卷18 特殊的平行四边（矩形菱形正方形）（解析版+原卷版）-【冲刺2025】中考一轮总复习2024中考真题分类提优测试卷

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一、选择题(每题3分，共30分)
1．（2024•通辽）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（ ）
A．∠BAC＝∠BCAB．∠ABD＝∠CBD
C．OA2+OB2＝AD2D．AD2+OA2＝OD2
2．（2024•临夏州）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣4，2）B．（−3，4）C．（﹣2，4）D．（﹣4，3）
3．（2024•黑龙江）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MN的长为（ ）
A．5B．455C．355D．255
4．（2024•泰安）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（ ）
A．2B．43−2C．23D．4
5．（2024•苏州）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（ ）
A．3B．32C．2D．1
6．（2024•包头）如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG．若AB＝4，BC＝6，则sin∠GBF的值为（ ）
A．1010B．31010C．13D．23
7．（2024•西藏）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（ ）
A．132B．6013C．125D．3013
8．（2024•山东）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为（ ）
A．12B．10C．8D．6
9．（2024•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．125
10．（2024•泸州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OM+12FG的最小值是（ ）
A．4B．5C．8D．10
二、填空题(每题3分，共24分)
11．（2024•南通）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 cm．
12．（2024•淄博）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交于点F．若∠ACD＝2∠OEC，OFFE=56，则菱形ABCD的面积为 ．
13．（2024•广西）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm．
14．（2024•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，∠CDG=14∠AOB，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若AO＝6EF，DE=23，则DF的长为 ．
15．（2024•巴中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB＝3，BC＝4，则点F到BD的距离为 ．
16．（2024•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的边长为5，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 ．
17．（2024•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O．若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是 ．
18．（2024•呼和浩特）如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE．若BF＝2，则DG＝ ．
三、解答题（共46分）
19．（6分）（2024•广安）如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的点，BE＝BF，求证：∠DEF＝∠DFE．
20．（8分）（2024•哈尔滨）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE相等的线段（线段CE除外）．
21．（8分）（2024•兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的长．
22．（8分）（2024•青岛）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时BCAB的值．
23．（8分）（2024•徐州）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．（1）求证：△EAB≌△ECB；
（2）若∠AEC＝45°，求证：DC＝DE．
24．（8分）（2024•甘肃）【模型建立】
（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
卷18 特殊的平行四边形（原卷版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•通辽）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（ ）
A．∠BAC＝∠BCAB．∠ABD＝∠CBD
C．OA2+OB2＝AD2D．AD2+OA2＝OD2
【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵OA2+OB2＝AD2，
∴OA2+OD2＝AD2，
∴∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意，
D、∵AD2+OA2＝OD2，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∴不能证得▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
2．（2024•临夏州）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣4，2）B．（−3，4）C．（﹣2，4）D．（﹣4，3）
【分析】过C作CN⊥x轴于N，由勾股定理求出OC=ON2+CN2=5，由菱形的性质推出AC∥BO，由勾股定理求出BM=AB2−AM2=3，得到OM＝OB﹣MB＝5﹣3＝2，因此点A的坐标为（﹣2，4）．
