2024-2025学年江苏省南京一中高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京一中高一（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.cs225°cs45°−sin225°sin45°的值是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
2.已知向量a=(x,2x−3)，b=(x,1)，若a//b，则x=( )
A. −1或3B. −1或2C. 0或2D. 3或2
3.在复平面内，复数z对应的向量OZ=(1,2)，则|z−3|=( )
A. 2 2B. 5C. 3D. 2
4.在△ABC中，若A=30°,B=45°,BC=2 3，则AC=( )
A. 2B. 3C. 6D. 2 6
5.若sin(α−π6)= 33，则cs(π3−2α)=( )
A. 13B. 23C. 910D. −12
6.在△ABC中，若sinC⋅sinB=cs2A2，则△ABC是( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
7.已知菱形ABCD中，∠ABC=120°，AC=2 3，BM+12CB=0，DC=λDN，若AM⋅AN=29，则λ=( )
A. 18B. 17C. 16D. 15
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c−b=2bcsA，则ca−b的取值范围是( )
A. (−1,2)B. (32,2)C. (32,3)D. (2,3)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.计算下列各式，结果为 3的是( )
A. 2sin15°+ 2cs15°B. tan21°+tan24°+tan21°tan24°
C. 1+tan15°1−tan15∘D. cs215°−sin15°cs75°
10.关于复数z1，z2，下列说法正确的是( )
A. 若z1−z2>0，则z1>z2
B. 若z1z2=0，则z1=0或z2=0
C. z1+z2−=z1−+z2−
D. 若z12+z220,ω>0),x∈[−4,0]时的图象，且图象的最高点为B(−1,2)，新步道的中部分为长1千米的直线跑道CD，且CD/​/EF，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．
(1)求ω的值和∠DOE的大小；
(2)若计划在圆弧步道所对应的扇形ODE区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边MN紧靠道路EF上，一个顶点Q在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE=θ，求矩形MNPQ面积最大时θ应取何值，并求出最大面积？
18.(本小题17分)
如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设e1，e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把实数对[x,y]叫做向量OP的“完美坐标”．
(1)若向量OP的“完美坐标”为[3,4]，求|OP|；
(2)已知[x1,y1]，[x2,y2]分别为向量a，b的“完美坐标”，证明：a⋅b=x1x2+y1y2+12(x1y2+x2y1)；
(3)若向量a，b的“完美坐标”分别为[sinx,1]，[csx,1]，设函数f(x)=a⋅b，x∈R，求f(x)的值域．
19.(本小题17分)
已知△ABC的面积为9，点D在BC边上，CD=2DB．
(1)若cs∠BAC=45，AD=DC，
①证明：sin∠ABD=2sin∠BAD；
②求AC；
(2)若AB=BC，求AD的最小值．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.D
5.A
6.A
7.D
8.D
9.AC
10.BCD
11.ACD
12.2 55
13. 33
14.1
15.解：(1)若复数z是纯虚数，
则m2−2m−3=0m(m+1)≠0，解得m=3．
(2)当m=1时，z=−4+2i，
把z=−4+2i代入方程x2+px+q=0得：(−4+2i)2+p(−4+2i)+q=0，
整理得：12−4p+q+(2p−16)i=0，
所以12−4p+q=02p−16=0，解得p=8，q=20．
16.解：(1)cs2α=1−2sin2α=35，
结合α∈(π2,π)，可得sinα=1 5，csα=− 1−sin2α=−2 5，
所以tanα=sinαcsα=−12；
(2)因为β∈(π2,π)，且csβ=−3 1010，
所以sinβ= 1−cs2β=1 10，所以tanβ=sinβcsβ=−13，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−1，
又因为α+β∈(π,2π)，所以α+β=7π4．
17.解：(1)由题意可得：A=2,T4=−1−(−4)=3，即T=12，
且ω>0，则ω=2πT=π6，
所以曲线段FBC的解析式为y=2sin(π6x+2π3)．
当x=0时，y=OC=2sin2π3= 3，
又因为CD=1，则tan∠DOC=CDOC= 33，
可知锐角∠DOC=π6，所以∠DOE=π3．
(2)由(1)可知OD=2，OP=2，且∠POE=θ∈(0,π3)，
则QM=PN=2sinθ,ON=2csθ,OM=QMtanπ3=2 33sinθ，
可得MN=ON−OM=2csθ−2 33sinθ，
则矩形MNPQ的面积为SMNPQ=MN⋅PN=2sinθ(2csθ−2 33sinθ)
=4sinθcsθ−4 33sin2θ=2sin2θ+2 33cs2θ−2 33
=4 33sin(2θ+π6)−2 33，
又因为θ∈(0,π3)，则2θ+π6∈(π6,5π6)，
可知当2θ+π6=π2，即θ=π6时，SMNPQ=4 33−2 33=2 33，
所以矩形MNPQ取得最大值2 33．
18.解：(1)因为OP的“完美坐标”为[3,4]，则OP=3e1+4e2，
又因为e1，e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为60°，
所以|e1|=|e2|=1，e1⋅e2=|e1||e2|cs60°=12，
所以|OP|= (3e1+4e2)2= 9e12+24e1⋅e2+16e22= 9+24×12+16= 37．
(2)证明：由(1)知，|e1|=|e2|=1，e1⋅e2=12，
所以a⋅b=(x1e1+y1e2)⋅(x2e1+y2e2)2
=x1x2e12+x1y2e1⋅e2+x2y1e1⋅e2+y1y2e2
=x1x2+y1y2+12(x1y2+x2y1)，
即a⋅b=x1x2+y1y2+12(x1y2+x2y1)．
(3)因为向量a，b的“完美坐标”分别为[sinx,1]，[csx,1]，
由(2)得f(x)=a⋅b=sinxcsx+1+12(sinx+csx)．
令t=sinx+csx= 2sin(x+π4)，则sinxcsx=12(t2−1)，
因为x∈R，所以− 2≤ 2sin(x+π4)≤ 2，即− 2≤t≤ 2，
令g(t)=12(t2−1)+1+12t=12(t2+t+1)=12(t+12)2+38,(− 2≤t≤ 2)，
所以当t=−12∈[− 2, 2]时，g(t)取得最小值g(−12)=38，
当t= 2时，g(t)取得最大值g( 2)=12×(2+ 2+1)=3+ 22，
所以f(x)的值域为[38,3+ 22]．
19.证明：(1)①因为CD=2DB，AD=DC，
所以AD=2DB，
在△ABD中，由正弦定理可得，ADsin∠ABD=BDsin∠BAD，
所以sin∠ABD=ADBD×sin∠BAD=2sin∠BAD；
②设∠BAC=θ，则csθ=4，
因为0