陕西省西安市临潼区部分学校2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份陕西省西安市临潼区部分学校2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）
解：y＝（x﹣1）2﹣2顶点坐标为（1，﹣2）．
故选：B．
2．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
解：A．选项A中的图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，因此选项A不符合题意；
B．选项B中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，因此选项B不符合题意；
C．选项C中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，因此选项C符合题意；
D．选项D中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，因此选项D不符合题意．
故选：C．
3．（3分）下列事件，是随机事件的是（ ）
A．掷一枚骰子，向上一面点数大于0
B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军
C．一个三角形的内角和为181°
D．在操场向上抛一块石头，石头终将落地
解：A、掷一枚骰子，向上一面点数大于0是必然事件，不符合题意；
B、校园排球比赛，九年级一班获得冠军是随机事件，符合题意；
C、一个三角形的内角和为181°是不可能事件，不符合题意；
D、在操场向上抛一块石头，石头终将落地是必然事件，不符合题意；
故选：B．
4．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．无实数根
解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣8，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣8）＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．（3分）如图，将一个圆心角为120°，半径为18的扇形围成圆锥，则该圆锥的底面直径为（ ）
A．9B．18C．15D．12
解：设圆锥的底面圆的直径为d，
根据题意可得：＝πd，
解得d＝12．
故选：D．
6．（3分）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝6，AC＝4，∠CAB＝90°，则AE的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ACB≌△DCE，
∴AC＝CD＝4，∠CAB＝∠D＝90°，AB＝DE＝6，
∴AD＝8，
∴AE＝＝10．
故选：D．
7．（3分）紫砂壶（图①）是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要用到几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，它的作用是确保壶嘴、壶把和壶口中心在一条直线上．如图②是从上面看到的形状示意图，⊙O为紫砂壶的壶口，已知A，B两点在⊙O上，直线l过点O，且l⊥AB于点D，交⊙O于点C．若AB＝36mm，CD＝6mm，则这个紫砂壶的壶口半径r的值为（ ）
A．30mmB．C．40mmD．60mm
解：∵直线l过点O，且l⊥AB于点D，AB＝36mm，
∴BD＝AD＝AB＝18mm，
在Rt△BOD中，BD＝18mm，OD＝OC﹣CD＝（r﹣6）mm，
∵OB2＝BD2+OD2，
∴r2＝182+（r﹣6）2，
解得r＝30，
∴这个紫砂壶的壶口半径r的值为30mm．
故选：A．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的对称轴为直线x＝1
C．当x＞2时，y随x的增大而增大
D．若点（﹣1.5，y1），（6，y2）都在抛物线上，则y1＞y2
解：A、当x逐渐增大时，y的值先变小再变大，所以a＞0，图象的开口向上，故不符合题意；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
4
…
y
…
16
7
0
﹣5
﹣8
﹣5
…
B、根据x＝0，y＝﹣5和x＝4，y＝﹣5，可知二次函数的对称轴为x＝＝2，故不符合题意；
C、∵图象的开口向上，对称轴为x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，故符合题意；
D、∵2﹣（﹣1.5）＝3.5，6﹣2＝4，3.5＜4，根据离对称轴越近，函数值越小，
∴y1＜y2，故不符合题意；
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）一元二次方程3x2＝27的解为： x1＝3，x2＝﹣3 ．
解：3x2＝27，
x2＝9，
x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．
10．（3分）一个不透明的袋子中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计袋子中红球的个数约为 12 个．
解：由题意知，袋中球的总个数约为8÷0.4＝20（个），
则估计袋子中红球的个数约为20﹣8＝12（个），
故答案为：12．
11．（3分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，BD，若∠ACD＝20°，∠BPC＝65°，则∠BDC的度数为 45° ．
解：∵∠ACD＝20°，
∴∠B＝20°，
∵∠BPC＝65°，
∴∠BDC＝∠BPC﹣∠B＝65°﹣20°＝45°．
故答案为：45°．
12．（3分）将二次函数y＝（x﹣3）2+4的图象向下平移b（b＞0）个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点A（2，﹣3），则b的值为 8 ．
解：将二次函数y＝（x﹣3）2+4的图象向下平移b（b＞0）个单位长度后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣3）2+4﹣b，