【解答】解：过C作CN⊥x轴于N，过A作AM⊥x轴于M，
∵点C的坐标为（3，4），
∴ON＝3，CN＝4，
∴OC=ON2+CN2=5，
∵四边形ABOC是菱形，
∴AC＝OC＝5，AC∥BO，
∴点A的坐标为（﹣2，4）．
故选：C．
【点评】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，关键是由勾股定理求出OC的长．
3．（2024•黑龙江）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MN的长为（ ）
A．5B．455C．355D．255
【分析】先由菱形性质可得对角线AC与BD交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得OA＝OC＝OM＝2，进而由菱形对角线求出边长，由sin∠MAC＝sin∠OBC=55解三角形即可求出MC＝ACsin∠MAC=455，MN＝BMtan∠OBC=355．
【解答】解：连接AC，如图，
∵菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，
又∵点O是BD的中点，
∴A、O、C三点在同一直线上，
∴OA＝OC，
∵OM＝2，AM⊥BC，
∴OA＝OC＝OM＝2，
∵BD＝8，
∴OB＝OD=12BD＝4，
∴BC=OB2+OC2=42+22=25，tan∠OBC=OCOB=24=12，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠OBC＝90°，
∴∠MAC＝∠OBC
∴sin∠MAC＝sin∠OBC=OCBC=225=55，
∴MC＝ACsin∠MAC=455，
∴BM＝BC﹣MC＝25−455=655，
∴MN＝BMtan∠OBC=655×12=355，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．熟练掌握各知识点是解题的关键．
4．（2024•泰安）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（ ）
A．2B．43−2C．23D．4
【分析】E作EM⊥BC，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到AP＝MH，因为AG≥AP，所以求出MH的值即可得解．
【解答】解：如图，过E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AP⊥GM于点P，
∵∠EMF+∠EGF＝180°，
∴点E、M、F、G四点共圆，
∴∠EMG＝∠EFG＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠BEM＝30°＝∠EMG，
∴MG∥AB，
∴四边形MHAP是矩形，
∴MH＝AP，
∵BE＝8，
∴EM＝BE•cs30°＝43，
∴MH=12EM＝23=AP，
∴AG≥AP＝23，
∴AG最小值是23．
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键．
5．（2024•苏州）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（ ）
A．3B．32C．2D．1
【分析】由勾股定理可求AC的长，由“AAS“可证△COF≌△AOE，可得AO＝CO＝1，由AG⊥EF，可得点G在以AO为直径的圆上运动，则AG为直径时，AG有最大值为1，即可求解．
【解答】解：连接AC，交EF于O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B＝90°，
∵AB=3，BC＝1，
∴AC=AB2+BC2=3+1=2，
∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，
∴CF＝AE，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
又∵∠COF＝∠AOE，
∴△COF≌△AOE（AAS），
∴AO＝CO＝1，
∵AG⊥EF，
∴点G在以AO为直径的圆上运动，
∴AG为直径时，AG有最大值为1，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点G的运动轨迹是解题的关键．
6．（2024•包头）如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG．若AB＝4，BC＝6，则sin∠GBF的值为（ ）
A．1010B．31010C．13D．23
【分析】过G作GH⊥BC于H，根据矩形的性质得到AB＝CD＝4，AD∥BC，得到BE＝EF＝CF＝2，求得BF＝CE＝4，推出△ABF和△DCE是等腰直角三角形，得到∠AFE＝∠DEC＝45°，求得△EGF是等腰直角三角形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过G作GH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD∥BC，
∵BC＝6，BE＝EF＝FC，
∴BE＝EF＝CF＝2，
∴BF＝CE＝4，
∴AB＝BF＝CE＝DC＝4，
∴△ABF和△DCE是等腰直角三角形，
∴∠AFE＝∠DEC＝45°，
∴△EGF是等腰直角三角形，
∴GH＝EH=12EF=1，
∴BH＝3，
∴BG=BH2+HG2=10，
∴sin∠GBF=HGBG=110=1010，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
7．（2024•西藏）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（ ）
A．132B．6013C．125D．3013
【分析】连接CP，作CQ⊥AB于点Q，由∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，求得AB=AC2+BC2=13，由S△ABC=12×13CQ=12×12×5，求得CQ=6013，再证明四边形PECD是矩形，则CP＝DE，由CP≥CQ，得DE≥6013，则DE的最小值为6013，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接CP，作CQ⊥AB于点Q，
∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB=AC2+BC2=122+52=13，
∴S△ABC=12×13CQ=12×12×5，
