2021-2022学年安徽省安庆市迎江区石化一中八年级（下）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年安徽省安庆市迎江区石化一中八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断

4. 以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5. 一个十二边形的内角和等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，下面不能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

7. 学校歌咏比赛，共有位评委分别给出参赛选手的原始评分，评定参赛选手的成绩时，从个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到个有效评分．个有效评分与个原始评分相比，一定不变的特征数据是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

8. 下列说法正确的是(    )

A. 正方形的对角线互相垂直且相等 B. 矩形的对角线互相垂直且相等
C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 平行四边形的对角线互相平分且相等

9. 如图，菱形中，，，、分别是、的中点，连接、、，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知：四边形中，，，、分别是，的中点，则线段的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 已知关于的方程的一个解为，则它的另一个解是______．
13. 如图，在▱中，，，平分交于点，则的长为          ．

14. 如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点、分别在和上，
    
    下列结论：
    ；；；．
    其中正确的序号是______把你认为正确的都填上．

三、计算题（本大题共2小题，共16分）

15. 计算：．
16. 解方程：

四、解答题（本大题共7小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知关于的方程．
    若方程总有两个不相等的实数根，求的取值范围；
    若两实数根，满足，求的值．
18. 本小题分
    如图，每个小正方形的边长都是，
    求四边形的周长和面积；
    是直角吗？
     

19. 本小题分
    观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
    例：，
    例：，，
    ______ ； ______
    请你用含为正整数的关系式表示上述各式子的变形规律．
    利用上面的结论，求下列式子的值．．
20. 本小题分
    如图，在矩形中，是对角线，、分别在、边上，将边沿折叠，点落在对角线上的处，将边沿折叠，点落在对角线上的点处．
    求证：四边形是平行四边形．
    若，，求的长．

21. 本小题分
    某商场统计了位营业员在某月的销售额情况如图．
    
    求销售额的中位数，众数和平均每人完成的销售额．
    为了调动积极性，商场决定制定一个月销售额奖励标准，凡达到或超过这个标准的营业员将受到奖励，如果要使得这名营业员中的半数左右能获奖，奖励标准应定为多少元？并说明理由．
22. 本小题分
    因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在年春节长假期间，共接待游客达万人次，预计在年春节长假期间，将接待游客达万人次．
    求东部华侨城景区至年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
    东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯价格降低元，则平均每天可多销售杯，年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额？
23. 本小题分
    如图，为正方形的边上一动点与、不重合，连接，过点作交于点，将沿所在的直线对折得到，延长交的延长线于点．
    试探究与的数量关系，并证明你的结论；
    当，，求的长；
    当，时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：．
根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、与不属于同类二次根式，不能运算，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则及乘法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
根据方程的系数结合根的判别式，计算得出，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
【解答】
解：在方程中，，
一元二次方程有两个相等的实数根．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：十二边形的内角和等于：；
故选：．
边形的内角和是，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，此题难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据平行四边形的判定，、、均符合是平行四边形的条件，则不能判定是平行四边形．
故选：．
根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可．
此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分，个有效评分，与个原始评分相比，不变的特征数据是中位数．
故选：．
根据题意，由中位数、平均数、方差、众数的定义，判断即可．
本题考查中位数、平均数、方差、众数的定义，注意这几种数据特征的定义以及计算方法，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：正方形的对角线互相垂直且相等，所以选项符合题意；
矩形的对角线相等，但不一定互相垂直，所以选项不符合题意；
菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，所以选项不符合题意；
平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，所以选项不符合题意，
故选：．
根据正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质依次进行判断即可．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质以及平行四边形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
首先根据菱形的性质证明，然后连接可推出以及为等边三角形．根据等腰三角形三线合一的性质又可推出是等边三角形．根据勾股定理可求出的长继而求出周长．
此题考查的知识点：菱形的性质、等边三角形的判定和三角形中位线定理．
【解答】
解：四边形是菱形，
，，
、分别是、的中点，
，
在和中，
，
，．
连接，





，
与是等边三角形，
，等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合，
，
，
是等边三角形．
，
，
，
的周长为：．
故选B．  

