备战高二数学下学期期中（人教B）清单04 随机变量的分布列（考点梳理）（原卷版）

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清单01 随机变量
1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示．
离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量
2.离散型随机变量分布列的概念及性质
①离散型随机变量的分布列的概念
设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列.
有时也用等式表示X的分布列．
②离散型随机变量的分布列的性质
（1）(i＝1，2，…，n)；（2）．、
清单02 n次独立重复试验及二项分布
1.次独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
特点：
①各次之间相互独立；
②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生；
③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的．
2.二项分布
定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率.
在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
清单03 超几何分布
定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则，
k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式
则称随机变量X服从超几何分布．
二项分布和超几何分布区别和联系
清单04 正态分布
1.正态分布
①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)
②正态分布的定义
若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布．
2.正态曲线的性质
3.三个特殊区间内取值的概率值及原则
①；；
.
②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值
【考点题型一】分布列的性质（）
【例1】设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（多选）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】已知离散型随机变量的分布列如下表，则 .
【变式1-3】已知随机变量X的分布列为，，则的值为 ．
【变式1-4】已知离散型随机变量的分布列为
则 .
【考点题型二】求离散型随机的分布列（）
【例2】高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部手机，经了解，目前市场上销售的主流国产手机有：华为、小米、、等；甲从华为、、中挑选，乙从，中挑选，甲、乙二人选择各类型手机的概率如下表：
若甲、乙都选的概率为.
(1)求，的值；
(2)求甲、乙选择不同手机的概率；
(3)某手机市场举办购买手机进行打折活动，活动标准如下表：
记甲、乙两人购手机所获得的补贴和为元，求的分布列.
【变式2-1】今年的贺岁片《第20条》、《飞驰人生》、《热辣滚烫》引爆了电影市场，某天甲、乙、丙、丁、戊五名同学每人随机从三部电影中选一部观看，现知道每部电影至少有一人观看.
(1)求只有甲乙观看《热辣滚烫》电影的概率；
(2)求这五个人观看《热辣滚烫》电影的人数的分布列.
【变式2-2】A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立．
(1)若，求A两局得分之和为5的概率；
(2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列．
【变式2-3】盒中装有大小相同的7个小球，其中2个黑球，3个红球，2个白球.规定：取到1个黑球得0分，取到1个红球得1分，取到1个白球得2分.现一次性从盒中任取3个小球.
(1)求取出的3个小球中至少有2个红球的概率；
(2)用随机变量表示取出的3个小球得分之和，求的分布列.
【变式2-4】一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）．现从盒子中—次性随机取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率；
(2)在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列．
【考点题型三】n重独立重复试验的概率（）
【例3】排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为 ．
【变式3-1】已知甲、乙两人投篮命中率分别为，并且他们投篮互不影响现，每人投篮2次，则甲比乙进球数多的概率为 .
【变式3-2】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“——”，下图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是 .
【变式3-3】某地为弘扬我国传统文化，举办知识竞赛活动，每位参赛者从以下两种方式中选择一种参赛：
①活动共设有3个问题，能正确回答问题者才能进入下一个问题，否则即被淘汰，3个问题都回答正确即获得“智慧星”称号；
②活动需参赛者回答5个问题，至少正确回答4个即能获得“智慧星”称号；甲乙两人参加此次竞赛活动，甲选择第一种方式，他能正确回答第一、二、三个问题的概率分别为，乙选择第二种方式，他能正确回答每一个问题的概率均为．两种方式下各个问题能否正确回答均互不影响，两人彼此之间也互不影响．
(1)求甲没有获得“智慧星”称号的概率；
(2)求乙获得“智慧星”称号的概率．
(3)记事件“乙正确回答问题的个数比甲正确回答问题的个数多3个”，求事件发生的概率．
【变式3-4】甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步比赛，甲、乙各有一个不透明的盒子，甲的盒子里面有2个红球1个白球，乙的盒子里面有2个红球3个白球，这些球只有颜色不同.每一轮比赛的规则是：甲、乙同时各自从自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到红球，甲向前走一步，否则原地不动；如果乙摸到白球，乙向前走一步，否则原地不动.各自摸球后都放回自己的盒子中.