∴CQ=6013，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，
∴∠PDC＝∠PEC＝∠DCE＝90°，
∴四边形PECD是矩形，
∴CP＝DE，
∴CP≥CQ，
∵DE≥6013，
∴DE的最小值为6013，
故选：B．
【点评】此题重点考查矩形的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
8．（2024•山东）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为（ ）
A．12B．10C．8D．6
【分析】先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案．
【解答】解：∵四边形BCMN是正方形，
∴∠NBC＝90°，
∵∠ABN＝120°，
∴∠ABC＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴正n边形的一个外角为180°﹣150°＝30°，
∴n的值为360°30°=12．
故选：A．
【点评】本题考查的是正方形的性质，多边形内角和外角，关键是正方形性质的应用．
9．（2024•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（ ）
A．2B．5C．6D．125
【分析】根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明AE＝AF；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明EM＝FM；设DM＝x，将EM、MC和CE分别表示出来，在Rt△MCE中根据勾股定理列关于x的方程并求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AB=AD∠ABE=∠ADFBE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
∵AM平分∠EAF，
∴∠EAM＝∠FAM，
在△AEM和△AFM中，
AE=AF∠EAM=∠FAMAM=AM，
∴△AEM≌△AFM（SAS），
∴EM＝FM；
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，
设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x，
在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32，
解得x=125．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质和角平分线的定义、勾股定理是解题的关键．
10．（2024•泸州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OM+12FG的最小值是（ ）
A．4B．5C．8D．10
【分析】先证明△ADE≌△BAF（SAS）得到∠ADE＝∠BAE，进而得到∠DOF＝90°，则由直角三角形的性质可得 OM=12DF，如图所示，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH，易证明△FBG≌△FBH（SAS），则FH＝FG，可得当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时，OM+12FG有最小值，最小值即为DH的长的一半，求出AH＝8，在Rt△ADH中，由勾股定理得DH=AD2+AH2=10，则OM+12FG的最小值为5．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，
又∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∴∠DOF＝∠ADO+∠DAO＝∠BAF+∠DAO＝∠DAB＝90°，
∵点M是DF的中点，
∴OM=12DF，
如图所示，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH，
∵∠FBG＝∠FBH＝90°，FB＝FB，BG＝BH，
∴△FBG≌△FBH（SAS），
∴FH＝FG，
∴OM+12FG=12DF+12HF=12(DF+HF)，
∴当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时OM+12FG有最小值，最小值即为DH的长的一半，
∵AG＝2GB，AB＝6，
∴BH＝BG＝2，
∴AH＝8，
在Rt△ADH中，由勾股定理得DH=AD2+AH2=10．
∴OM+12FG的最小值为5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等，通过作辅助线可帮助解题．
二．填空题（共8小题）
11．（2024•南通）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 522 cm．
【分析】根据题意画出图形，再利用45°特殊直角三角形求出菱形的高．
【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，
∵周长为20cm，
∴CD＝5cm，
∵∠BCD＝45°，
∴∠CDE＝45°，
∴高＝CE=22CD=522cm，
故答案为：522．
【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
12．（2024•淄博）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交于点F．若∠ACD＝2∠OEC，OFFE=56，则菱形ABCD的面积为 96 ．
【分析】作OH∥BC交CD于点H，则△DOH∽△DBC，由菱形的性质得OD＝OB，OA＝OC，AC⊥BD，则OHBC=ODBD=12，求得OH=12BC＝5，再证明△OFH∽△EFC，得OHEC=OFFE=56，则EC=65OH＝6，再证明∠OEC＝∠COE，则OC＝EC＝6，求得OB=BC2−OC2=8，则BD＝16，AC＝12，所以S菱形ABCD=12BD•AC＝96，于是得到问题的答案．
【解答】解：作OH∥BC交CD于点H，则△DOH∽△DBC，
∵四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴BC＝10，OD＝OB=12BD，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OHBC=ODBD=12，∠BOC＝90°，
∴OH=12BC＝5，
∵OH∥EC，OFFE=56，
∴△OFH∽△EFC，
∴OHEC=OFFE=56，
