陕西省西安市长安区2025届高三第二次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份陕西省西安市长安区2025届高三第二次模拟考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵对数函数在上为增函数，
∴由得，故，
∵，∴.
故选：D.
2. 若，则cs2α＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知，可得：
即，解得
分子分母同时除以（因为，若，则不存在），可得：
，
将代入上式可得： ，
所以.
故选：B.
3. 已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
所以要使为纯虚数，则，解得：．
故选：B．
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，，
可得：，
因为，
所以，
解得：，
故选：C
5. 设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由椭圆的几何性质，因为，可得，
所以，，则，所以椭圆的方程为.
故选：A.
6. 一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为（ ）
A. B. 2πC. D. 7π
【答案】D
【解析】设圆台的高为，由题意可知，，得，
圆台的体积.
故选：D
7. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，由余弦定理得，
所以，又，所以，
因为，
所以，
即，
又，所以，
所以或（舍），
所以，所以.
故选：B.
8. 已知是定义在R上的奇函数且满足，当时，．若，则实数a的取值范围是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，所以，
又因为，所以函数的图象关于直线对称，
且，所以函数是以4为周期的周期函数.
因为当时，，所以函数在上单调递增.
函数的草图如下：
根据图象可知，若，则，，
解得，.
所以实数的取值范围是：，.
故选：D
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则下列说法中正确的是（ ）
A. C的虚轴长为
B. C的离心率为
C. 的最小值为
D. 过点能作4条直线与C仅有一个交点
【答案】ACD
【解析】双曲线的渐近线方程为，
依题意，解得，所以双曲线，
对于A，的虚轴长，A正确；
对于B，的离心率，B错误；
对于C，点到直线的距离为，
即的最小值为，C正确；
对于D，过点垂直于轴的直线为，此直线与双曲线相切与点，符合题意，
设过点斜率存在的直线为，
联立方程组，得，
当时，即时，直线平行于渐近线，与双曲线只有一个交点，符合题意，
当时，，
解得，此时直线与双曲线相切，
故过点能作4条直线与C仅有一个交点，D正确.
故选：ACD
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 最小正周期为2π
C. 区间上单调递增
D. 在区间内有40个极值点
【答案】AD
【解析】A.函数的定义域为，，所以是奇函数，故A正确；
B.，故B错误；
C.时，，，
当，，此时，所以在区间单调递增，
当，，此时，所以在区间单调递减，故C错误；
D. 时，，，
，当，则，共20个变号零点，所以在区间有20个极值点，
因为函数是奇函数，所以函数在区间共有40个极值点，故D正确.
故选：AD
11. 对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如，（10与1，3，7，9均互质）则（ ）
A.
B. 数列是单调递增数列
C. 若p为质数，则数列为等比数列
D. 数列的前5项和等于
【答案】AC
【解析】A.12与1,5,7,11均互质，所以，17与1,2,3,4,5,…,13,14,15,16均互质，所以，所以，故A正确；
B.7与1,2,3,4,5,6互质，则，9与1,2,4,5,7,8互质，所以，，所以数列不是单调递增数列，故B错误；
C.设为质数，则小于等于的正整数中与互质的数为，
即每个数当中就有一个与不互质，所以互质的数的数目为,
故，所以为常数，
所以数列为等比数列，故C正确；
根据选项C可知，，数列的前5项和为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设均为实数，且，则____________.
【答案】
【解析】，
取对数得，，；
.
故答案为:.
13. 排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为________．
【答案】
【解析】命题可以转化为：即使某一队获胜三场，也照常进行后续的场次，直至五场全部结束，最后获胜场次数多的队获胜。二者等效（区别仅在于胜负已定后，后续场次是否真正进行）.
此时，甲队获胜的概率即为甲队获胜场数不小于的概率，即．
故答案为：．
14. 在三棱锥中，，且．记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，平面截三棱锥的外接球的截面面积为________.
【答案】
【解析】如图，过点作平面，垂足为，则，
由平面得.
在中，，在中，，
∴，故.
由，得，且.
当三点构成三角形时，，即，，，
当点在线段上时，由得，，，
此时三棱锥的高最小，体积最小.
当点在线段上时，由得，，
取线段中点，由和为直角三角形得，，
故点为三棱锥外接球的球心，外接球半径，
∵为外接球直径，平面，
∴平面截三棱锥的外接球的截面面积为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．

（1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）；
（3）若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
解：（1）设样本平均数的估计值为，
则.
所以，样本平均数的估计值为62.
（2）由图可知，前三组的频率和为，第四组的频率为，
所以样本的80％分位数为
（3）由（1）可知，样本平均数的估计值，
所以，
则
所以，估计能参加复试的人数为
16. 已知数列是等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）在和之间插入k个相同的数，构成一个新数列：，，，，，，，，，，…，求的前100项和．
解：（1）因为数列是等差数列，设首项为，公差为，
依题意，，，
即，解得，
所以等差数列的通项公式为，
（2）设和插入的个数构成一组数，
则前组共有个数，
令，又，解得：；
当时，，
∴的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个，
∴
．
17. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．
解：（1）由题意可知，则的定义域为，
，
当时，在区间上恒成立，则在上单调递增，
当时，令，即，解得，
若，，
若，，
则在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）（i）函数，
则，，故．
（ii）函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，
则关于直线对称，所以，
又
．
可知曲线关于直线对称.
18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，三角形是正三角形，是棱的中点，设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：四边形是菱形，所以，平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）证明：取与中点，．连接，，，，
则运用中位线性质知，且,则，，
则四边形是平行四边形，
是正三角形，易知，，
底面是菱形，，则是正三角形，则，
平面， 平面，
平面，，
由于四边形是菱形，四边形是平行四边形，
所以，，
．
（3）由（2）知为二面角的平面角，即，前面知道，
则过做的垂线，以为坐标原点，为坐标轴，建立空间直角坐标系如图，
设，则，，，，，，，，，
设平面的一个法向量为，
则进而求得一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则．
19. 抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形．已知抛物线的焦点为F，直线过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线和，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN；
（3）证明：切线三角形PAB的外接圆过定点．
解：（1）由题意得，则，
所以抛物线的方程为，
（2）因为阿基米德三角形，
所以分别与抛物线切于点，
不妨设点在轴左侧，则.
由，得，
则，
所以的斜率为的斜案为1，
所以，
所以.
（3）由（1）可知抛物线，
设分别与抛物线切于点，
由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为，
所以直线的方程为.即
直线的方程为，即，
所以.
设外接圆的圆心为，
则圆心在线段的垂直平分线上，
所以，
则圆的半径为，
所以圆的方程为，
又点在圆上，
所以，
即，所以，
所以
整理得，
即，
令，得，
所以的外接圆过定点.