(1)经过多轮比赛后，试估计甲、乙走的步数谁多？说明理由？
(2)以频率作为概率，试求2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率.
【考点题型四】二项分布（）
【例4】某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的分布列.
【变式4-1】如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.

【变式4-2】甲、乙两队参加某次知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且每个人答对与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分.
(1)求随机变量的分布列；
(2)设表示事件“甲得2分，乙得1分"，求.
【变式4-3】小王积极响应国家鼓励青年创业的号召，和朋友合伙开了一家小型工厂，该工厂有4台大型机器，在一年中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相对独立的，出现故障时需要1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为．
(1)若出现故障的机器台数为X，求X的分布；
(2)该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时，能及时维修的概率不小于90％？
【变式4-4】某电商车间生产了一批电子元件，为了检测元件是否合格，质检员设计了如图，甲所示的电路.于是他在一批产品中随机抽取了电子元件，，安装在如图甲所示的电路中，已知元件的合格率都为，元件的合格率都为.

(1)质检员在某次检测中，发现小灯泡亮了，他认为这三个电子元件都是合格的，求该质检员犯错误的概率；
(2)经反复测验，质检员把一些电子元件，接入了图乙的电路中，记该电路中小灯泡亮的个数为，求的分布列.
【考点题型五】服从二项分布的概率最值（）
【例5】甲、乙两位选手进行围棋比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
(1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；
(2)若采用五局三胜制比采用三局两胜制对甲更有利，求p的取值范围；
(3)若，已知甲、乙进行了n局比赛且甲胜了11局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）．
【变式5-1】（多选）高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最小值为
【变式5-2】中小学教师资格考试每半年考一次，2025年上半年的考试于3月8日进行.考试分为笔试和面试两项，只有笔试成绩合格时，才可继续参加面试，笔试成绩两年有效，两项成绩均合格方可获得证书.李华同学报名参加今年上半年的考试，若他不放弃每次考试，直到能拿到教师资格证为止.根据以往模拟情况，李华笔试成绩每次合格的概率均为，面试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
(1)求他今年能取得教师资格证书的概率；
(2)某培训机构今年共有100人参加培训，若以李华今年取得教师资格证的概率作为每个学员今年成功取得证书的概率.设今年该培训机构能成功取得教师资格证的人数为k的概率为，求取最大值时k的值.
【变式5-3】甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，假设两人每次投篮是否命中相互之间没有影响.
(1)如果甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率；
(2)如果甲投篮次，求甲至多有次投篮命中的概率；
(3)如果乙投篮次，求乙投篮命中几个球的概率最大？直接写出结论.
【变式5-4】2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”正式被列入《世界遗产名录》.某班级30名同学计划利用寒假时间进行“北京中轴线—故宫探游”研学活动.游览规划：如图，第一阶段，每位同学从午门出发，等可能选择①②两条路线游览，之后到乾清门集中进行阶段总结；第二阶段，从乾清门出发继续游览，最终在御花园集合，活动结束.已知从乾清门出发时每位同学改变之前所选路线的概率均为，且相互独立.
(1)求甲同学在第二阶段选择路线①的概率；
(2)记甲、乙、丙、丁4位同学中，在第一､二阶段都选路线①的人数为，求的期望，方差；
(3)记班级内在第一､二阶段都选择路线①的人数为的概率为，则为何值时，取最大值.
【考点题型六】超几何分布（）
【例6】某班有10名同学计划参加学科竞赛，每个同学只参加一个科目的学科竞寒，在这10名同学中，4名同学计划参加物理竞寒，其余6名同学计划参加化学竞赛，现从这10名同学中随机选取3名为班级做学法指导（每位同学被选到的可能性相同）.