∴EC=65OH=65×5＝6，
∵AC＝DC，AC⊥BD，∠ACD＝2∠OEC，
∴∠ACB＝∠ACD＝2∠OEC＝∠COE+∠OEC，
∴∠OEC＝∠COE，
∴OC＝EC＝6，
∴OB=BC2−OC2=102−62=8，
∴BD＝2OB＝16，AC＝2OC＝12，
∴S菱形ABCD=12BD•AC=12×16×12＝96，
故答案为：96．
【点评】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
13．（2024•广西）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 83 cm．
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，易知四边形ABCD为平行四边形，AE＝AF＝3cm，∠ADF＝∠ABE＝60°，可证△ADF≌△ABE（AAS），得到AD＝AB，可证四边形ABCD为菱形．在Rt△ADF中，AD=AFsin60°=23，因此四边形ABCD的周长为：23×4=83cm．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵两张纸条宽度均为3cm，
∴四边形ABCD为平行四边形，且AE＝AF＝3cm，
∴∠ADF＝∠ABE＝60°，
∴△ADF≌△ABE（AAS），
∴AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形，
在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AF＝3cm，
∴AD=AFsin60°=23，
四边形ABCD的周长为：23×4=83cm．
故答案为：83．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形等知识．
14．（2024•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，∠CDG=14∠AOB，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若AO＝6EF，DE=23，则DF的长为 11 ．
【分析】连接CE，设EF＝x，证△DOE∽△CEG，得出成比例线段，求出EF，即可．
【解答】解：在DF上截取DH＝HE，
∴∠FHE＝2∠FDE，
设FE＝x，HD＝y，
∵DE＝23，
∴DF=12−x2，
在Rt△HEF中，y2＝（12−x2−y）2+x2，
∴y＝6112−x2，
∴sin∠FHE=x6112−x2，
∵∠AOB＝4∠FDE，
∴∠COD＝4∠FDE，
∵O是BD的中点，E是DG的中点，
∴OE是△BDG的中位线，
∴F是CD的中点，
∵OC＝OD，
∴∠DOF＝2∠FDE＝∠FHE，
∴x6112−x2=12−x26x，
∴x＝1，
∴DF=11，
故答案为：11．
【点评】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造相似三角形是关键．
15．（2024•巴中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB＝3，BC＝4，则点F到BD的距离为 2120 ．
【分析】过点F作FH⊥DB，垂足为H，利用勾股定理求出AC的长，利用角的余弦值求出DF的长，再利用勾股定理求出FC，从而得出BF，利用三角形面积求出FH即可．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥DB，垂足为H，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝BD，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝BD=AB2+BC2=32+42=5，
∴S△ADC=12AD•DC=12AC•DE，即12×4×3=12×5×DE，
解得：DE=125，
∴cs∠EDC=DEDC=DCDF，即1253=3DF，
解得：DF=154，
∴FC=DF2−DC2=(154)2−32=94，
∴BF＝BC−FC＝4−94=74，
∴S△BDF=12BD•FH=12BF•DC，即12×5×FH=12×74×3，
解得：FH=2120，
故答案为：2120．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．
16．（2024•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的边长为5，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 32 ．
【分析】过点G作GH⊥AC于点H，证明△ABC是等腰直角三角形，△AGH是等腰直角三角形，证明△DGH≌△DEC（AAS），得GH＝DC，DH＝CE，设AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，得2a+b＝5，a2+b2＝（5）2，求出a的值，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AC于点H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，AB=2AC＝52，
∵GH⊥AC，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∴AH＝HG，AG=2AH，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG＝DE，∠GDE＝90°，
∴∠GDH＝90°﹣∠EDC＝90°﹣∠DGH＝∠DEC，
在△DGH和△DEC中，
∠DHG=∠ECD=90°∠GDH=∠DECDG=ED，
∴△DGH≌△DEC（AAS），
∴GH＝DC，DH＝CE，
∴AH＝HG＝DC，
设AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，
∵正方形DEFG的边长为5，
∴DE=5，
∵AC＝AH+DH+DC，DC2+CE2＝DE2，
∴2a+b＝5，a2+b2＝（5）2，
将b＝5﹣2a代入a2+b2＝（5）2整理得：a2﹣4a+4＝0，
解得a1＝a2＝2，
∴AH＝a＝2，
∴AG=2AH＝22，
∴BG＝AB﹣AG＝52−22=32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，代入法解二元二次方程，解一元二次方程，解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．
