陕西省西安市部分学校2025届高三下学期3月模考数学试卷（解析版）

这是一份陕西省西安市部分学校2025届高三下学期3月模考数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题本题共8小薄，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，所以，
所以.
故选：D
2. 已知是纯虚数，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】因为是纯虚数，
所以且不等于3，所以，
则.
故选：C.
3. 我国文化体育事业蓬勃发展，正从体育大国向体育强国的目标持续迈进.中国代表队在历届夏季奥运会获得的金牌数依次为15，5，16，16，28，32，48，39，26，38，40，则这11届夏季奥运会中国代表队获得的金牌数的第40百分位数为（ ）
A. 16B. 26C. 28D. 32
【答案】B
【解析】将这组数据按照从小到大的顺序排列为5，15，16，16，26，28，32，38，39，40，48.
因为，
所以这11届夏季奥运会中国代表队获得的金牌数的第40百分位数是第五个数26.
故选：B
4. 已知命题；命题，则（ ）
A. p和都是真命题B. 和都是真命题
C. p和q都是真命题D. 和q都是真命题
【答案】C
【解析】当时，成立，所以真命题；
因为，当且仅当，即时等号成立，
而，所以为真命题,
所以都是假命题.
故选：C
5. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 内切B. 外离C. 外切D. 内含
【答案】A
【解析】圆O与圆M的半径分别为1，4，圆心坐标分别为，
则，故圆O与圆M的位置关系是内切.
故选：A.
6. 已知过抛物线焦点的直线与交于两点，若，则点的横坐标为（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】由题意，焦点，设直线，
联立可得，设，
则，
因为，即，所以，即，
所以，解得，则.
所以，点的横坐标为4.
故选：B.
7. 已知，函数的最小正周期为，若，且的图象关于直线对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，解得，
因为的图象关于直线对称，
所以，即，
所以，则，
故选：A．
8. 已知函数，若函数的四个零点从小到大排列依次为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数有四个零点，所以方程有四个根，
所以方程有四个根，
所以函数的图象与函数的图象有四个交点，
作函数的图象可得
观察图象可得，，且，
所以，所以，
所以，故，
令可得，，故，
所以，
所以，
因为函数在上单调递减，
所以，即，
又，
所以，
所以的取值范围为，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数满足：对任意，都有，且当时，．设，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】因， 则
，故A正确；
因，，且，
则，，，
同理可得，，，，，，
，
故，故B正确，C正确；
，故D错误；
故选：ABC.
10. 设双曲线的左、右焦点分别为，下列说法正确的是（ ）
A. 若C的渐近线的斜率为，则C的离心率为
B. 若C的渐近线方程为，且点在C上，则
C. 过的直线与C的右支相交于A，B两点，若，则C的离心率为
D. 若C的左、右顶点分别为M，N，P是异于M，N的一点，则直线的斜率之积为
【答案】ACD
【解析】对于A，由C的渐近线方程为，则，
所以C的离心率为，故A正确；
对于B，由C的渐近线方程为，设，
又点在C上，所以，即，
所以，故B错误；
对于C，过点的直线与的右支相交于两点，不妨设，
若，则，
由勾股定理得，解得，
故，
在直角三角形中，由勾股定理得，即，
所以，故C正确；
对于D，设，则，即，
又，所以，故D正确；
故选：ACD．
11. 已知长方体内有一小球，小球与平面、平面、平面均相切，为小球上一点，点到平面ABD的距离和点到平面的距离均为，点到平面的距离为，则小球的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】如图，以点坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.
由题意，点的坐标为，设小球的半径为，则球心，
则，整理可得，
即，解得或.
所以，小球的半径为或.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，且，则_________.
【答案】
【解析】由已知条件可得，得.
故答案为：
13. 已知正四棱锥的底面边长为6，体积为48，则该四棱锥的侧面积为_________.
【答案】60
【解析】设正四棱锥的边长为，高为，斜高为，
由题意可得，
所以斜高，
所以该四棱锥的侧面积为.
故答案为：60.
14. 若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为_________.
