ，则当 取到最大值时， （ ）
A．B． 或 C．D． 或
【变式9-2】已知数列是等差数列，若，且数列的前n项和有最大值，那么取得最小正值时n等于（ ）
A．1B．20C．10D．19
【变式9-3】已知等差数列的前n项和为，对任意，均有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-4】（多选）公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．时，的最小值为2022
C．有最大值
D．时，的最大值为4043
数列
结论
公差为d的等差数列(c为任一常数)
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
公差为2d的等差数列(k为常数)
公差为的等差数列(p,q为常数)