∵抛物线经过点（2，﹣3），
∴﹣3＝（2﹣3）2+4﹣b，
解得b＝8，
故答案为：8．
13．（3分）如图，正方形ABCD边长为5，点E边BC上一点，CE＝1，点F是边CD上的一个动点，连接EF，将点E绕着点F顺时针旋转90°到点G，连接BG，则BG的最小值为 3 ．
解：过G作MN//BC，分别交AB、CD于M，N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠BMN＝∠GNC＝∠C＝∠ABC＝90°，
∴四边形BCNM是矩形，
∴MN＝BC＝5，BM＝CN，
由旋转性质得∠EFG＝90°，EF＝GF，
∴∠EFC＝∠FGN＝90°﹣∠GFN，
∴△ECF≌△FNG（AAS），
∴CE＝FN＝2，CF＝GN，
设CF＝GN＝x，则BM＝CN＝x+1，
MG＝MN﹣GN＝5﹣x，
在Rt△BMG中，由勾股定理得BG2＝BM2+MG2，
则BG2＝（x+1）2+（5﹣x）2
＝2x2﹣8x+26
＝2（x﹣4）2+18，
∵（x﹣4）2≥0，当x＝4时取等号，
∴BG2的最小值为18，
即BG的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解方程：x2+3x﹣2＝0．
解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣2）＝17，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
15．（5分）若二次函数y＝x2+（b﹣1）x+4的图象与x轴只有一个交点，求b的值．
解：∵二次函数y＝x2+（b﹣1）x+4的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（b﹣1）2﹣4×1×4＝0，
∴（b﹣1）2＝16，
解得：b﹣1＝±4，
∴b1＝5，b2＝﹣3．
∴b的值为5或﹣3．
16．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两个实数根．若x1＝1，求x2的值．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两个实数根，
∴x1+x2＝6，
∵x1＝1，
∴1+x2＝6，
∴x2＝5，
∴x2的值为5．
17．（5分）如图，已知⊙O，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）．
解：如图，任意作一条直径AD，以点A为圆心，OA的长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，再分别以点B，F为圆心，OA的长为半径画弧，分别交⊙O于点C，E，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，
则六边形ABCDEF即为所求．
18．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若＝，求证：OD∥BC．
证明：∵，
∴∠AOD＝∠COD，
∴，
∵
∴，
∴∠AOD＝∠B，
∴OD∥BC．
19．（5分）如图，△ABC的顶点坐标为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别A1，B1，C1，请在图中画出△A1B1C1；
（2）顶点C关于原点O成中心对称的点C2的坐标为（ ﹣3 ， ﹣2 ）．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）顶点C关于原点O成中心对称的点C2的坐标为（﹣3，﹣2）．
故答案为：﹣3；﹣2．
20．（5分）有4张正面分别写有数字﹣2，﹣1，0，1的卡片，这些卡片除了正面其他完全相同．
（1）将这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽取的这张卡片上的数字是0的概率是 ；
（2）将这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张卡片上的数字之积是负数的概率．
解：（1）∵有4张正面分别写有数字﹣2，﹣1，0，1的卡片，
∴将这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽取的这张卡片上的数字是0的概率是．
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这两张卡片上的数字之积是负数的结果有4种，
∴抽取的这两张卡片上的数字之积是负数的概率为．
21．（6分）某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下：
某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，若共支付12000元的购票费用，求观看演出的员工的人数．
解：设观看演出的员工的人数有x人，则单价为[350﹣5（x﹣30）]元，
由题意得：x[350﹣5（x﹣30）]＝12000，
整理得：x2﹣100x+2400＝0，
解得：x1＝60，x2＝40，
购票人数
收费标准
不超过30人
350元/人
超过30人
每增加1人，每张票的单价减少5元，但单价不低于280元
当x＝60时，350﹣5（x﹣30）＝200，不合题意，舍去；
当x＝40时，350﹣5（x﹣30）＝300，符合题意；
答：观看演出的员工的人数为40人．
22．（7分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为H，过点C（0，3）作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为E，画出示意图并求△HEC的面积．
解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图：
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点H（1，4），对称轴为直线x＝1，
∵过点C（0，3）作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为E，
∴C与E关于直线x＝1对称，
