2023-2024学年安徽省安庆市大观区石化一中八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年安徽省安庆市大观区石化一中八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是( )
A. 18B. 12C. 23D. 29
2.在下列各式中正确的是( )
A. (−2)2=−2B. ± 9=3C. ( −5)2=−5D. 16=4
3.一元二次方程x(x−2)=2−x的根是( )
A. −1B. 0C. 1和2D. −1和2
4.已知x=1是一元二次方程(2m+2)x2+x−m2=0的一个根，则m的值为( )
A. −1B. 3或−1C. 3D. −3或1
5.有下列各组数：①6，8，10；②32，42，52；③35，45，1；④12，16，20；⑤0.5，1.2，1.3.其中勾股数有( )
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
6.如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为( )
A. 7米B. 8米C. 9米D. 12米
7.某射击小组有20人，成绩如表所示：这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 8；8B. 7；8C. 7；7.5D. 8；7.5
8.如图，在△ABC中，∠A=40∘，AB=AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为( )
A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘
9.如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF，添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．下列条件中正确的是( )
A. AD=BC
B. CD=BF
C. ∠F=∠CDE
D. ∠A=∠C
10.如图，在平行四边形ABCD中，AD=6，点E在边AD上，点F在BC的延长线上，且满足BF=BE=8，过点C作CE的垂线交BE于点G，若CE恰好平分∠BEF，则BG的长为( )
A. 2B. 3C. 4D. 2 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.当x= 3+1时，式子x2−2x+2的值为______.
12.关于x的一元二次方程x2=a的两个根分别是2m−1与m−5，则m=______.
13.如图，已知∠A=90∘，AC=AB=4，CD=2，BD=6.则∠ACD=______度．
14.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为AB的中点，点F为BC边上任意一点，将△BEF沿EF翻折，点B的对应点为B′，则当△B′CD面积最小时折痕EF的长为______.
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
15.计算： 48÷ 3− 12× 12+ 24.
16.某中学为了了解学生的体育锻炼情况，随机抽查了部分学生一周参加体育锻炼的时间，得到如图的条形统计图，根据图形解答下列问题：
(1)这次抽查了______名学生；
(2)所抽查的学生一周平均参加体育锻炼多少小时？
(3)已知该校有1200名学生，估计该校有多少名学生一周参加体育锻炼的时间超过6小时？
四、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：x(x−3)=6−2x.
18.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+2x+a−2=0有两个实数根.
(1)求实数a的取值范围；
(2)若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值.
19.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BC=BD，点E在BD上，∠A=∠BEC=90∘.
(1)求证：△ABD≌△ECB；
(2)若AD=4，CE=3，求CD的长．
20.(本小题10分)
在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知a=12+ 3，求2a2−8a+1的值.他是这样解答的：
∵a=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3，
∴a−2=− 3.
∴(a−2)2=3，a2−4a+4=3.
∴a2−4a=−1.
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1.
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1)1 3+ 2=______；
(2)化简1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+……+1 169+ 168；
(3)若a=1 5−2，求a4−4a3−4a+3的值.
21.(本小题12分)
商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
(1)当每件盈利50元时，每天可销售多少件？
(2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？
22.(本小题12分)
如图，已知平行四边形ABCD，点O为BD中点，点E在AD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AB=3 2，AD=6，∠BAD=135∘，当四边形BEDF为菱形时，求AE的长．
23.(本小题14分)
如图，在△OAB中，∠OAB=90∘，∠AOB=30∘，OB=8.以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E
(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；
(2)连接AC、BE交于点P，求AP的长及AP边上的高BH.
(3)在(2)的条件下，将四边形OABC置于如图所示的平面直角坐标系中，以E为坐标原点，其余条件不变，以AP为边向右上方作正方形APMN：
①M点的坐标为______；
②直接写出正方形APMN与四边形OABC重叠部分的面积(图中阴影部分)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 18=3 2，与 3被开方数不同，不是同类二次根式；
B、 12=2 3，与 3被开方数相同，是同类二次根式；
C、 23= 63，与 3被开方数不同，不是同类二次根式；
D、 29= 23，与 3被开方数不同，不是同类二次根式．
故选：B.
根据最简二次根式的意义，将每个选项化简，即可得出正确结论．
要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断．
2.【答案】D
【解析】解：A. (−2)2=2，故此选项不合题意；
B.± 9=±3，故此选项不合题意；
C. −5无意义，故此选项不合题意；
D. 16=4，故此选项符合题意．
故选：D.
