安徽省安庆石化第一中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省安庆石化第一中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共22页。试卷主要包含了 估计的值在， 一元二次方程， 如果=-1，那么a一定是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本大题共10小题，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 估计的值在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
3. 下列各组数中，能组成直角三角形的一组是（ ）
A 6，8，11B. ，3，C. 4，5，6D. 2，2，
4. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A. B. C. D.
6. 一元二次方程（a-2）x2-2x+a2-4=0的一个根是0，则a的值是（ ）
A. 2B. 1C. 2或﹣2D. ﹣2
7. 如果=-1，那么a一定是（ ）
A 负数B. 正数C. 正数或零D. 负数或零
8. 已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）
A. m2+2mn+n2=0B. m2﹣2mn+n2=0C. m2+2mn﹣n2=0D. m2﹣2mn﹣n2=0
9. 小华早上从家出发到离家5千米的国际会展中心参观，实际每小时比原计划多走1千米，结果比原计划早到了15分钟，设小华原计划每小时行x千米，可列方程（ ）
A. B. C. D.
10. 如图1，以直角三角形的各边边边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大正三角形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A. 直角三角形的面积B. 较小两个正三角形重叠部分的面积
C. 最大正三角形面积D. 最大正三角形与直角三角形的面积差
二．填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 函数的自变量的取值范围是______．
12. 实数范围内分解因式________
13. 已知a，b是一元二次方程x2+x－3＝0的两个实数根，则a2-b+2020=________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，点A在线段上且满足，B点是x轴上一点，当是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为______．
三．解答题（共9小题）
15. 计算：．
16. 如图，正方形网格中，每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）在图①中画一条线段MN，使MN=；
（2）在图②中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF．
17. 已知等腰三角形ABC的底边BC＝2cm，D是腰AB上一点，且CD＝4cm，BD＝2cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的面积．
18.
已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：．
19. 晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是晓明的探究过程，请你补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ．
（3）应用运算规律，化简：．
20. 3月20号上午，2021合肥蜀山区桃花文化节在小庙镇结义桃园景区开幕，开幕的当天吸引了大批市民前来赏花、踏青、摄影，感受大自然的魅力．一花卉商户购进了一批单价为50元的盆景，如果按每盆60元出售，可销售800盆，如果每盆提价0.5元出售，其销售量就减少10盆，现在要获利12000元，且销售成本不超过24000元，问这种盆景销售单价确定多少？这时应进多少盆盆景？
21. 已知关于的一元二次方程的两根是．
（1）证明：无论为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求它的另一个根和的值；
（3）无论为何值，方程总有一个不变的根为___________．
22. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
无论取何实数，总有．
，即的最小值是．
即无论取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：
（1）已知，求证是正数．
知识迁移：
（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．
23. 如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作．
（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度＝______米．
（2）当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽；
（3）当他在丙房间时，测得米，且，．求丙房间的宽．
石化一中2023—2024学年第二学期期中随堂练习
初二年级数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2. 估计的值在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】C
【解析】
【详解】解：由36＜38＜49，即可得6＜＜7，
故选：C．
3. 下列各组数中，能组成直角三角形的一组是（ ）
A. 6，8，11B. ，3，C. 4，5，6D. 2，2，
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【详解】A选项：42+62≠82，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
B选项：（）2+（）232，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
C选项：42+52≠62，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
D选项：22+22＝（）2，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，故此选项正确；
故选D.
【点睛】考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用配方法解方程的方法对各选项进行判断．
【详解】解：A. ，故选项A不符合题意；
B.由得，，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C符合题意；
D. ，故选项D不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法；用配方法解一元二次方程时，先把原方程化为的形式；再方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边，然后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
5. 下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】解：A. ，，方程没有实数根，不符合题意；
B. ，，方程没有实数根，不符合题意；
C. ，，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
D. ，，方程有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，解题关键是准确计算根的判别式，正确判断．
6. 一元二次方程（a-2）x2-2x+a2-4=0的一个根是0，则a的值是（ ）
A. 2B. 1C. 2或﹣2D. ﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】把x=0代入方程（a-2）x2-2x+a2-4=0得a2-4=0，解得a1=2，a2=-2，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
【详解】解：把x=0代入方程（a-2）x2-2x+a2-4=0得a2-4=0，
解得a1=2，a2=-2，
因为方程为一元二次方程，
所以a-2≠0，
所以a=-2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元二次方程．
7. 如果=-1，那么a一定是（ ）
A. 负数B. 正数C. 正数或零D. 负数或零
【答案】A
【解析】
【详解】解：如果，那么=﹣a，且a≠0，所以a一定是负数．故选A．
8. 已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）
A. m2+2mn+n2=0B. m2﹣2mn+n2=0C. m2+2mn﹣n2=0D. m2﹣2mn﹣n2=0
【答案】C
【解析】
【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2=（n-m）2，整理即可求解
【详解】解：m2+m2=（n﹣m）2，
2m2=n2﹣2mn+m2，
m2+2mn﹣n2=0．
故选C.