10.【答案】 

【解析】解：连接，过作，连接．
是边的中点，，，
是的中位线，，；
是的中点，，，
是的中位线，，
在中，由三角形三边关系可知，即，
，
当，即时，四边形是梯形，
故线段长的取值范围是．
故选D．
当时，最短，利用中位线定理可得的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得的其他取值范围．
解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．
 

12.【答案】 

【解析】解：设方程的另一个解是，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
设方程的另一个解是，根据根与系数的关系可得出关于的一元一次方程，解之即可得出方程的另一个解．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，则，证出，得出，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，
证出是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
说法正确；
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
说法正确；
如图，连接，交于点，

，且平分，
，
，
，
说法错误；
，
，
设正方形的边长为，
在中，
，即，
解得，
则，
，
说法正确，
故答案为：．
本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．
根据三角形的全等的知识可以判断的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为判断的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断的正误．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】化简二次根式，先算乘除，然后再算加减．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，准确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】解：方程移项得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，． 

【解析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
 

17.【答案】解：，
方程总有两个不相等的实数根，
，
．
由，
，，
原式，
整理得，
解得或．
，
故的值为． 

【解析】由方程求出判别式即可．
由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，进而求解．
本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和．
 

18.【答案】解：由勾股定理得，，，，
四边形的周长为；
面积为；
连接，由勾股定理可求得，

，，
，
是直角三角形，
是直角． 

【解析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理以及逆定理的应用，此题难度不大．
利用勾股定理求出、、和的长，即可求出四边形的周长；利用割补法即可求出四边形的面积；
连接，求出的长，利用勾股定理的逆定理即可证明出结论．
 

19.【答案】，；
；
，
． 

【解析】

；
故答案为：，；
见答案；
见答案．
【分析】
将；分母有理化，有理化因式分别为，；
被开方数是两个相邻的数，即，它的有理化因式为；
由得，原式，合并可得结果．
本题考查分母有理化，找规律是解决此题的关键．  

20.【答案】解：由翻折的性质可知，，，．
又，，
，．
在和中，，
≌．
，．
．
四边形是平行四边形．

 ，
．
设，则，．
，
．
，
，解得
． 

【解析】先证明≌，从而可证明，且，最后依据平行四边形的判定定理进行证明即可；
先利用勾股定理求得的长，设，则，然后再中，依据勾股定理列方程求解即可．
本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、平行四边形的判定、勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于的方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：共人，月销售额从小到大排列第个数为万元，第个数为万元，
万元为中位数；
万元出现了次，次数最多，为众数．
平均数为：万元；
如果要使得一半称职和优秀的营业员能获奖，这个奖励标准应定为万元合适．
因为称职和优秀的共有人，月销售额在万元以上含万元的有人，超过总数的一半． 

【解析】本题考查的是统计的应用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；此之外，本题也考查了加权平均数、中位数、众数的认识．
根据中位数、众数和平均数的意义解答即可；
如果要使得一半称职和优秀的营业员能获奖，月销售额奖励标准可以定为称职和优秀这两个层次销售额的中位数，因为中位数以上的人数占总人数的一半左右．
 

22.【答案】解：设年平均增长率为，由题意得：
，
解得：，舍去．
答：东部华侨城景区至年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为．
设每杯售价定为元，由题意得：
，
解得：，．
为了能让顾顾客获得最大优惠，故取．
答：每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额． 

【解析】设年平均增长率为，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可；
设每杯售价定为元，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．
本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确地列出方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：．
理由：四边形是正方形，
，，
．
，，
．
在和中，
，
≌，
；

过点作于，如图．
四边形是正方形，
．
，
，，
，
．
四边形是正方形，
，
．
由折叠可得，
，
．
设，则有，．
在中，
根据勾股定理可得，
解得．
的长为；

过点作于，如图．
四边形是正方形，，，
．
，
，
．
设，则有，．
在中，
根据勾股定理可得，
解得，
．
的长为． 

【解析】要证，只需证≌即可；
过点作于，如图．易得，，，然后运用勾股定理可求得即，易得，从而有由折叠可得，即可得到，即可得到设，则有，在中运用勾股定理就可解决问题；
过点作于，如图，同的方法求出的长，就可得到的长．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，设未知数，然后运用勾股定理建立方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握．