直接利用算术平方根以及平方根的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了算术平方根和平方根的定义，正确化简各数是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：x(x−2)=2−x，
x(x−2)−(2−x)=0，
x(x−2)+(x−2)=0，
(x−2)(x+1)=0，
x−2=0或x+1=0，
x1=2，x2=−1，
故选：D.
利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：把x=1代入(2m+2)x2+x−m2=0得，
2m+2+1−m2=0，
m2−2m−3=0，
解得：m1=3，m2=−1，
∵(2m+2)x2+x−m2=0，
∴2m+2≠0，
∴m≠−1，
∴m=3，
故选：C.
首先把x=1代入(2m+2)x2+x−m2=0解方程可得m1=3，m2=−1，再结合一元二次方程定义可得m的值．
本题考查了一元二次方程的解及定义和解一元二次方程，正确理解定义及熟练掌握解方程是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：62+82=102，故①是勾股数；
(32)2+(42)2≠(52)2，故②不是勾股数；
35、45不是正整数，故③不是勾股数；
122+162=202，故④是勾股数；
0.5，1.2，1.3不是正整数，故⑤不是勾股数；
所以勾股数有①、④，共2组．
故选：B.
根据勾股数的概念即：能够构成直角三角形三边的正整数，满足a2+b2=c2.
本题考查了勾股数，掌握勾股数是正整数且满足a2+b2=c2是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【解答】
解：∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，顶端落在地面离木杆底端3米处，
∴折断的部分长为 32+42=5(米)，
∴折断前高度为5+4=9(米).
故选C.
7.【答案】D
【解析】解：由表格中的数据可得，
这组数据的众数是8，中位数是：(7+8)÷2=7.5，
故选：D.
根据表格中的数据可以求得这组数据的众数和中位数，从而可以解答本题．
本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的定义，找出这组数据的众数和中位数．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是求出∠C的度数．
根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E.
【解答】
解：∵在△ABC中，∠A=40∘，AB=AC，
∴∠C=(180∘−40∘)÷2=70∘，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴∠E=∠C=70∘.
故选D.
9.【答案】C
【解析】解：添加：∠F=∠CDE，
理由：
∵∠F=∠CDE，
∴CD//AB，
在△DEC与△FEB中，
∠CDE=∠F∠DEC=∠BEFEC=BE，
∴△DEC≌△FEB(AAS)，
∴DC=BF，
∵AB=BF，
∴DC=AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：C.
把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC=BF=AB，且DC//AB.
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，延长EF，GC两条线相交于点H，过点G作GP//EF交BC于点P，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵BF=BE=8，
∴CF=BF−BC=2，
∵CE平分∠BEF，
∴∠GEC=∠HEC，
∵CE⊥GC，
∴∠ECG=∠ECH=90∘，
在△ECG和△ECH中，
∠GEC=∠HECEC=EC∠ECG=∠ECH，
∴△ECG≌△ECH(ASA)，
∴CG=CH，
∵GP//EF，
∴∠PGC=∠FHC，
在△PCG和△FCH中，
∠GCP=∠HCFCG=CH∠PGC=∠FHC，
∴△PCG≌△FCH(ASA)，
∴CP=CF=2，
∴BP=BF−PF=8−4=4，
∵BF=BE，
∴∠BEF=∠BFE，
∵GP//EF，
∴∠BGP=∠BEF，∠BPG=∠BFE，
∴∠BGP=∠BPG，
∴BG=BP=4.
故选：C.
延长EF，GC两条线相交于点H，过点G作GP//EF交BC于点P，根据平行四边形的性质证明△ECG≌△ECH，可得CG=CH，再证明△PCG≌△FCH，可得CP=CF=2，再根据等腰三角形的性质证明BG=BP即可．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．
11.【答案】4
【解析】解：原式=x2−2x+1+1
=(x−1)2+1，
当x= 3+1时，
原式=( 3+1−1)2+1
=3+1
=4.
故答案为：4.
原式配方后，利用完全平方公式化简，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：根据题意得2m−1+m−5=0，
解得m=2，
故答案为：2.