9. 小华早上从家出发到离家5千米的国际会展中心参观，实际每小时比原计划多走1千米，结果比原计划早到了15分钟，设小华原计划每小时行x千米，可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据结果比“原计划早到了15分钟”，则等量关系为：昨天所用时间−今天所用时间，根据等量关系列方程即可解答．
【详解】解：设小华原计划每小时行x千米，
依题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10. 如图1，以直角三角形的各边边边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大正三角形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A. 直角三角形的面积B. 较小两个正三角形重叠部分的面积
C. 最大正三角形的面积D. 最大正三角形与直角三角形的面积差
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可.
【详解】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，
由勾股定理得，c2=a2+b2
阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)
较小两个正方形重叠部分的长=a(c-b)，宽=a,
则较小两个正方形重叠部分底面积=a(a+b-c)，
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出
较小两个正方形重叠部分的面积，
故选:B.
【点睛】本题考查勾股定理和面积公式,关键在于熟记公式.
二．填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 函数的自变量的取值范围是______．
【答案】x＜3
【解析】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可求出自变量的取值范围．
【详解】解：在中，
，3-x≥0，
∴x＜3，
故答案为：x＜3．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12. 在实数范围内分解因式________
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式2，然后再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】原式=2(-5)=2(x+)(x-)．
故答案为：2(x+)(x-)．
考点：因式分解
13. 已知a，b是一元二次方程x2+x－3＝0的两个实数根，则a2-b+2020=________．
【答案】2024
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的定义和根于系数的关系将原式进行转换求解．
【详解】解：∵a、b是方程的两个实数根，
∴，即，
∴，
原式==．
故答案是：2024．
【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和根于系数的关系，解题的关键是掌握根于系数关系的公式．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，点A在线段上且满足，B点是x轴上一点，当是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】根据y=-x+3可求出点M，N的坐标，过点A作AE⊥y轴于点E，作AF⊥x轴于点 F，由AN=2AM可得，段可得AF=2AE，设A（x，-x+3），得-x+3=2x，求出x的值，得点A坐标，求出AO的长，再根据是以OA为腰的等腰三角形可得点B坐标．
【详解】解：由令当x=0时，y=3；当y=0时，x=3，
∴M（0，3），N（3，0）
∴OM=ON=3
过点A作AE⊥y轴于点E，作AF⊥x轴于点 F，
∵AN=2AM
∴
∴AF=2AE，
设A（x，-x+3），
∴-x+3=2x，
解得，x=1，-x+3=2
∴A（1，2）
∴
∵是以OA为腰的等腰三角形
∴点B的坐标为：或或
故答案或或．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等妥三角形的判断，求出点A坐标是解答本题的关键．
三．解答题（共9小题）
15. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用平方差公式，绝对值的意义进行计算，即可解答．
【详解】解： ，
，
，
．
16. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）在图①中画一条线段MN，使MN=；
（2）在图②中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；
【解析】
【分析】（1）由于12+42=1+16=17，可知线段MN就是分别以1和4为直角边的直角三角形的斜边长；
（2）边长分别为、和的三角形即为所求作的直角三角形.
【详解】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
17. 已知等腰三角形ABC的底边BC＝2cm，D是腰AB上一点，且CD＝4cm，BD＝2cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）△ABC的面积为10cm²．
【解析】
【分析】（1）先算CD²，BC²，BD²，发现三者之间的等量关系，再结合勾股定理的逆定理判断垂直；
（2）先设AD=x，然后用含有x的式子表示AC，再结合勾股定理列出方程求x，最后求面积．
【详解】（1）证明：∵BC=2cm，CD=4cm，BD=2cm，
∴CD2=16，BC2=20，BD2=4，
∴CD2+BD2=BC2，
∴三角形BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AD=x，则AB=x+2，
∵△ABC为等腰三角形，且AB=AC，
∴AC=x+2，
在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，
∴x2+42=（x+2）2，
解得：x=3，
∴AB=5，
∴S△ABC=×AB×CD=×5×4=10（cm²）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，通过设AD=x然后利用勾股定理列出方程是解决本题的关键．
18.
