陕西省西安市长安区2025届高三第三次模拟考试数学试题（解析版）

这是一份陕西省西安市长安区2025届高三第三次模拟考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 8D. 16
【答案】D
【解析】因为，
，
所以，所以的子集个数为．
故选：D．
2. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，所以复数对应的点为，
因为复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，所以复数对应的点为，
所以，
故选：D.
3. 如图，向量，，若，，，为线段AB的5等分点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取的中点为，则也是，的中点，
故，
因此.
故选：C.
4. 某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设为“第次按对密码”（），
则事件 “不超过2次就按对”可表示为，
记“密码的最后一位数字是奇数”为事件，
由条件概率的性质可得.
.故选：C.
5. 定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列是等方差数列，且公方差为，，则数列的前33项的和为（ ）
A. 3B. 6C. 2D. 4
【答案】A
【解析】因为数列是等方差数列，且公方差为3，
所以，又，
所以，
又数列的各项均为正数，所以，
所以，，
所以，
，
故选：A．
6. 已知曲线，，其中．点，，是曲线与依次相邻的三个交点．若是等腰直角三角形，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为点，，是曲线与依次相邻的三个交点，不妨设点为曲线与在轴上的交点，如图所示，为的中点，连接,
易知，,与轴平行，所以
又因为是等腰直角三角形，所以，所以
又因为在曲线上，所以，
又因为所以：即
所以.
故选：D
7. 已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则当的值最大时，（ ）
A. 1B. 2
C. D.
【答案】D
【解析】设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径，
侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长，
因此，，．
记，，则，
因为在上递减，且，，
所以存在唯一的满足，即，
且当时，，则在单调递增，
当时，，则在单调递减，
故是的极大值点，也是最大值点．
此时．
故选：D
8. 函数的定义域为，为奇函数，且的图像关于对称．若曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为为奇函数，即，
所以，函数的图像关于点对称，即，
因为的图像关于对称，
所以的图像关于对称，即，
所以，，
所以，即函数是周期为的周期函数，
所以曲线在处的切线斜率等于曲线在处的切线斜率，
因为曲线在处的切线斜率为，图像关于对称，
所以，曲线在处的切线斜率为，
因为，，
所以，
所以，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：A
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．）
9. 若，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 数据的30%分位数为5
C. 数据的标准差为3
D. 若，随机变量，则
【答案】ACD
【解析】对于A，令，则，故A正确，
对于B,
将其从小到大排列为，且，故30%分位数为第2个数1，B错误，
对于C，分别为，则平均数为，
故方差为，故标准差为3，C正确，
对于D， ，
故，故D正确，
故选：ACD
10. 已知曲线，则（ ）
A. 不是封闭图形
B. 有4条对称轴
C. 与坐标轴有4个交点
D. 与直线有4个交点
【答案】ACD
【解析对于A，因为，
所以或，
所以E是由单位圆M和实轴长为2，焦点为的等轴双曲线构成，故A正确；
对于B，由A项分析知，曲线E只关于轴，轴对称，所以E只有两条对称轴，故B错误；
对于C，由A项分析可知，曲线E与坐标轴的交点为，故C正确；
对于D，因为C的一条渐近线方程为且，
根据双曲线的性质可知，直线与双曲线有2个交点，
又直线与圆M有2个交点，故直线与有4个交点，故D正确.
故选：ACD.
11. 随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等领域，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.已知某种信号的波形可以利用函数的图象近似模拟，则（ ）
A. 是非奇非偶函数
B. 的值域为
C. 当时，关于x的方程在区间上所有不等实根的和为
D. 的图象与的图象恰有个交点
【答案】BD
【解析】对于A，由于，所以是偶函数，故A错误；
对于B，当时，，
故当时，是一个周期函数，其中一个周期为，故只需考察这个函数在内的情况.
当时，.
此时，故，
当时，，此时，故，
综上可得时，的值域为，故B正确；
对于C，作出在上的图象，故当，时，由图可知直线与的图象有个交点，设这个交点的横坐标分别为，，，，由图可知，，和，分别关于直线，对称，故，故C错误；
对于D，当时，，由图可知的图象与的图象在区间内恰有个交点，又为偶函数，故的图象与的图象恰有个交点，故D正确.
故选：BD.

三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则______．
【答案】
【解析】由得，，
因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为，
所以，即，
所以，
所以，
故答案为：．
13. 已知抛物线，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为________．
【答案】8
【解析】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为，
联立，消去可得：，解得，
，，
由抛物线的定义可得，，
根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦，
可知，
故，
故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为．
故答案为：8
14. 小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为__________.
【答案】
【解析】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A，
则，
所以，
所以，
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知分别为三个内角的对边，向量，.
（1）求；
（2）若.求的面积.
解：（1）因为，所以，
所以，
所以，
所以，
，即，
又，故，即.
（2），所以，
，
,
又,即,
,
或（舍）,
故.
16. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.
（1）若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小；
（2）求正弦曲线（）曲率的平方的最大值.
解：（1）由，，则，
由，，则，
所以；
（2）由，，则，
，令，则，故，
设，则，在时，递减，
所以，最大值为1.
17. 如图，在四棱锥中，，底面是边长为菱形，.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面所成角的正切值为2，点满足，求直线与平面所成角的余弦值.
（1）证明：连接交于点，连接，
因为是菱形，所以，
又因为为的中点，，所以，
又面，且，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：过作交于点，面面，
面面面，所以面，
因为面，所以面，
又面，所以，
所以为交点，为等边三角形，所以H为的重心，设DH与AB交点为M，连接，则为二面角的平面角，
因为，在中，解得，
因为，所以，所以平面，
以为原点，所在直线为轴建立如图坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，即，令，可得：
即，又，
设平面和直线所成的角为，则，
所以.
18. 对于二次曲线，我们有：若是曲线上的一点，则过点与曲线相切的直线方程为．已知椭圆，，动圆，点是与在第一象限的交点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点作动圆的切线，经过椭圆的右焦点，求与满足的关系式；
（3）若，直线与，均相切，切点在上，切点在上，求的最大值．
解：（1）在椭圆中，由，得，
所以椭圆的离心率.
（2）椭圆，由，解得，
而，则，
圆在处切线方程为，又过焦点，则，
所以.
（3）当时，椭圆，，设，
椭圆在处切线为，圆在处切线为，
由直线与均相切，得，即，
由，得，解得，
，当且仅当，即时取等号，
即的最大值为，所以的最大值为.
19. 定义1：若数列满足①，②，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足①，②，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件；
（3）求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式.
解：（1）依题意
故
因为，所以，
当为奇数时，，
当为偶数时，，即的奇数项，偶数项分别成等比数列.
故当偶数时，
当为奇数时，.
综上所述，
（2）充分性：因为，所以，
所以，
又因为，所以是以1为首项，1为公比的等比数列，
故是的充分条件.
必要性：假设为等比数列，而不为常数列，
则中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为，其中，
所以，
则等比数列的公比为.
又，得等比数列的公比为，与式矛盾，
所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列，
故是的必要条件.
综上，可知是的充要条件.
（3）当时，，当时，，
当时，，当时，.
综上所述，或或（上述四种情形每种中或1）.
又由题意可知，所以，
所以，故的最大值为，
此时的通项公式可以是