陕西省西安市临潼区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷 (含答案)

2022-2023学年陕西省西安市临潼区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）

1．下列方程中是一元二次方程的是　　

A． B． 

C． D．

2．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　

A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风 C．有症状早就医 D．少出门少聚集

3．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为　　

A． B． C． D．

4．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是　　

A．12 B．9 C．13 D．12或9

5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　

A． B． C．，且 D．，且

6．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到△，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为　　

A．12 B．6 C． D．

7．已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为　　

A． B． C． D．

8．已知抛物线，当时，，且当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．方程的根为　　．

10．已知点与点关于原点对称，则的值是 　　．

11．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为米，则可列方程为 　　．

12．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面下降，那么水面宽度增加 　　．

13．抛物线上部分点的对应值如下表：

从上表可知，下列说法中正确的是 　　（填序号）．

①抛物线与轴的一个交点为；

②抛物线的对称轴是直线；

③函数的最大值是6；

④在对称轴的左侧，随的增大而增大．

三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）

14．（5分）用配方法解方程：．

15．（5分）解方程：．

16．（5分）已知二次函数的图象过点，．

（1）求二次函数的关系式；

（2）写出它的对称轴和顶点坐标．

17．（5分）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为．求这个函数的表达式．

18．（5分）已知关于的方程是一元二次方程，求的值．

19．（5分）如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，其中．请在所给的平面直角坐标系中按要求解答下列问题：

（1）请作出关于坐标原点对称的△；

（2）分别写出点，，的坐标．

20．（5分）有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆（平行于的矩形花圃，设花圃的一边为，面积为．

（1）用含有的代数式表示；

（2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少？

21．（6分）已知关于的方程．求证：方程总有两个实数根．

22．（7分）如图，已知四边形和四边形都是正方形，连接和，请问与有怎样的数量关系？并用“旋转的性质”证明所得的结论．

23．（7分）如图，已知为等边三角形．为内一点，，，，若将绕点逆时针旋转后得到△．

（1）求点与点之间的距离；

（2）求的度数．

24．（8分）我们常常通过描点、平移或翻折的方法画函数图象．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．

（1）函数的自变量的取值范围是 　　；

（2）化简：当时，函数　　；当时，函数　　；

（3）根据上题，在平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：　　；

（4）若直线与该函数只有两个公共点，根据图象判断的取值范围为 　　．

25．（8分）商场销售某种商品，已知商品的进价为每件20元，售价为每件40元．

（1）若现在需进行降价促销活动，在经过两次降价后，该商品的现价为每件32.4元．若该商品两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；

（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价为40元时，每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则该商品应定价为多少元？

26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的两条直角边分别落在轴、轴上，且，，将绕原点顺时针旋转得到，将沿轴翻折得到，与交于点．

（1）若抛物线过点，，，求此抛物线的函数表达式；

（2）点是第三象限内抛物线上的一动点，点在何处时可使的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点的坐标．

参考答案与试题解析

1．【解答】解：．为二元二次方程，所以选项不符合题意；

．为二元二次方程，所以选项不符合题意；

．为分式方程，所以选项不符合题意；

．为一元二次方程，所以选项符合题意．

故选：．

2．【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；

、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：．

3．【解答】解：将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：，即；

再向下平移3个单位为：，即．

故选：．

4．【解答】解：，

，

，，

，，

①等腰三角形的三边是2，2，5

，

不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；

②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是；

即等腰三角形的周长是12．

故选：．

5．【解答】解：根据题意得且△，

解得：，且．

故选：．

6．【解答】解：连接，

将绕点按逆时针方向旋转得到△，

，，，

△是等边三角形，

，

，

将绕点按逆时针方向旋转得到△，

，，，

是等边三角形，

，

，

，

，

，，，

，

，

，

故选：．

7．【解答】解：关于的一元二次方程的两根分别为，，

，，

，，

原方程可化为．

故选：．

8．【解答】解：依题意得：

解得．

故选：．

9．【解答】解：，

，

则或，

解得，，

故答案为：，．

10．【解答】解：与点关于原点对称，

，，

，

故答案是：1．

11．【解答】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为米，宽为米，

可列方程为（或，

故答案为（或．

12．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点，

抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，米，抛物线顶点坐标为，

通过以上条件可设顶点式，其中可通过将点坐标代入抛物线解析式可得出：，

所以抛物线解析式为，

当水面下降0.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，

可以通过把代入抛物线解析式得出：

，

解得：，所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了米，

故答案为：．

13．【解答】解：抛物线过点和，则，

解得，

抛物线的解析式为，

抛物线与轴的一个交点为，故①正确；

函数的最大值为，故②错误；

抛物线的对称是：直线，故③错误；

抛物线开口向下，则在对称轴左侧，随的增大而增大，故④正确．

故答案为：①④．

14．【解答】解：移项得，

配方得，

即，

开方得，

．

15．【解答】解：原方程可变形为

或，．

16．【解答】解：（1）把点，代入二次函数得

，

解得，

因此二次函数的关系式；

（2），

二次函数的对称轴是直线，顶点坐标．

17．【解答】解：设二次函数解析式为，

把点代入得，

解得：，

这个二次函数解析式为．

18．【解答】解：关于的方程是一元二次方程，

，

解得：，

的值为2．

19．【解答】解：（1）如图，△即为所求；

（2），，．

20．【解答】解：（1）篱笆的总长为，的长为，

的长为，

矩形花圃的面积，

．

（2）根据题意得：，

整理得：，

解得：，，

当时，，不符合题意，舍去；

当时，，符合题意．

答：的长为．

21．【解答】证明：△

，

因为，

所以△

则方程总有两个实数根．

22．【解答】解：，，理由如下：延长交为，交于，

四边形和四边形都是正方形，

，，，

将绕点逆时针旋转可得，将绕点逆时针旋转可得，

将绕点逆时针旋转可得，

，

，，

，

，

，

．

23．【解答】解：（1）连接

由题意可知，，

，而，

所以度．故为等边三角形，

所以；

（2）利用勾股定理的逆定理可知：

，所以为直角三角形，且，

可求．

24．【解答】解：（1）函数的自变量的取值范围是全体实数，

故答案为：全体实数；

（2）当时函数，当时函数，

故答案为：，；

（3）列表：

描点画出如下函数图象：

由图象可知：函数的最小值为，

故答案为：函数的最小值为；

（4）直线与该函数只有两个公共点，根据图象判断的取值范围为或．

故答案为：或．

25．【解答】解：（1）设这种商品平均降价率是，依题意得：，

解得：，（舍去）；

答：每次降价率为；

（2）设降价元，则多销售（件，

根据题意得，

解得：（舍去）或，

所以（元．

答：该商品在应定价为32元．

26．【解答】解：（1），，

，

绕原点顺时针旋转得到，

，

所以抛物线过点，，，

设抛物线的解析式为，可得，

解得，

故过点，，的抛物线的解析式为．

（2）

点在抛物线上，

，

，

，

当时，，的面积有最大值，最大值为，

即当点的坐标为时，的面积有最大值，最大值为．