陕西省咸阳市永寿县中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份陕西省咸阳市永寿县中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含解析），共9页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知z为复数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足（i是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四条首尾相连的线段确定一个平面
C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D．空间两两相交的三条直线在同一平面内
3．已知向量,它们的夹角为，则（ ）
A．10 B． C． D．13
4．已知球的半径为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，角A,B,C的对边分别为，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在等腰梯形中，,点E为线段的中点，点F是线段上的一点，且,则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，A城气象台测得台风中心从A城正西方向600千米的B处以每小时千米的速度向北偏东的方向移动，距台风中心千米的范围内为受台风影响的区域，若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时长为（ ）
A．10小时 B．20小时 C．小时 D．小时
8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图池盆几何体是一个刍童，其中上，下底面均为正方形，且边长分别为8和4，侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为，则该盆中最多能装的水的体积为（ ）
A． B． C． D．448
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知z为复数，下列说法正确的是（ ）
A．若,则 B．若,则
C．若，则 D．
10．已知m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若,则 B．若,则
C．若,则 D．若,则
11．在中，角A,B,C的对边分别为,角A的角平分线交于点D,，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图，四边形是梯形的直观图，四边形是等腰梯形，且，则梯形的周长为___________．
13．在中，，则___________．
14．如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为,四棱锥的体积为,则___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知,复数（i是虚数单位）．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围；
16．（本小题满分15分）
已知向量．
（1）若,求的值；
（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围．
17．（本小题满分15分）
如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，E,F分别为棱的中点，G是棱上的一点，是棱上的一点，．
（1）求证：平面平面;
（2）求证：平面平面．
18．（本小题满分17分）
在中，角A,B，C的对边分别为a，b,c,且的面积为．
（1）求角A的大小；
（2）若是的一条中线，求线段的长．
19．（本小题满分17分）
在四棱锥中，是等边三角形，四边形是矩形，，是棱的中点．
（1）求证：;
（2）求二面角的正切值．
永寿县中学2023~2024学年度第二学期期中考试·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1．A 设,所以,所以，所以．故选A．
2．C 如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；
如空间四边形，四条首尾相连的线段不在一个平面，故B错误；
两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，故这三条直线在同一平面内，故C正确；
空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误．故选C．
3．C 因为向量,它们的夹角为，所以，所以．故选C．
4．C ．故选C．
5．B 设外接圆的半径为,解得外接圆的面积为．故选B．
6．B ．故选B．
7．B 台风中心从B处开始移动t小时，移动的距离为千米，
则台风中心移动t小时时商A城的距离为，
若A城受到这次台风的影响，则，
得，解得，
所以A城遭受这次影响的时长为小时．故选B．
8．B 根据题意可知，这个刍童为棱台．因为上、下底面为正方形，边长分别为8和4，侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为，所以该棱台的高为4，所以该棱台的体积．故选B．
9．AD 设,由为实数，得,所以,故A正确；若,则,故B错误；复数不能比较大小，故C错误；设,则,故D正确．故选AD．
10．BD 若,则或,故A错误；,则或m,n异面，故C错误．故选BD．
11．AD 由余弦定理得,即,所以，又，所以，,解得．
在中，,故A正确；
在中，，解得,故B错误；
,解得，故C错误；
，故D正确．故选AD．
12． 因为四边形是等腰梯形，且，所以，所以,且,所以,梯形的周长为．
13． 由正弦定理得，得，又，所以，所以．
14． 由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为，设三棱台的高为h,则点到平面的距离也为h,上底面面积为S,则下底面面积为,所以，所以．
15．解：（1）因为z是纯虚数，所以 4分
解得; 6分
（2）在复平面内z对应的点为,由题意可得 10分
解得,即m的取值范围是． 13分
16．解：（1）因为,所以,
， 4分
又,所以，即， 6分
解得． 7分
（2）因为，所以． 8分
又向量与的夹角为锐角，所以 12分
解得且，即的取值范围是． 15分
17．证明：（1）分别取的中点M,N,连接,如图所示．
因为M是的中点，E是的中点，易得四边形是平行四边形，所以．因为G是棱上的一点，是棱上的一点，,所以,所以四边形是平行四边形，所以,所以,又平面平面,所以平面． 3分
因为N是的中点，E是的中点，易得四边形是平行四边形，所以．又G是棱上的一点，,所以G是的中点，又F是的中点，所以,所以,又平面平面,所以平面, 6分
又平面,所以平面平面; 8分
（2）连接,因为底面是菱形，，所以是等边三角形，
又E是的中点，所以, 10分
因为直四棱柱,所以平面,又平面,所以, 12分
又平面,所以平面, 14分
又平面,所以平面平面． 15分
18．解：（1）因为,又， 4分
所以, 6分
所以,又,所以； 8分
（2）因为D为的中点，所以, 10分
所以， 15分
所以． 17分
19．（1）证明：取的中点F,连接,如图所示．
因为是等边三角形，F是的中点，所以． 2分
因为F是的中点，E是棱的中点，所以．
又四边形是矩形，所以,所以,又,所以, 4分
又平面,所以平面, 6分
又平面,所以, 7分
又平面,所以平面, 8分
又平面,所以; 9分
（2）解：因为平面平面,所以,
又平面,所以平面．
又平面,所以． 12分
过F作的垂线，垂足为G,连接,如图所示．
因为平面,所以平面,
又平面,所以,所以二面角的大小为． 15分
在中，易得．在中，易得,所以． 17分