安徽省安庆石化第一中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份安徽省安庆石化第一中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了 下列各式成立的是， 下列根式是最简二次根式的是， 已知实数，满足，，且，求的值等内容，欢迎下载使用。
1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4. 方程的二次项系数是2，则一次项系数，常数项分别为（ ）
A. 6，-9B. -6，9C. -6，-9D. 6，9
5. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根．则该三角形的周长是（ ）
A. 8B. 10C. 8或10D. 8或9或10
7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
8. 如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（ ）．
A. 7米B. 8米C. 9米D. 12米
9. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A. a＝3，b＝4，c＝5B. a＝b，∠C＝45°
C. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3D. a＝9，b＝40，c＝41
10. 已知实数，满足，，且，求的值（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共 20 分）
11. 已知最简二次根式与二次根式同类二次根式，则______．
12. 小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加1人向外转发，经过两轮短信的发送，共有35人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了__________个好友
13. 在中，，若，则的长是________．
14. 如图，在中，，P、Q分别是线段和上的两个动点，则的最小值为______．
三．解答题（共10小题）
15. 计算：．
16. 解方程：．
17. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等实数根，求实数k的值并解这个方程；
（2）若方程的两个实数根、满足，则的值为 ．
18. 如图，已知在中，，是上一点，且，
（1）求证：是直角三角形；
（2）求的长
19. 阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值．
例如：已知，求式子最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当时，当且仅当______时，式子的最小值为______（直接写出答案）；
（2）如图，用篱笆围一个面积为50平方米长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
20. 先观察下列等式，再解答下列问题：
①；
②；
③．
（1）根据上面三个等式提供的信息，计算：；
（2）按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式；
（3）请利用上述规律来计算：．
21. 对于代数式，若存在实数，当时，代数式值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则．
（1）代数式的不变值是______，______．
（2）说明：代数式没有不变值；
（3）已知代数式，若，求的值．
22. 直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在某APP上对一款成本价为每件8元的小商品进行直播销售．如果按每件10元销售，每天可卖出200件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨1元，每天的销售件数就减少20件．将每件小商品的售价定为x（元），每天销售量y（件）．
（1）求y（件）与x（元）之间的函数表达式；
（2）若电商按每件小商品的销售单价不低于成本价，且不高于15元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为640元，求每件小商品的销售价应为多少元？
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
（1）的长为 ___________，点D的坐标是 ___________；
（2）求点C的坐标；
（3）点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标；
（4）在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
石化一中2024-2025学年八年级下期中随堂练习
一．选择题（(本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列式求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得．
故选：B．
2. 下列各式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，深刻理解算术平方根的定义是解题的关键．
根据算术平方根的定义直接判断即可得出答案．
【详解】解：A. ，故选项不符合题意；
B. 在时不成立，故选项不符合题意；
C. ，故选项不符合题意；
D. 成立，故选项符合题意；
故选：．
3. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【详解】A、＝，不符合题意；
B、原式＝＝，不符合题意；
C、为最简二次根式，符合题意；
D、＝2，不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
4. 方程的二次项系数是2，则一次项系数，常数项分别为（ ）
A. 6，-9B. -6，9C. -6，-9D. 6，9
【答案】C
【解析】
【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数，和常数项即可．
【详解】∵,
∴2x2-6x-9=0，
∴一次项系数是-6，常数项是-9，
故选C.
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．注意：各项系数及常数项包括前面的符号.
5. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程2x2-2x-1=0，
整理得：x2-x=，
配方得：x2-x+=，即（x-）2=．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根．则该三角形的周长是（ ）
A. 8B. 10C. 8或10D. 8或9或10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程．求出一元二次方程的解，根据方程的两根为等腰三角形的腰和底的长，分类讨论求解即可．
【详解】解：，
，
或，
∴，
当腰为2，底为4时，因为，不符合三角形三边的关系，舍去，
当腰为4，底为2时，三角形的周长为．
故选：B．
7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【详解】解：△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8. 如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（ ）．
A. 7米B. 8米C. 9米D. 12米
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求AC的长，从而求木杆折断前的高度．
【详解】解：由题意可知，AB=4，BC=3
∴在Rt△ABC中，
∴木杆在折断前的高度为4+5=9米
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形，正确理解题意进行计算是解题关键．
9. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A. a＝3，b＝4，c＝5B. a＝b，∠C＝45°
C. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3D. a＝9，b＝40，c＝41
【答案】B
【解析】
分析】A.由勾股定理逆定理得：，即可判断A正确；
B.由等腰三角形的性质与三角形内角和定理得：，所以B错误；
C.由三角形内角和定理即可求出，，，所以C正确；
D.由勾股定理逆定理得：，即可判断D正确．
【详解】A.由题可得：满足勾股定理，
是直角三角形，故A选项正确；
B.，
，
由三角形内角和定理得：，
不是直角三角形，故B选项错误；
C.，
设，则，，
由三角形内角和定理得：，
解得：，，，
是直角三角形，故C选项正确；
D. .由题可得：满足勾股定理，
是直角三角形，故D选项正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，一是根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，二是根据勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，本题的关键在于勾股定理逆定理的求解．
10. 已知实数，满足，，且，求的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识．将化为，得到实数，是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解．
【详解】解：化为，
，且，
实数，是方程的两个根，
，，
，
故选：A．
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共 20 分）
11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．
【详解】解：∵，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
12. 小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加1人向外转发，经过两轮短信的发送，共有35人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了__________个好友
【答案】5.
