陕西省西安市长安区2025届高三一模[高考模拟]数学试卷（解析版）

这是一份陕西省西安市长安区2025届高三一模[高考模拟]数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，则复数的实部与虚部之和为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】由，得，
则，所以复数的实部与虚部之和为.
故选：A
2. 已知为数列的前n项和，命题p：是等比数列；命题q：，，.成等比数列，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】令，数列是等比数列，，不成等比数列，则不能推出；
令，则，成等比数列，而不是等比数列，不能推出，
所以p是q的既不充分也不必要条件.
故选：D
3. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】因为向量，满足，，
所以，
所以，
则在上的投影向量为.
故选：B.
4. 某校组织1000名学生参加“新中国成立75周年”知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，根据图中数据，下列结论正确的是（ ）
A. 1000名学生成绩的平均数是77
B. 成绩不低于80分的学生所占比例为40%
C. 用分层抽样从该校学生中抽取容量为100的样本，则应在内抽取30人
D. 这1000名学生成绩的第50百分位数是80
【答案】D
【解析】对于A，由频率分布直方图，得1000名学生成绩的平均数是
，A错误；
对于B，成绩不低于80分的学生频率为，成绩不低于80分的学生所占比例为，B错误；
对于C，由分层抽样特点得，则应在内抽取人 ，C错误；
对于D， 1000名学生成绩的第50百分位数即中位数为80，D正确.
故选：D
5. 双曲线的左顶点为A，点M，N是双曲线上关于y轴对称的两点.若直线AM与AN的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】依题意，设双曲线方程为，则，
设点，则，，即，
因此，解得，
所以双曲线的离心率.
故选：B
6. 已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，因此有一个零点，
当且仅当函数的图象与直线有且仅有一个公共点，
函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线的图象，
观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点，
当时，函数的图象与直线有1个交点，
所以m的取值范围是.
故选：C
7. 正三棱锥侧棱长为1，E，F分别是SA，SC上的动点，当△BEF周长的最小值为时，三棱锥的侧面积为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】将正三棱锥的侧面沿侧棱剪开并展开在同一平面内，如图，
连接，当分别为与的交点时，的周长最小，
此时，而，，则，，
所以三棱锥的侧面积为.
故选：A
8. 设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，函数定义域为，
求导得，
当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
当从大于0的方向趋近于0时，值趋近于正无穷大；当趋近于正无穷大时，值趋近于正无穷大，
由有两个零点，得，即，
函数在上都递增，则函数在上递增，
，因此存在，使得，
则不等式成立时，的最小整数值为3，即，
由，得，，
当且仅当，即时取等号，B正确.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
9. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】观察函数图象，设函数，
则，最小正周期，解得，又，
则，又，则，
所以，B正确；，A错误；
，，C正确，
，D错误.
故选：BC
10. 已知F是抛物线C：的焦点，l是C的准线，点N是C上一点且位于第一象限，直线FN与圆A：相切于点E，点E在线段FN上，过点N作l的垂线，垂足为P，则以下结论正确的是（ ）
A. B. 直线FN的方程为
C. D. △PFN的面积为
【答案】BCD
【解析】抛物线的焦点，准线，圆的圆心，半径，
连接，由切圆于，得，
对于A，，则，A错误；
对于B，由选项A知，，直线的斜率为1，方程为，B正确；
对于C，设，由，解得，，C正确；
对于D，的面积，D正确.
故选：BCD
11. 数列满足前两项都是1，之后每项都等于它前面两项之和，这就是著名的斐波那契数列，若的前n项和为，下列关于斐波那契数列说法正确的是（ ）
A.
B. 若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的前2024项之和为2697
C. 前2024项中奇数共有1350个
D.
【答案】ACD
【解析】数列中，，
对于A，，则
，即，因此，A正确；
对于B，数列各项除以4的余数依次为
，因此数列是周期数列，周期为6，前6项和为，
的前2024项和为，B错误；
对于C，数列中项是以奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，
因此数列前2024项中奇数共有，C正确；
对于D，，
则，于是
，又，等式成立，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 数列的通项公式，则________.
【答案】
【解析】数列中，，，数列是等差数列，数列亦是等差数列，
所以.
