江苏省南京市第一中学2023−2024学年高一下学期期中考试 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省南京市第一中学2023−2024学年高一下学期期中考试 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面向量，，若向量与共线，则（ ）
A．B．2C．5D．
3．函数f(x)=cs2x−6csx+1的值域为（ ）
A. [−92,+∞)B. [−92,−4]C. [−4,8]D. [−92,8]
4．已知，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．若向量满足，，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
8．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点.为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．点的坐标为，
C．
D．
10．在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则，
B．若为斜三角形，则
C．若，则解此三角形的结果有一解.
D．若外接圆半径为，内切圆半径为，则
11．如图，长方形中，将它分成3个小正方形，下列讨论正确的是（ ）

A．若，则
B．若P为长方形ABCD内动点，，为常数，则满足
C．若P在线段AC上（不包括端点），则取值范围为.
D．，若，则P在正方形内.
三、填空题（本大题共3小题）
12．若cs2θ＝－，则sin4θ＋cs4θ＝ .
13．设都是单位向量，且，则的最小值为 ．
14．在中，，，O为的外心，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，且，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数是纯虚数，其中是实数.
(1)求实数的值;
(2)求.
16．已知，，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
17．如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点A是扇形弧上的一点（不包含端点），过A作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平行线，交于点．
(1)若，求；
(2)设，求四边形的面积的最大值．
18．如图，在平面四边形中，，，，．

(1)若，求的值；
(2)若，，求AD的长．
19．定义：向量的“相伴函数”为；函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
(1)设函数，求证：；
(2)若函数，且，求其“相伴向量”的模；
(3)已知动点和定点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【分析】由复数的乘法运算和除法运算可得答案.
【详解】.
故选C.
2．【答案】D
【详解】因为向量与共线，所以，
解得．
故选：D．
3．【答案】C
【解析】cs2x=2cs2x−1，令t=csx，则f(x)可转化为y=2t2−6t=2(t−32)2−92，且t∈[−1,1]，根据二次函数的图象，当t=1时,函数取得最小值,ymin=2−6=−4，当t=−1时，函数取得最大值，ymax=2+6=8，故函数的值域为[−4,8].故选C.
4．【答案】B
【详解】因为，
所以，，
所以在上的投影向量为.
故选：B
5．【答案】C
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得正确答案.
【详解】设与的夹角为，
由于，所以，
所以，由于，所以.
故选C.
6．【答案】D
【详解】
，
故选：D.
7．【答案】B
【详解】因为，不妨设，
又因为，
即，解得，
所以，
因为，即，
且，即，
又因为，则，解得，
同理可得，所以.
故选：B.
8．【答案】C
【详解】且，,
根据正弦定理得，,
即，
整理得，
，，，解得，，
，
，,
的面积
为锐角三角形，，，
，，
，
.
故选：C.
9．【答案】ACD
【详解】，，A正确；
由题意，为的中点
则，
所以点的坐标为，故B错误;
由，可得，故C正确;
由于，
利用三角函数的定义，则;
所以，故D正确;
故选:ACD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A：因为，可得，
由正弦定理可得，
由函数在上单调递减，所以，故A正确；
对于B：在斜三角形中，，
所以，故B正确；
对于C：由余弦定理，即，即，
又，解得，所以有两解，则三角形有两解，故C错误；
对于D：因为，由正弦定理可得，
设，则，，
由余弦定理得，又，
所以，
由正弦定理（为外接圆半径），
所以，
又，所以，所以，故D正确.
故选：ABD
11．【答案】AB
【详解】对于A，由，可得，
又由，
因为，可得，所以，所以A正确；

对于B，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，可得，则，
又由，可得，
因为点在长方形内，所以，即，
解得，所以B正确；

对于C，由B中的坐标系，可得，
因为点在上，可设，
所以，则，
可得，所以C错误；
对于D，由，可得，若，
此时点不在正方形内，所以D错误.
故选：AB.
12．【答案】
【详解】sin4θ＋cs4θ＝(sin2θ＋cs2θ)2－2sin2θcs2θ＝1－sin22θ，
又cs2θ＝－，∴sin22θ＝1－cs22θ＝.∴原式＝1－sin22θ＝.
故答案为：
13．【答案】/
【详解】因为，，
则，
所以
，
当与方向相同时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
14．【答案】
【详解】如图示，作出的外接圆O，设半径为R.
由正弦定理得：,即，解得：，所以.
设则.
所以
.
因为O为的外心，所以,所以.
同理：,.
因为，所以，
所以.
由二倍角的余弦公式可得：.
所以.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）复数，则，
因为是纯虚数，于是，解得
（2）由（1）得到，又，
则，即有，
所以.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以
；
（2）且，
，则，
，
，
，，且，解得（负值舍去），
，
又，，，
.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知关于对称，连接，记与的交点分别为，
则，
故，
则，
故.
（2）连接，记与的交点分别为，，
则，
，，
，
所以四边形的面积
，
因为，，
所以当，即时，取到最大值1，
故.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中由余弦定理，
即，所以，
再由余弦定理，
即，解得.
（2）在中由正弦定理可得，
所以，
在中正弦定理可得，所以，
而，故，故，
故，
又，显然为锐角，
所以，，即，，
则
，
在中由正弦定理，
则．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
其中“相伴向量”，所以.
（2）由题意可得：
，
则函数ℎx的“相伴向量”，
所以.
（3）因为的相伴函数，
其中，
当时，取到最大值，则，
则，
因为定点且，设，且，
则，
若，可得；
若，可得，即；
综上所述：，
令，
则，
可知在内单调递减，
若，则；
若，则；
综上所述：，
可得，
所以的取值范围为.