【解析】
【分析】本题可设第一轮中某人向x人发短信，那么在第二轮中获得短信的这x人每人又发出了（x+1）条信息，即在第二轮中共发出了x（x+1）条短信，进而我们可列出方程，求出答案．
【详解】设第一轮中某人向x人发短信,获得短信的x人,每人向外发(x+1)条短信，
由题意得，
x+x(x+1)=35，
整理x2+2x−35=0，
解得：x1=5,x2=−7(不合题意,舍去)
故答案为5.
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于理解题意列出方程.
13. 在中，，若，则的长是________．
【答案】17
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，
即（AB-2）2+82=AB2，
解得AB=17．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
14. 如图，在中，，P、Q分别是线段和上的两个动点，则的最小值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了轴对称性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质．作点B关于的对称点，过点作于点Q，则取得最小值，证明，设，则，得到，证明，再求得，则，解得，即可求得答案．
【详解】作点B关于对称点，过点作于点Q，
则，，
∴取得最小值，
∵，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，即的最小值为9，
故答案为：9．
三．解答题（共10小题）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得解，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
17. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求实数k的值并解这个方程；
（2）若方程的两个实数根、满足，则的值为 ．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根的判别式：
（1）利用根的判别式的意义得到，则解方程得到的值，此时方程为，然后解一元二次方程即可；
（2）先根据根与系数的关系得，，再利用得到，解得，，然后根据根的判别式的意义得到，从而可确定的值．
【小问1详解】
解：根据题意得
解得，
此时方程为，
，
解得；
【小问2详解】
解：根据根与系数的关系得，，
，
，
整理得，
解得，，
，
解得，
的值为2．
18. 如图，已知在中，，是上一点，且，
（1）求证：是直角三角形；
（2）求的长
【答案】（1）见解析 （2）的长是
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到，从而证明是直角三角形；
（2）根据勾股定理计算，得到答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即是直角三角形；
【小问2详解】
解：在中，，，，
由勾股定理得：，
即的长是．
【点睛】此题主要考查勾股定理以及其逆定理的应用，解题的关键是熟知直角三角形的性质及勾股定理的内容．
19. 阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当时，当且仅当______时，式子的最小值为______（直接写出答案）；
（2）如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
【答案】（1），
（2）长为10米，宽为5米时，所用的篱笆最短，最短篱笆为20米
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用．
（1）根据材料提供的信息解答即可．
（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可．
【小问1详解】
解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6，
故答案为：6．
小问2详解】
解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
∵，当且仅当时，的值最小，最小值为20，
∴或（舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米．
20. 先观察下列等式，再解答下列问题：
①；
②；
③．
（1）根据上面三个等式提供的信息，计算：；
（2）按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式；
（3）请利用上述规律来计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了利用与实数运算相关的规律题，利用二次根式的性质化简．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
（1）由题意知，，求解作答即可；
（2）由题意知，，然后求解作答即可；
（3）根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，，
∴；
【小问2详解】
解：由题意知，，
∴用n（n为正整数）表示的等式为；
【小问3详解】
解：由题意知，，
∴．
21. 对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则．
（1）代数式的不变值是______，______．
（2）说明：代数式没有不变值；
（3）已知代数式，若，求的值．
【答案】（1）和4，7
（2）见解析 （3）1
【解析】
【分析】（1）根据不变值的定义可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再做差后可求出的值；
（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程没有实数根，进而可得出代数式没有不变值；
（3）由可得出方程有两个相等的实数根，进而可得出，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解：依题意，得：，即
解得：，，
，
故答案为：和4，7；
【小问2详解】
解：依题意，得：即，
，
没有实数根，
代数式没有不变值；
【小问3详解】
解：依题意，得：即有两个相等的实数根，
，
整理得：，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．
22. 直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在某APP上对一款成本价为每件8元的小商品进行直播销售．如果按每件10元销售，每天可卖出200件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨1元，每天的销售件数就减少20件．将每件小商品的售价定为x（元），每天销售量y（件）．
（1）求y（件）与x（元）之间的函数表达式；
（2）若电商按每件小商品的销售单价不低于成本价，且不高于15元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为640元，求每件小商品的销售价应为多少元？
【答案】（1）
（2）12元
【解析】
【分析】（1）由每件小商品的售价每上涨1元，每天的销售件数就减少20件，即可求解；
（2）由利润每件商品利润数量，列出方程可求解．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数表达式为，
∴y与x之间的函数表达式为；
【小问2详解】
由题意可得：，
整理，得，
解得：，．
又每件小商品的销售单价不低于成本价，且不高于15元的价格，
所以，
答：将每件小商品的售价定为12元时，才能使每天的利润为640元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
（1）的长为 ___________，点D的坐标是 ___________；
（2）求点C的坐标；
（3）点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标；
（4）在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）5，
（2）
（3）或
（4）存在，点P的坐标为或或
【解析】
【分析】（1）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，即可得到点D的坐标；
（2）设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标；
（3）先求出，设点的坐标为，则，根据列方程求出的值，即可得到点M的坐标；
（4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可．
【小问1详解】
解：，，
，，
在中，，
由折叠的性质可知，，
，
点D的坐标是，
故答案：，；
【小问2详解】
解：设，则，
由折叠的性质可知，，
在中，，
，
解得：，即，
点C的坐标为；
【小问3详解】
解：，，
，，
，
设点的坐标为，
，
，
，
，
或，
或，
点M的坐标为或；
【小问4详解】
解：存在，理由如下：
①当，，则为等腰直角三角形，
如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点P的坐标为；
②当，，则为等腰直角三角形，
如图，过点作轴于点，
同理 可证，，
，，
，
点P的坐标为；
③当，，则为等腰直角三角形，
如图，过点作轴于点，轴于点，
则，
∴；
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
设点P的坐标为，
，
，，
，
解得：，
点P的坐标为，
综上可知，第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标或或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．