利用直接开平方法解方程x2=a得到方程的两根互为相反数，则2m−1+m−5=0，则可计算出m=3即可．
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
13.【答案】45
【解析】解：∵∠A=90∘，AC=AB=4，
∴∠ACB=∠ABC=45∘，
在Rt△ABC中，BC= AC2+AB2=4 2，
CD2+BC2=22+(4 2)2=36，BD2=62=36，
∴CD2+BC2=BD2，
∴∠BCD=90∘，
∴∠ACD=45∘，
故答案为：45.
根据勾股定理求出BC，根据勾股定理的逆定理得到∠BCD=90∘，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
14.【答案】3 2
【解析】解：当△B′CD面积最小时，B′到CD的距离最小，即B′到AB的距离最大，
∴当B′到AB的距离=EB′时，此时B′到AB的距离最大，
即EB′⊥AB，
∵将△BEF沿EF翻折，点B的对应点为B′，
∴BE=B′E，∠B=∠EB′F=∠B′EB=90∘，
∴四边形EBFB′是正方形，
∴EF= 2BE，
∵点E为AB的中点，
∴BE=3，
∴EF=3 2，
∴当△B′CD面积最小时折痕EF的长为3 2，
故答案为：3 2.
当△B′CD面积最小时，B′到CD的距离最小，即B′到AB的距离最大，当B′到AB的距离=EB′时，此时B′到AB的距离最大，即EB′⊥AB，根据折叠的性质得到BE=B′E，∠B=∠EB′F=∠B′EB=90∘，推出四边形EBFB′是正方形，得到EF= 2BE，于是得到距离．
本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质，正方形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
15.【答案】解：原式= 16− 6+2 6
=4+ 6
【解析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得．
16.【答案】(1)60；
(2)15×4+10×5+15×7+20×860=6.25(小时).
答：所抽查的学生一周平均参加体育锻炼6.25(小时).
(3)1200×15+2060=700(人).
答：估计该校有700名学生一周参加体育锻炼的时间超过6小时．
【解析】解：(1)15+10+15+20=60.
故答案是：60；
(2)见答案．
(3)见答案．
【分析】
(1)把各段的-人数相加即可求解；
(2)根据平均数的计算公式即可求解；
(3)1200乘以样本中超过6小时的人数所占的比例即可求解．
本题主要考查了条形统计图的计算，理解条形统计图中坐标的意义，理解加权平均数的计算公式是解题的关键．
17.【答案】解：∵x(x−3)=−2(x−3)，
∴(x−3)(x+2)=0，
则(x−3)=0或者(x+2)=0，
解得x1=3，x2=−2.
【解析】利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+2x+a−2=0有两个实数根，
∴Δ=b2−4ac=4−4(a−2)≥0，
解得a≤3；
(2)由根与系数的关系可知：x1+x2=−2，x1⋅x2=a−2，
则(a−2)2+4×(−2)=1，
解得a1=5，a2=−1，
∵a≤3，
∴a的值为−1.
【解析】(1)由关于x的一元二次方程x2+2x+a−2=0有两个实数根，可得△≥0，继而求得实数a的取值范围；
(2)由方程的两个实数根为x1、x2，且x12x22+4x1+4x2=1，可得方程，继而求得答案．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.也考查了代数式的变形能力和根的判别式．
19.【答案】(1)证明：∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBE，
在△ABD和△ECB中，
∠A=∠BEC∠ADB=∠CBDBC=BD，
∴△ABD≌△ECB(AAS)；
(2)∵△ABD≌△ECB(AAS)，
∴BE=AD=4，
∵CE=3，∠BEC=90∘，
根据勾股定理，得BC=5，
∴BD=5，
∴ED=1，
在△CED中，根据勾股定理，
得CD= 12+32= 10.
【解析】(1)根据AD//BC，可得∠ADB=∠CBE，进一步根据AAS证明全等即可；
(2)根据全等三角形的性质，可得BE=AD=4，根据勾股定理，可得BC=5，进一步在△CED中根据勾股定理，即可求出CD的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20.【答案】 3− 2
【解析】解：(1)1 3+ 2= 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2；
故答案为 3− 2；
(2)原式= 2−1+ 3− 2+ 4− 3+…+ 169− 168
= 169−1
=13−1
=12；
(3)∵a=1 5−2= 5+2，
∴a−2= 5，
∴(a−2)2=5，即a2−4a+4=5.
∴a2−4a=1.
∴a4−4a3−4a+3=a2(a2−4a)−4a+3
=a2×1−4a+3
=a2−4a+3
=1+3
=4.
