陕西省西安市部分学校2025届高三第二次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份陕西省西安市部分学校2025届高三第二次模拟考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知，又因为，故．
故选：B
2. 若复数，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】因为，
所以，
故选：C．
3. 若函数()图象的一个对称中心为点，则ω的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】由题设，
因为，
所以，则，．
因为，所以.
故选：A.
4. 近年来，新能源汽车产销量的快速增长推动了动力电池产业的发展．已知蓄电池的容量C(单位：)、放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间满足的关系式为．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）
A. 35hB. 30hC. 25hD. 20h
【答案】D
【解析】由，
得．
故选：D
5. 在正四棱锥中，已知，，则该正四棱锥的体积为（ ）
A. 96B. 80C. 64D. 32
【答案】D
【解析】连接AC，BD，设AC与BD交于点O，连接OP．
易知，PO就是正四棱锥高，且．
又，所以，所以该正四棱锥的体积为．
故选：D.
6. 对于函数，若存在两个常数a，b，使得，则称是“平方差关联函数”．已知函数是“平方差关联函数”，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】因为是“平方差关联函数”，所以，
化简得，则
解得
故，
故选：B．
7. 已知椭圆C：()的上、下顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点P在C上，且C的离心率为，的周长为10，则四边形的面积为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】B
【解析】因为C的离心率为，所以，即．
又因为的周长为10，所以，即．联立，解得.
又因为，所以，所以四边形的面积为．
故选：B.
8. 已知定义在R上的函数满足，，且，设函数，则（ ）
A. 只有1个零点，且该零点在内
B. 有2个零点，且2个零点分别在和内
C. 只有1个零点，且该零点在内
D. 有2个零点，且2个零点分别在和内
【答案】C
【解析】令，得，又，
所以，解得，所以，
令，得，所以，即．
函数在R上单调递增，且.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考后采取了“培优补短”等一系列举措．为了更好地总结经验，现从高三年级1000名学生中随机抽取100名学生，将其前后两次联考成绩(满分150分)分别按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五组，绘制成频率分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（ ）
A.
B. 估计该年级第二次联考成绩在130分以上的学生比第一次联考对应分数段的多10人
C. 第二次联考学生的成绩波动更小
D. 与第一次联考相比，第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数减少，在[110,150]内的学生人数增加
【答案】BCD
【解析】因为，所以，A错误．
因为第一次联考成绩在130分以上的学生人数大约占，
第二次联考成绩在130分以上的学生人数大约占，
所以增加，则增加的学生人数为10，B正确．
第一次联考成绩集中于70～110分的学生人数占比为，
第二次联考成绩集中于90～130分的学生人数占比为，
第二次联考成绩数据更集中，所以方差更小，C正确．
第一次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为，在[110,150]内的学生人数占比为，
第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为，在[110,150]内的学生人数占比为，D正确．
故选：BCD
10. 已知点和圆C：，过A作圆C的两条切线，，切点分别为M，N，再取一条与圆C相切的切线(与，不重合)，则（ ）
A.
B.
C. ，与围成三角形的面积的最大值为
D. ，与围成三角形的周长的最小值为
【答案】ABD
【解析】A．依题意得圆C：，所以，A正确．
B．因为，所以，B正确．
C.要使，与围成三角形的面积最大，则圆C：是这个三角形的内切圆，
设这个三角形的三条边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积，此时没有最大值，从而S也没有最大值，C错误，
D．当第三条切线与圆相切的切点落在另两个切点M，N与圆C构成的劣弧上时，
三角形的周长最小，且等于两条切线长的和，D正确．
故选：ABD．
11. 已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则下列命题正确的是（ ）
A. 只有最大值，没有最小值
B 只有最小值，没有最大值
C. 有两个零点
D. 只有一个极值点
【答案】AD
【解析】可化为．
设，则，所以(k为常数)，
则，解得，
所以，则，．
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，没有最小值，故A，D正确，B错误；
令，得，方程有唯一的实数根，故C错误．
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，满足，，且，则，夹角的余弦值为________．
【答案】
【解析】因为，所以，解得．
故答案为：
13. 法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：(，1，2，3，…)是质数．后来数学家欧拉证明了这个猜想不成立．现设()，为数列的前n项和，则的最小值是________．
【答案】32
【解析】由题意知，则是等比数列，
所以，
则，
当且仅当时，等号成立．
故答案为：32
14. 《九章算术·商功》中有如下类似问题：今有刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．意思如下：今有一个刍童，上底面宽1尺、长2尺，下底面宽3尺、长4尺，高1尺．刍童是上、下底面为相互平行的不相似长方形，且两底面的中心连线与底面垂直的六面体，如图，若A是该六面体上底面的一个顶点，点M在下底面的外接圆上，则线段AM长度的最大值为________尺．
【答案】
【解析】如图，设点A在底面上的射影是Q，上底面外接圆在下底面上的射影是圆，
当Q，，M三点共线时，线段AM的长度最大，
由题意得，，，
因为圆所在平面，所以．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）若，，求的图象在点处的切线方程；
（2）若，且在处取得极值，求的单调区间以及的最小值．
解：（1）因为，，所以，，
所以，，故所求切线的方程为，即．
（2）若，则，．
因为在处取得极值，所以，解得，
所以，．
由，得或；由，得．
的单调递增区间为，，单调递减区间为，又时，
所以时，函数取得最小值．
16. 如图，在长方体中，底面ABCD是正方形，点E在线段上，且，．
（1）证明：平面平面．
（2）求二面角的正弦值．
（1）证明：因为，所以，因为，所以，
所以，即，又面，面，
所以，而且都在面内，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）解：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．
由，，知，，，，，
则，．
设是平面的法向量，由，取，得．
由（1）知，，且都在面ABE内，所以平面ABE，
所以取为平面ABE的一个法向量．
设二面角的大小为θ，则，从而．
17. 某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队．
（1）小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率；
（2）设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
解：（1）设事件A为“小张被选入医疗救援队”，
则．
（2）X的所有取值可能为1，2，3，4，5，
， ，
， ，
，
X的分布列为
故．
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
（1）求csA；
（2）若点D在线段BC上，AD为的角平分线，且，求的周长．
解：（1）由，得，所以，
所以．
（2）
由（1）知．由题意知，，
即，化简得．
在中，，，根据余弦定理有，
则，
解得，从而，
所以的周长为．
19. 在平面直角坐标系中，已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.
（1）在平面直角坐标系中，写出将点分别绕原点按逆时针方向旋转，得到的点，的坐标；
（2）在平面直角坐标系中，求曲线绕原点沿逆时针方向旋转后得到的曲线的方程；
（3）已知由（2）得到的曲线与轴正半轴的交点为，直线与曲线的两支交于，两点（在第一象限），与轴交于点，设直线，的倾斜角分别为，，证明：为定值.
（1）解：，
所以
故，
故.
（2）解：设将点绕原点按逆时针方向旋转后得到的点为.
设，，
则，，，
所以，
.
设曲线上任意一点绕原点沿逆时针方向旋转后所得点的坐标为，
则
得，则，所求曲线方程为.
（3）证明：①若直线的斜率存在，可设直线的方程为，，.
由得，
所以，，且由，得，解得.
当时，取，，，
所以直线的方程为.
联立直线与双曲线的方程，可得，解得或，
所以，，所以，
所以，可得.
当时，设直线，的斜率分别为，.
，，
所以
，
，
所以.
因为点在第一象限，所以，
所以，所以.
②若直线的斜率不存在，则，，
可得，，
所以，同理可得.
综上，为定值.X
1
2
3
4
5
P