∴E（2，3），
∴CE＝2，
∴S△HEC＝×2×（4﹣3）＝1．
∴△HEC的面积为1．
23．（7分）某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长48米，宽30米，中心建设一个直径为8米的圆形喷泉（空白部分），四周各角留一个矩形花坛（空白部分），且矩形花坛的长比宽多15米．
（1）若阴影部分铺设地砖的面积是992平方米（π取3），求矩形花坛的长；
（2）若在图中阴影部分铺绿色地砖，其余部分铺白色地砖，铺白色地面砖的费用为每平方米30元，铺绿色地面砖的费用为每平方米20元．矩形花坛的长是多少米时，铺设地砖的总费用最少？最少费用是多少？
解：（1）设矩形花坛的宽是x米，则长是（x+15）米，
依题意得：48×30﹣4x•（x+15）﹣3×（8÷2）2＝992，
解得：x1＝5，x2＝﹣20（不合题意，舍去）．
答：矩形花坛的宽是5米，长是20米；
（2）设矩形花坛的长是m米，则宽是（m﹣15）米，总费用为y元，
根据题意得，y＝[m（m﹣15）+π（8÷2）2]×30+[48×30﹣m（m﹣15）﹣π（8÷2）2]×20，
即y＝10x2﹣150x+16π+28800＝10（x﹣）2+16π+56475，
∴当x＝时，y的最小值为16π+56475，
答：矩形花坛的长是米时，铺设地砖的总费用最少，最少费用是（16π+56475）元．
24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，B，D两点关于AC对称，过点C作⊙O的切线，交AD的延长线于点F．
（1）求证：∠ACB＝∠F；
（2）若OE＝CE，且OE＝1，求线段CF的长．
（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°．
∵CF与⊙O相切，AC是⊙O的直径，
∴∠ACF＝90°，
∴∠F+∠FAC＝90°．
∵B，D两点关于AC对称，
∴AB＝AD，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠FAC，
∴∠ACB＝∠F．
（2）解：如图，连接OD．
∵AC⊥BD，OE＝CE，
∴OD＝CD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°．
∵OA＝OD，
∴．
∵OE＝1，
∴OC＝2OE＝2．
∴AC＝2OC＝4．
在Rt△ACF中，
．
25．（8分）小明在自家院子里晾晒衣服时，他发现晾衣绳的形状可以近似地看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱AB，CD均与地面垂直．如图①，以B为原点，BD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知 AB＝CD＝2m，AB，CD之间的水平距离BD＝8m．绳子最低点与地面的距离为1.2m．
（1）求晾衣绳所在抛物线的函数解析式；
（2）如图②，由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子，MN的高度为1.7m，通过调整MN的位置，使左边抛物线F1对应的函数解析式为，且最低点离地面1.4米，求水平距离DN．
解：（1）（1）如图所示，
由题意得，
抛物线的对称轴为直线x＝BD＝4，
顶点的坐标为：（4，1.2），点A（0，2），点C（8，2），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）2+1.2，
将点A（0，2）代入y＝a（x﹣4）2+1.2得：a（0﹣4）2+1.2＝2，
解得a＝，
∴y＝（x﹣4）2+1.2；
（2）如图所示，
由题知，F1的最低点离地面1.4米，
∴k＝1.4
∴抛物线F1的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1.4，
∵点A在抛物线F1上，
∴当x＝0时，y＝2，
∴4a+1.4＝2，
∴a＝0.15，
则抛物线F1的表达式为y1＝0.15（x﹣2）2+1.4，
∴当y＝1.7时，即1.7＝0.15（x﹣2）2+1.4，
∴x1＝2+，x2＝2﹣（不合题意，舍去），
∴ON＝2+，DN＝OD﹣ON＝8﹣（2+）＝（6﹣）（米），
答：水平距离DN为（6﹣）米．
26．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B，C两点（B在C的左侧），交y轴于A，D两点（A在D的下方）．
【问题提出】
（1）直接写出B、C两点的坐标；
【问题探究】
（2）如图②，将△ABC绕点P旋转180°得到△MCB，试说明四边形ACMB的形状，并求出点M的坐标；
【问题解决】
（3）在一次数学建模设计大赛上，智慧组操作的四个电子机器人A，B，M，C一开始均在如图③所示的⊙P上，其中BC是⊙P的直径，四边形ABMC是矩形．表演开始后，机器人B先从点B出发，沿直线BC与直线BM之间的某个直线方向运动到CM上的点E处，然后立即调整方向，沿垂直BC的方向运动到BC上的点G处停止；机器人M沿直线先运动到BE的中点Q处，再沿QG方向运动到点G处和机器人B汇合．请你通过计算分析，机器人M的两次运动路线形成的∠MQG的大小是否为定值？若是定值，请计算这个定值；若不是定值，请说明理由．
解：（1）连接AP．
∵BC⊥AD，BC是⊙P的直径，
∴AO＝DO＝＝．
在Rt△AOP中，OP＝1，则AP＝＝2．
∵BP＝CP＝AP＝2，
∴xB＝﹣1﹣2＝﹣3，xC＝﹣1+2＝1．
∴点B坐标（﹣3，0），点C坐标为（1，0）．
（2）根据旋转的性质，AB和AC两边旋转180°后得到MC和MB．
∴AB∥MC，AC∥MB，
∴四边形ACMB的四个内角都是直角，形状为矩形．
根据题意点A和M关于点P中心对称．假设点A、M、P三点向右平移一个单位长度，点A就与坐标原点O重合．
根据中心对称的性质，xM+1＝﹣（xA+1），yM＝﹣yA．
∴xM＝0﹣2＝﹣2，yM＝．
∴点M坐标为（﹣2，）．
（3）∵在Rt△BME和Rt△BGE中，点Q为斜边BE的中点，
∴BQ＝MQ＝GQ．
∴∠MBQ＝∠QMB，∠GBQ＝∠BGQ
∴∠MQG＝∠MQE+∠GQE＝2∠MBQ+2∠GBQ＝2∠MBC．
∵tan∠MBC＝tan∠ACO＝＝．
∴∠MBC＝60°．
∴∠MQG＝2×60°＝120°．
故∠MQG的大小为定值120°．