2024-2025学年江苏省南京师大附属实验学校高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京师大附属实验学校高一（下）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算(1−i)2的结果是( )
A. 2B. 2iC. −2D. −2i
2.在△ABC中，已知a=8，B=30°，C=105°，则b等于( )
A. 323B. 4 3C. 4 6D. 4 2
3.已知平面向量a=(2,x−1)，b=(6,2−x)，若向量a与b共线，则x=( )
A. −2B. 54C. 2D. 5
4.如图，已知AB=3BP，用OA，OB表示OP，则OP等于( )
A. 13OA−43OB
B. 13OA+43OB
C. −13OA+43OB
D. −13OA−43OB
5.已知菱形ABCD的边长是2，E为AB的中点，则EC⋅ED=( )
A. 32B. 32C. 3D. 3
6.已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m=(a,b),n=(csB,csA)，若m//n，则△ABC的形状是( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
7.若e1,e2是一组基底，向量m=xe1+ye2，则称(x,y)为向量m在基底e1,e2下的坐标，现已知向量a在基底p=(1,−1),q=(2,1)下的坐标为(−2,1)，则向量a在另一组基底m=(−2,1),n=(−4,−1)下的坐标为( )
A. (2,−1)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (−2,1)
8.在平面直角坐标系中，角α与β的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴.若角α的终边与单位圆交于点P(35,45)，将OP绕原点O按逆时针方向旋转π3后与角β的终边重合，则csβ=( )
A. 3−4 310B. 3+4 310C. 4−3 310D. 4+3 310
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数z=2+i1−i，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. |z|= 102B. z的共轭复数为32+12i
C. z的实部与虚部之和为1D. z在平面内的对应点位于第一象限
10.已知向量a=(1,3),b=(2,−4)，则下列结论正确的是( )
A. (a+b)⊥aB. |2a+b|= 10
C. 向量a与向量b的夹角为3π4D. b在a的投影向量是(1,3)
11.下列等式正确的是( )
A. 2sin222.5°−1=− 22B. tan71°−tan26°1+tan71∘tan26∘=1
C. cs26°cs34°+sin154°sin34°=12D. 1sin50∘+ 3cs50°=4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i为虚数单位，x，y∈R，若(x−i)i=y−2i，则x+y= ______．
13.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|=|b|=4，那么b⋅(3a+b)的值为______．
14.函数f(x)=cs2x−6csx+1的值域是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=(2+i)m2−3(i+1)m−2(1−i)，根据下列条件求实数m的值．
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z在复平面内对应的点在第二象限．
16.(本小题15分)
已知|a|=4，|b|=2，且a与b的夹角为120°，求：
(1)|2a−b|；
(2)若向量2a−λb与λa−3b平行，求实数λ的值．
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcsA− 33asinB=0．
(1)求A；
(2)若c=3，且△ABC的面积为3 32，求△ABC的周长．
18.(本小题17分)
已知向量a=(1, 3)，b=(sinα,csα)．
(1)若a//b，求tan(α+π4)；
(2)若a⋅b=65，求sin(2α+π6)．
19.(本小题17分)
如图，已知扇形AOB的圆心角为π3，半径为1，C是弧AB上任意一点，作矩形CDEF内接于该扇形．
(1)设∠AOC=α，试用α表示矩形CDEF的面积，并指出α的取值范围；
(2)点C在什么位置时，矩形CDEF的面积最大？并说明理由．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.C
5.D
6.D
7.A
8.A
9.AD
10.AC
11.ABD
12.−1
13.−8
14.[−4,8]
15.(1)由题意z=(2+i)m2−3(i+1)m−2(1−i)=(2m2−3m−2)+(m2−3m+2)i
=(2m+1)(m−2)+(m−1)(m−2)i，
若z是实数，则(m−1)(m−2)=0，解得m=1或m=2；
(2)若z是纯虚数，则(2m+1)(m−2)=0且(m−1)(m−2)≠0，解得m=−12；
(3)若z在复平面内对应的点在第二象限，则(2m+1)(m−2)0，解得−12