17．（2024•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O．若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是 （﹣2，﹣1） ．
【分析】围绕正方形性质：点A和点C关于原点对称，得点C的坐标．
【解答】解：过点A，C分别作x轴的垂线AE，CF，如图，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，AE＝CF，
∵点A的坐标是（2，1），
∴OE＝OF＝2，AE＝CF＝1，
∴点C的坐标为：（﹣2，﹣1），
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查正方形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
18．（2024•呼和浩特）如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE．若BF＝2，则DG＝ 1542 ．
【分析】先证明△AEF≌△AED（SAS），再通过角度计算得出∠AEM是等腰直角三角形，求出EF的长度，最后利用勾股定理和射影定理，得出DG的长度．
【解答】解：设∠CBE＝x，则∠ABF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠AFE＝90°+x，∠BAF＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，
∵AF＝AB＝AD，AE＝AE，∠EAF＝∠EAD＝45°﹣x，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴∠ADE＝∠AFE＝90°+x，
∴∠CDE＝x，
∴∠DEB＝90°，
∴∠AED＝∠AEB＝45°，
过点A作AM⊥BE于点M，过点D作DN⊥AE于点N，
∴∠EAM＝45°﹣x+x＝45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∵AM=AB2−BM2=7，
∴EM＝AM＝7，
∴EF＝6，
∴DE＝EF＝6，
∴DN=22DE=32，
∴AN=AD2−DN2=42，
由射影定理得：NG=942，
∴DG=DN2+NG2=1542，
故答案为：1542．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
19．（2024•广安）如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的点，BE＝BF，求证：∠DEF＝∠DFE．
【分析】由菱形的性质推出AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C，而BE＝BF，得到AE＝CF，由SAS推出△DAE≌△DCF，得到DE＝DF，因此∠DEF＝∠DCF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C，
∵BE＝BF，
∴AB﹣BE＝BC﹣BF，
∴AE＝CF，
在△DAE和△DCF 中，
DA=DC∠A=∠CAE=CF，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE．
【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由菱形的性质推出△DAE≌△DCF，得到DE＝DF．
20．（2024•哈尔滨）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE相等的线段（线段CE除外）．
【分析】（1）利用菱形的判定定理解答即可；
（2）利用菱形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一的性质，等腰三角形的判定定理和等腰直角三角形的判定定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△ADO和△CBO中，
∠ADO=∠CBO∠AOD=∠COBOA=OC，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：与线段CE相等的线段有：AE，DE，AG，CF．理由：
由（1）知：四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，
∴△ABC和△ADC为等边三角形，
∵CH⊥AD，
∴AH＝DH，
即CH为AD的垂直平分线，
∴AE＝DE．
同理：CE＝AE，
∴AE＝DE＝EC．
∵△ADC为等边三角形，CH⊥AD，
∴∠ACH=12∠ACD＝30°，
∵∠FEC＝75°，
∴∠EFC＝180°﹣∠ACH＝∠FEC＝75°，
∴∠EFC＝∠FEC，
∴CF＝CE．
∵△ABC和△ADC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠CAD＝60°，
∵CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ECA＝120°，
∴∠AEG＝∠AEC﹣∠FEC＝45°，
∴△AGE为等腰直角三角形，
∴AE＝AG，
∴AG＝EC．
【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，平行线的性质，全是三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等边三角形的判定与性质等腰三角形的三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21．（2024•兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的长．
【分析】（1）根据等腰三角形性质得AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°，由CE∥AD得∠ECD＝∠ADB＝90°，由AE⊥AD得∠EAD＝90°，则∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，由此即可得出结论；
（2）根据等腰三角形性质得BD＝CD=12BC＝2，根据四边形ADCE是矩形，则AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，进而可在Rt△AEC中求出AC=13，然后根据三角形的面积公式可求出EF的长．
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵CE∥AD，
∴∠ECD＝∠ADB＝90°，