故答案为：
13. 已知，满足，，则________.
【答案】
【解析】因为，
又因为，
所以，
所以.
故答案为：.
14. 近年来，西安因为影视剧而变为网红城市，长安十二时辰主题街区成为西安一张靓丽的名片，根据马伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息，望楼传递信息的方式如下：如图所示，信号旗的旗面为九宫格，每个小方格可以在白色和黑色之间变换，从而一共可以有________种不同的颜色组合来传递不同的信息.若要求最多出现3个黑色格子，那么一共可以传递________种不同的信息.
【答案】①. 512 ②. 130
【解析】信号旗的旗面为九宫格，每个小方格可以在白色和黑色之间变换，从而一共可以有种不同颜色组合来传递不同的信息；
若一个黑色格子也没出现，可以传递1种信息；
若出现1个黑色格子，可以传递9种不同信息；
若出现2个黑色格子，可以传递种不同信息；
若出现3个黑色格子，可以传递种不同信息；
所以若最多出现3个黑色格子，可以传递种不同信息
故答案为：512；130.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为BC上一动点.
（1）若AD平分，求证：；
（2）若D为BC上靠近B的三等分点，当，时，求AD的长.
解：（1）设，垂足为，
在中，，
在中，，
因AD平分，
所以，于是有，
因此有；
（2）因为D为BC上靠近B的三等分点，
所以，
因为，
所以
16. 已知函数，.
（1）记的导数为，求的值，其中；
（2）若，恒有，求a的取值范围.
解：（1）函数的定义域为，求导得，
所以
（2）由（1）知，，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
由，得，函数的图象是开口向下的抛物线，
当时，，由，恒有，得，
因此，解得，
所以a的取值范围是.
17. 如图三棱锥中，四个面均为直角三角形，其中，且.取BC中点为E，过E作于点F.
（1）证明：；
（2）求平面PAC与平面ABC夹角的正弦值.
（1）证明：三棱锥中，由平面，
得平面，而平面，则，又，
平面，因此平面，而平面，
所以.
（2）解：过点作，由（1）知平面，又，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面PAC与平面ABC的夹角为，则，
所以平面PAC与平面ABC夹角的正弦值.
18. 某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球个，白球个，黑球个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记分，摸到白球记分，摸到黑球记分.抽奖人摸个球为一次抽奖，总分记为，若，则获奖.
方案一：从中一次摸个球，记录分数后不放回.
方案二：从中一次摸个球，记录分数后放回.
（1）若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率；
（2）若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率；
（3）若丙顾客按照方案二摸球记分，求的分布列和数学期望.
解：（1）若，则甲顾客摸到个红球个白球、或者是个红球个白球个黑球，
所以，.
（2）记事件乙顾客按照方案一摸球获奖，由（1）可知，
记事件乙顾客第二次摸到红球，则，
，
所以，.
（3）摸到次红球的概率为，摸到次白球的概率为，摸到次黑球的概率为，
则可能取值有、、、、、、，
，，
，，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
故.
19. 已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、.
（1）若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程；
（2）当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线；
（3）已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
（1）解：因为极点对应的极线l为，即，所以，
因为右焦点是，所以，所以，
所以椭圆C的方程为；
（2）证明：当斜率存在时，设切线方程为， 联立椭圆方程，设切点，
可得，化简可得：，
由题可得：
化简可得：，该方程只有一个根，记作，
，为切点的横坐标，
切点的纵坐标，
由于，则，
则切线方程为：，
化简得：．
当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程，
综上上一点,的切线方程为；
同理上一点,的切线方程为；
设，点在两个切线上，所以，
所以的直线方程为，根据极线定义直线MN为极点Q的极线；
（3）由题意，设点的坐标为(,)，
因点在直线上运动，所以，
联立，得，
，该方程无实数根，
所以直线与椭圆C相离，即点在椭圆C外，又都与椭圆C相切，
所以点和直线是椭圆C的一对极点和极线.
对于椭圆，与点对应的极线方程为，
将代入，整理得，
又因为定点T的坐标与的取值无关，
所以，解得，所以存在定点恒在直线上.
当时，T是线段的中点，
设，直线的斜率为，
则，两式相减，
整理得，即，
所以当时，直线的方程为，即.