(1)利用分母有理化计算；
(2)先分母有理化，然后合并即可；
(3)先利用a= 5+2得到a−2= 5，两边平方得到a2−4a=1，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
21.【答案】解：(1)当每件盈利50元时，每件商品降价：60−50=10(元)，
商场每天可多销售：10×2=20(件)，
每天销售：40+20=60(件)，
答：当每件盈利50元时，每天可销售60件；
(2)设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，
则商场每天多销售2x件，
根据题意得：(60−x)(40+2x)=3150，
整理得：x2−40x+375=0，
解得：x1=15，x2=25，
答：每件商品降价15元或25元时，商场日盈利可达到3150元．
【解析】(1)根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，计算出每件盈利50元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量；
(2)设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．
本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠ADB=∠CBD，
又∵点O为AD中点，
∴BO=OD
∵在△DOE和△BOF中，
∠EDO=∠FBOOD=OB∠EOD=∠FOB，
∴△DOE≌△BOF(ASA)，
∴ED=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)如图，过点B作BH⊥AD，交DA延长线于点H，
∵∠BAD=135∘，
∴∠BAH=45∘
在Rt△ABH中，AB=3 2，
∴BH=HA=3，
设AE=x，
∵四边形BEDF为菱形，
∴EB=ED=6−x
在Rt△BHE中，BH2+HE2=BE2，
∴32+(3+x)2=(6−x)2
解得：x=1，
∴AE=1.
【解析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理．本题主要利用菱形的邻边相等及勾股定理来解决．
(1)只需推知ED//BF且ED=BF即可证得四边形BEDF是平行四边形；
(2)如图，过点B作BH⊥AD，交DA延长线于点H，构造等腰直角三角形△ABH，设AE=x，由该三角形的性质和菱形的性质求得EB=ED=6−x，在Rt△BHE中，根勾股定理得到：BH2+HE2=BE2，借助于方程求得x即AE的长度即可．
23.【答案】(2 3+4,2 3)
【解析】(1)证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴AD=12OB，OD=BD=12OB，
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30∘，∠EOA=90∘，∴∠AEO=60∘，
又∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO=∠AEO=60∘，∴BC//AE，
∵∠BAO=∠COA=90∘，∴CO//AB，
∴四边形ABCE是平行四边形；
(2)解：在Rt△AOB中，∠AOB=30∘，OB=8，
∴AB=4，
∴OA=4 3，
∵四边形ABCE是平行四边形，
∴PB=PE，PC=PA，
∴PB=2 3，
∴由勾股定理，AP=2 7，
∴12×AC×BH=12×AB×BE，即12×4 7×BH=12×4×4 3，
解得BH=4 217；
(3)①∵C(0,4)，
设直线AC的解析式为y=kx+4，
∵P(2 3,0)，
∴0=2 3k+4，
解得，k=−23 3，
∴y=−23 3x+4，
∵∠APM=90∘，
∴直线PM的解析式为y= 32x+m，
∵P(2 3,0)，
∴0= 32×2 3+m，
解得，m=−3，
∴直线PM的解析式为y= 32x−3，
设P(x, 32x−3)，
∵AP=2 7，
∴(x−2 3)2+( 32x−3)2=(2 7)2，
化简，x2−4 3x−4=0，
解得，x1=2 3+4，x2=2 3−4(不合题意舍去)，
当x=2 3+4时，y= 32×(2 3+4)−3=2 3，
∴M(2 3+4,2 3)，
故答案为(2 3+4,2 3)；
②易得直线BC的解析式为y=− 33x+4，
根据题意得：y=− 33x+4y= 32x−3，
解得，x=215y=65，
∴阴影部分的面积=12×2 3×4+12×2 3×65=265 3.
(1)利用直角三角形斜边中线的性质可得DO=DA，推出∠AEO=60∘，进一步得出BC//AE，BC//AE，可得结论；
(2)先计算出OA=4 3，推出PB=2 3，利用勾股定理求出AP=2 7，再利用面积法计算即可；
(3)①求出直线PM的解析式为y= 32x−3，再利用两点间的距离公式计算即可；
②易得直线BC的解析式为y=− 33x+4，联立组成方程组，记得点G的坐标，再利用三角形面积公式计算．
本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，两点间的距离，正方形的性质，矩形的性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．射击(环)
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