【答案】
【解析】由得，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，且，
则作出和图像如图：
则曲线上任意一点M到直线最小距离，
即为斜率为3的切线的切点到直线的距离；
设与直线平行的直线与曲线相切于点，
因为，所以，即，
解得或（舍去），
所以，即切点为，
所以切点到直线的距离为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）当时，求的图象在点处的切线方程；
（2）若在上是减函数，求a的取值范围．
解：（1）当时，，
所以，，，
所以，即，
所以切线方程为；
（2）因为，由在上是减函数，
所以在上恒成立，
所以，所以或，
所以
16. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知R是该三角形外接圆的半径，且．
（1）求角C；
（2）若的面积为S，求的取值范围．
解：（1）依题意，，
，
由正弦定理得，
所以，
，
所以，所以为锐角，且.
（2），
由于三角形是锐角三角形，所以，
所以，所以，
所以的取值范围是.
17. 某商场举行促销活动，顾客凡是购买一袋指定的大米都可以抽一次奖，一袋大米的价格为元，每次抽奖只抽张奖券，每张奖券上有个不同的号码，每个号码只能是未中奖或中奖一次，从回收的张奖券中，记录并整理这些奖券的情况，获得数据如下表：
当一张奖券中中奖号码不大于个时，兑换金额是每个中奖号码元；当中奖号码是个时，兑换金额是每个中奖号码元；当中奖号码是个时，兑换金额是每个中奖号码元．假设不同奖券的中奖情况是相互独立的，用频率估计概率．
（1）估计一张奖券的中奖号码个数不少于的概率．
（2）假设一袋米的进价为元，一张奖券的毛利润定义为一袋大米的利润与一张奖券中奖金额之差．
（i）记为一张奖券的毛利润（单位：元），估计的数学期望；
（ii）若没中奖的大米售价减少，中奖的大米售价增加，在这种情况下，一张奖券毛利润的数学期望估计值不小于（i）中的估计值，求的最小值．
解：（1）由已知回收的张奖券中中奖号码个数不少于的奖券的数量为，
所以回收的张奖券中一张奖券的中奖号码个数不少于的频率为，
所以估计一张奖券的中奖号码个数不少于的概率，
（2）（i）由已知的可能取值有，，，，，
且，，，
，，
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望，
（ii）随机变量的可能取值有，，，，，
且，，，
，，
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望，
由已知，
所以，
所以，
所以，
所以的最小值为.
18. 如图，在五面体中，菱形的边长为，，.
（1）证明：且.
（2）求五面体体积的最大值.
（3）当五面体的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：在菱形中，，因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面平面，
所以.
取的中点，的中点，连接，，，则，
所以，故，，，四点共面，
因为，，
所以，，即，
因为四边形为梯形，所以与相交，所以平面，
又平面，
所以，而，所以.
（2）解：分别作，，垂足分别为，，连接，，，，
由（1）知，则，
又，，平面，
所以平面，同理平面.
因为菱形的边长为，，
为的中点，为的中点，，
则，，又，
所以四边形是等腰梯形，由对称性可知
设，则，，
所以，
所以，，
所以五面体的体积为
，
，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，五面体体的最大，最大值为.
（3）解：当五面体的体积最大时，
，，
（方法一）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，
，，，.
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
，.
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
（方法二）过点作于，过点作于，连接，
由（2）知平面，则
又，平面，
所以平面，
又平面，则，，
因为，平面，
所以平面，又平面，则，
所以为平面与平面的夹角，
又，，
由（2）及已知，，
所以，，则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
19. 在平面直角坐标系中，对于曲线C上任意一点，总存在点满足关系式（），则曲线C变换为曲线，称为平面直角坐标系中的伸缩变换，记为．已知曲线经过伸缩变换后得到曲线．
（1）求曲线的方程．
（2）已知过点的直线与曲线交于点（点在轴上方），曲线与轴的左、右两个交点分别为，设直线的斜率分别为．
（i）是否存在常数t，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（ii）若直线与交于点，试求点的轨迹方程．
解：（1）设上任意一点，则点在上，
由题意得，化简得，所以曲线的标准方程为；
（2）（i）设直线，，，
联立直线与，，化简得，
，，
,,
若，则，故，
故存在，使得
（ii）直线，直线，
设点，则，
两条直线方程相除，可得
即，解得，即点在直线上；
故点轨迹为直线.中奖次数
张数