(1)求选出的3名同学中参加竞寒科目一样的概率；
(2)设为选出的3名同学中参加物理竞赛的人数，求随机变量的分布列.
【变式6-1】现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为，已知，则本次测试的不合格率为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为.
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列.
【变式6-3】一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为.求的分布列.
【变式6-4】我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.
(1)经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；
(2)经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示）
【考点题型七】正态曲线及其性质（）
【例7】目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一.某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立.电池的正常使用年限（单位：年）服从正态分布，，，则这两组电池在20年内都能正常使用的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】设随机变量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（多选）已知随机变量，若，，则（ ）
A．
B．
C．若，则
D．函数在上单调递减
【变式7-3】（多选）为了解某地区推广新农业技术后的农作物亩产量（单位：千克）情况，从该地区抽取样本，得到推广新技术后农作物的平均亩产量为510，样本方差为4.已知该地区以往农作物的平均亩产量为500，样本方差为36，假设以往农作物的亩产量和推广新技术后的亩产量都服从正态分布，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-4】（多选）已知随机变量，，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点题型八】正态分布的概率计算（）
【例8】（多选）若随机变量，的概率分布密度函数分别为，，，的图象如图所示，，，则下列结论正确的是（ ）
附：若随机变量，则，，.
A．B．
C．D．
【变式8-1】已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布.现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在）和的概率为（ ）（运算结果保留小数点后两位）参考数据：若服从正态分布，则，.
A．0.57B．0.75C．0.80D．0.84
【变式8-2】（多选）已知在一次数学测验中，某校1000名学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（ ）（参考数据：①；②；③.）
A．平均分为100
B．及格率超过86%
C．得分在内的人数约为997
D．得分低于80的人数和优秀的人数大致相等
【变式8-3】随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（若随机变量服从正态分布，则），则下列结论正确的序号是 ．
①；②；③；④
【变式8-4】在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布.
(1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少；
(2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点；
参考数据：若，则，，.
【考点题型九】正态分布的综合应用（）
【例9】某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）；
(3)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
【变式9-1】（多选）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Mivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（ ）
参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值．
A．已知，则
B．
C．按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数）
D．已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间
【变式9-2】比亚迪汽车集团监控汽车零件企业的生产过程，从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
(1)求样本质量差的平均数假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线与第2条生产线生产的零件件数之比为若第1，2条生产线的废品率分别为和，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.
①求抽取的零件为废品的概率；
②若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.
参考数据：若随机变量，则，，
【变式9-3】全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入X（单位：万元）进行调查，并绘制得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数近似为样本方差.
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.06万元的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，记年收入不超过9.06万元的农户家庭数为ξ，求.（结果精确到0.001）
附：①；②若，则③
【变式9-4】辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市从2021年起全部采用“3＋1＋2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X（满分100分）服从正态分布．
(1)分别估计成绩在和75分以上者的人数；（运算过程中精确到0.0001，最后结果保留为整数）
附1：，，；
(2)本次考试物理成绩X服从正态分布．令，则η～N（0，1），若本次考试物理成绩的前25％划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
附2：若η～N（0，1），则．
X
…
…
P
…
…
X
0
1
…
m
P
…
二项分布
超几何分布
二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的
超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的
不需要知道总体的容量
需要知道总体的容量
当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布
对，它的图象在轴的上方
曲线与轴之间的面积为1
曲线是单峰的，它关于直线对称
曲线在处达到峰值
当无限增大时，曲线无限接近x轴
当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移
当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散，
0
1
2
3
0
1
2
华为
甲
乙
0
手机
华为
补贴金额（百元部）
3
5
4
a
0.24
0.25
0.26
0.35
0.36
0.5948
0.5987
0.6064
0.6368
0.6406
质量差（单位：）
54
57
60
63
66
件数（单位：件)
5
21
46
25
3