已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式化简，三角形的三边关系，解题的关键是首先利用三角形三边关系得出c的取值范围，进而化简求出答案．
【详解】解：由题意知：，即，
∴，，
．
19. 晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是晓明的探究过程，请你补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ．
（3）应用运算规律，化简：．
【答案】（1）；（2）（n为正整数）；（3）2019．
【解析】
【分析】（1）根据题目中例子可以仿照例3，写出与例3连续的数字规律完成例4；
（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题．
（3）根据利用规律化为然后利用二次根式的乘法约分化简即可．
【详解】(1)答案不唯一，如：．
(2)(为正整数)．
∵左边．
∵为正整数，
∴．
∴左边
又∵右边，
∴左边=右边．
即．
（3）
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、数字规律探究问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，再应用规律计算．
20. 3月20号上午，2021合肥蜀山区桃花文化节在小庙镇结义桃园景区开幕，开幕的当天吸引了大批市民前来赏花、踏青、摄影，感受大自然的魅力．一花卉商户购进了一批单价为50元的盆景，如果按每盆60元出售，可销售800盆，如果每盆提价0.5元出售，其销售量就减少10盆，现在要获利12000元，且销售成本不超过24000元，问这种盆景销售单价确定多少？这时应进多少盆盆景？
【答案】这种盆景销售单价应定为80元，这时应进400盆盆景
【解析】
【分析】设这种盆景销售单价应定为x元，则每盆的利润为（x﹣50）元，可售出（2000﹣20x）盆，根据总利润＝每盆的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合销售成本不超过24000元，即可确定x的值，此题得解．
【详解】解：设这种盆景销售单价应定为x元，则每盆的利润为（x﹣50）元，
可售出800﹣×10＝（2000﹣20x）盆，
依题意得：（x﹣50）（2000﹣20x）＝12000，
整理得：x2﹣150x+5600＝0，
解得：x1＝70，x2＝80．
当x＝70时，2000﹣20x＝600（盆），600×50＝30000（元）＞24000元，不合题意，舍去；
当x＝80时，2000﹣20x＝400（盆），400×50＝20000（元）＜24000元．
答：这种盆景销售单价应定为80元，这时应进400盆盆景．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21. 已知关于的一元二次方程的两根是．
（1）证明：无论为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求它的另一个根和的值；
（3）无论为何值，方程总有一个不变的根为___________．
【答案】（1）见解析 （2），另一个根为
（3）
【解析】
【分析】（1）证明方程的根的判别式即可．
（2）把代入方程，得到关于k的方程，解答即可．
（3）公式法求得方程根判断即可．
【小问1详解】
∵方程，，
∴，
∴无论为何值，该方程总有两个实数根．
【小问2详解】
把代入方程，
得，
解得，
∴方程，
解得，
故，另一个根为．
【小问3详解】
∵方程，，
∴，
∴
∴，
此时方程总有一个不变的根为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，公式法解方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
22. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
无论取何实数，总有．
，即最小值是．
即无论取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：
（1）已知，求证是正数．
知识迁移：
（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．
【答案】（1）见解析;（2）当时，有最大值
【解析】
【分析】（1）根据题意对进行配方，即可求出最值；
（2）先求，再根据题意进行配方即可求得最值．
【详解】（1）证明：
．
．
．
．
是正数．
（2）解：由题意得：，，．
．
．
．
又∵
当时，有最大值．
【点睛】本题考查利用配方法求最值，正确进行配方是求解本题的关键．
23. 如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作．
（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度＝______米．
（2）当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽；
（3）当他在丙房间时，测得米，且，．求丙房间的宽．
【答案】（1）；
（2）；
（3）丙房间的宽是米．
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据以及的度数得到为等边三角形是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）证明，从而得到米，米， 即可求出；
（3） 根据以及的度数得到为等边三角形利用相应的三角函数表示出，的长，可得到房间宽和长相等．
【小问1详解】
解：在中，
∵，米，米，
∴，
∵，
∴甲房间的宽度米，
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴米．
【小问3详解】
解：过点作垂线，垂足点，连接，
设，且．
∵梯子的倾斜角为，
∴为等腰直角三角形，为等边三角形，梯子长度相同，，
∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴米，即丙房间的宽是米．