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BC＝4，
∴BD＝CD=12BC＝2，
由（1）可知：四边形ADCE是矩形，
∵AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，AE＝2，CE＝3，
由勾股定理得：AC=AE2+CE2=13，
∵EF⊥AC，
由三角形的面积公式得：S△AEC=12AC•EF=12AE•CE，
∴EF=AE⋅CEAC=2×313=61313．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
22．（2024•青岛）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时BCAB的值．
【分析】（1）判定△ABE≌△CDF（AAS），推出AB＝CD，而AB∥CD，即可证明四边形ABCD是平行四边形；
（2）判定△AOB是等边三角形，得到AO＝BO，∠BAO＝60°，由平行四边形的性质推出AC＝2AO，BD＝2OB，得到AC＝BD，即可证明四边形ABCD是矩形，由锐角的正切定义得到tan∠BAC=BCAB=3．
【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：当∠ABE等于30度时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵AB＝BO，BE⊥AO，
∴∠ABO＝2∠ABE＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝BO，∠BAO＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴tan∠BAC＝tan60°=BCAB=3．
【点评】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形当判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是判定△ABE≌△CDF（AAS），推出AB＝CD；判定△AOB是等边三角形，得到AO＝BO，由平行四边形的性质推出AC＝BD，由锐角的正切得到tan∠BAC=BCAB=3．
23．（2024•徐州）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．（1）求证：△EAB≌△ECB；
（2）若∠AEC＝45°，求证：DC＝DE．
【分析】（1）根据正方形的性质证明AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出∠CED和∠DCE，然后进行证明即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
在△EAB和△ECB中，
AB=BC∠ABE=∠CBEBE=BE，
∴△EAB≌△ECB（SAS）；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC=12∠CDA=45°，
∵△EAB≌△ECB，∠AEC＝45°，
∴∠CED=∠AED=12∠AEC=22.5°，
∵∠BDC＝∠CED+∠DCE＝45°，
∴∠DCE＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠CED＝∠DCE，
∴DC＝DE．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出△EAB和△ECB的全等条件．
24．（2024•甘肃）【模型建立】
（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）证明△ABE≌△BCD（AAS），即可得出DE+CD＝AE；
（2）证明Rt△AEM≌Rt△FEN（HL），即可得出AD=2BE+DF；
（3）证明△HAE≌△GEF（AAS），即可得出AD=2BE−DF．
【解答】解：（1）DE+CD＝AE，理由如下：
∵CD⊥BD，AE⊥BD，AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠D＝∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠CBD＝∠C+∠CBD＝90°，
∴∠ABE＝∠C，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△BCD（AAS），
∴BE＝CD，AE＝BD，
∴DE＝BD﹣BE＝AE﹣CD，
∴DE+CD＝AE；
（2）AD=2BE+DF，理由如下：
过E点作EM⊥AD于点M，过E点作EN⊥CD于点N，如图，
∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，BD平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴2AD=2CD=BD，
∴DE=BD−BE=2AD−BE，
∵EN⊥CD，EM⊥AD，
∴EM＝EN，
∵AE＝EF，
∴Rt△AEM≌Rt△FEN（HL），
∴AM＝NF，
∵EM＝EN，EN⊥CD，EM⊥AD，∠ADC＝90°，
∴四边形EMDN是正方形，
∴ED是正方形EMDN对角线，MD＝ND，
∴MD=DN=22DE，NF＝ND﹣DF＝MD﹣DF，
∴NF=AM=AD−MD=AD−22DE，NF=22DE−DF，
∴AD−22DE=22DE−DF，
∴AD=2DE−DF，
∵DE=2AD−BE，
∴AD=2(2AD−BE)−DF，
∴AD=2BE+DF；
（3）AD=2BE−DF，理由如下：
过A点作AH⊥BD于点H，过F点作FG⊥BD，交BD的延长线于点G，如图，
∵AH⊥BD，FG⊥BD，AE⊥EF，
∴∠AHE＝∠G＝∠AEF＝90°，
∴∠AEH+∠HAE＝∠AEH+∠FEG＝90°，
∴∠HAE＝∠FEG，
∵AE＝AF，
∴△HAE≌△GEF（AAS），
∴HE＝FG，
∵在正方形ABCD中，∠BDC＝45°，
∴∠FDG＝∠BDC＝45°，
∴∠DFG＝45°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴FG=22DF，
∴HE=FG=22DF，
∵∠ADB＝45°，AH⊥HD，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴HD=22AD，
∴DE=HD−HE=22AD−22DF，
∴BD−BE=DE=22AD−22DF，
∵BD=2AD，
∴2AD−BE=22AD−22DF，
∴AD=2BE−DF．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
C
D
A
B
A
D
B