2024-2025学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(−2,4)，b=(1,x)，若a//b，则|b|=( )
A. 52B. 5C. 2 5D. 4 5
2.已知复数z满足(1−i)z=2，则z=( )
A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i
3.在△ABC中，若tanB+tanC+ 3tanBtanC= 3，则A=( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
4.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=(a−b)2+4 3，且C=π3，则△ABC的面积为( )
A. 3 3B. 9 32C. 3D. 3 32
5.若sin(α+β)=23，sin(α−β)=−15，则tanβtanα=( )
A. −713B. 713C. −137D. 137
6.2cs40°−sin70°cs70∘=( )
A. 33B. − 33C. 3D. − 3
7.已知正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，则A1A4⋅A1A7=( )
A. 2B. 2 2C. 4+2 2D. 4+ 2
8.如图，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为α=60°，β=45°，γ=30°，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知BC=150m，AD=30m，EB=20m，则隧道DE的长度为( )
A. 100+100 3mB. 150+100 3m
C. 150 2+150 6mD. 100 2+100 6m
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是( )
A. 若z2=z1−，则z1−z2∈RB. 若z2=z1−，则z1z2=|z1|2
C. 若|z1|=|z2|，则z1=z2D. 若1z1∈R，则z1∈R
10.已知|OM|=|ON|=2，OM与ON夹角为π3，若|OP|=2且OP=xOM+yON(x≥0,y≥0)，则下列说法正确的是( )
A. 当y=0时，OP在ON上的投影向量为 32ON
B. 当x=y时，OP⋅MN=0
C. OP⋅OM的最小值为2
D. PM⋅PN的最大值为0
11.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a0x2−9>0，解得x>3，
故x的取值范围为{x|x>3}；
(2)m为实数，且z与复数m−5i相等，
可得m=x−2−5=x2−9，解得x=2m=0或x=−2m=−4．
故m=0或−4．
16.解：(1)△ABC中，已知|AB|=2，|AC|=4，AB和AC的夹角为θ，且csθ=14．
则AB⋅AC=2×4×14=2，
又D为AB的中点，
则AB⋅CD=AB⋅(AD−AC)
=12AB2−AB⋅AC
=2−2
=0；
(2)已知BE=λBC，
则AE=AB+BE=AB+λ(AC−AB)
=(1−λ)AB+λAC，
又|AE|= 152，
则4(1−λ)2+4λ(1−λ)+16λ2=154，
即λ=18．
17.解：(1)由题意，f(x)=− 3sinxcsx−2cs2x+sin2x+12
=− 32sin2x−2×1+cs2x2+1−cs2x2+12
=− 3(12sin2x+ 32cs2x)= 3sin(2x−2π3)，
因为x∈[0,π2]，所以2x−2π3∈[−2π3,π3]，
因此当2x−2π3=−π2，即x=π12时，
y= 3sin(2x−2π3)取得最小值− 3；
(2)因为f(x)=−1，所以 3sin(2x−2π3)=−1，即sin(2x−2π3)=− 33，
因为x∈[0,π3]，所以2x−2π3∈[−2π3,0]，
若2x+π3∈[−2π3,−π2]，则sin(2x+π3)≤− 32，不合题意，
所以2x−2π3∈(−π2,0]，故cs(2x−2π3)>0，
所以cs(2x−2π3)= 1−sin2(2x−2π3)= 63，
则cs(2x+π12)=cs(2x−2π3+3π4)=− 22cs(2x−2π3)− 22sin(2x−2π3)= 6−2 36．
18.解：(1)因为cs2B−cs2A=2sinBsinC，
所以(1−2sin2B)−(1−2sin2A)=2sinBsinC，即sin2A−sin2B=sinBsinC，
由正弦定理得，a2−b2=bc，
若B=C，则b=c，所以a2=b2+c2，
故A=π2．
(2)由(1)知a2−b2=bc，
由余弦定理知，csA=b2+c2−a22bc=c2−bc2bc=c−b2b，
所以b=c−2bcsA，
由正弦定理知sinB=sinC−2sinBcsA，
而sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
所以sinB=sinAcsB+csAsinB−2sinBcsA=sinAcsB−csAsinB=sin(A−B)，
因为A，B∈(0,π)，所以B=A−B，即A=2B，
由正弦定理得，ab=sinAsinB=sin2BsinB=2csB，
因为C=π−3B>0，所以0