陕西省咸阳市永寿县中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份陕西省咸阳市永寿县中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了 函数在区间上的最大值是， 对任意实数，有，则的值为， 若，则的值可以是等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷共4页分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）
1. 计算的值是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等比数列的公比为正数，且，，则（ ）
A. 4B. 2C. 1D.
3. 已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
4. 4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为( )
A. B. C. D.
5. 函数在区间上的最大值是（ ）
A. B. C. D.
6. 一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )
A. 40B. 74C. 84D. 200
7. 对任意实数，有，则的值为（ ）
A. B. C. 22D. 30
8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 若，则的值可以是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
10. 高二年级安排甲､乙､丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A. 如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有88种
B. 如果同学乙必须选择社区，则不同安排方法有36种
C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种
D. 如果甲､丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种
11. 一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 计算______.
13. 的展开式中的常数项是__________．
14. 由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知为等差数列，为等比数列，的前项和为，且，
，
（1）求数列，通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求.
16. 在二项式的展开式中，
（1）求展开式中含项系数：
（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值.
17. 若，求：
（1）展开式中各项的二项式系数之和；
（2）求的值；
（3）的值．
18. 某校组织冬令营活动，有8名同学参加，其中有3名男同学，5名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学.
（1）求X的分布列和期望.
（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率.
19. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）若，讨论函数的单调性；
（3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.
陕西省咸阳市永寿县中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
注意事项：
1.本试卷共4页分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）
1. 计算的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用组合数、排列数公式求值即可.
【详解】.
故选：B
2. 已知等比数列的公比为正数，且，，则（ ）
A. 4B. 2C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列的公比为（），则由已知条件列方程组可求出
【详解】设等比数列的公比为（），
由题意得，且，即，
，
因为，所以，，
故选：D
3. 已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定正确答案.
【详解】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项.
当时，从左向右，是递增、递减、递增，
对应导数的符号为，由此排除C选项，
所以A选项正确.
故选：A
4. 4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题由题，先求得第一次取得合格的第二次也取得合格的，再利用条件概率 求得答案即可.
【详解】记事件A＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，
事件B＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．
由题意可得事件B发生所包含的基本事件数n(A∩B)＝3×2＝6，事件A发生所包含的基本事件数n(A)＝3×3＝9，
所以P(B|A)＝.
故选B
【点睛】本题考查了条件概率，熟悉条件概率的定义和性质是解题的关键，属于较为基础题.
5. 函数在区间上的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值
【详解】由，得，由，得或（舍去），
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值，
故选：C
6. 一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )
A. 40B. 74C. 84D. 200
【答案】B
【解析】
【分析】从试卷上的9个题目中选6个进行作答，要求至少包含前5个题目中的3个，包含三种情况：前5个题目中恰好包含3个，恰好包含4个，恰好包含5个，分别求解，再利用分类计数原理，即可求解．
【详解】由题意，考生从试卷上的9个题目中选6个进行作答，要求至少包含前5个题目中的3个，包含三种情况：
前5个题目中恰好包含3个，共有种；
前5个题目中恰好包含4个，共有种；
前5个题目中恰好包含5个，共有种，
由分类计数原理，可得共有种不同的选法，
故选B．
【点睛】本题主要考查了分类计数原理与组合的应用其中解答中认真审题，合理分类，利用排列、组合的知识求解每种情况的结果是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
7. 对任意实数，有，则的值为（ ）
A. B. C. 22D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.
【详解】因为，所以，
故选：B．
8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，转化为，设，利用导数求得函数单调性和最值，把函数的零点，转化为与的图象有两个交点，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，
令，即，即，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，，当时，，
当时，可得，作出简图，如图所示，
要使得函数有两个零点，
只需与的图象有两个交点，所以，
即实数的取值范围是.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 若，则的值可以是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】BC
【解析】
【分析】利用组合数的计算即可求解
【详解】因为，所以或，解得或.
故选：BC.
10. 高二年级安排甲､乙､丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A. 如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有88种
B. 如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有36种
C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种
D. 如果甲､丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种
【答案】BD
【解析】
【分析】根据间接法即可判断A,根据分步乘法计数原理即可判断BCD.
【详解】安排甲､乙､丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，
对于A：如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有（种）．故A错误；
对于B：如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有（种）．故B正确；
对于C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种）．故C错误；
对于D：如果甲､丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有（种）．故D正确．
故选:．
11. 一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由独立事件与条件概率的概率公式计算判断即可.
【详解】由题意，，
因为在“第一次取得黑球”的前提条件下，盒子中还有2个黑球，4个白球，共6个球，
所以,,
因为在“第一次取得白球”的前提条件下，盒子中还有3个黑球，3个白球，共6个球，
所以,
第一次取得黑球，第二次取得黑球的概率为：，
第一次取得黑球，第二次取得白球的概率为：，故A错误；
第一次取得白球，第二次取得黑球的概率为：，
第一次取得白球，第二次取得白球的概率为：，
第二次取得黑球的概率为，
第二次取得白球的概率为，
所以，故B正确；
，，
故，故C正确；
，，故D错误；
故选：BC.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 计算______.
【答案】35
【解析】
【分析】根据组合数的性质计算可得；
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.
13. 的展开式中的常数项是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式即可求得.
【详解】的展开式的通项为，
所以要求的展开式中的常数项，
只需
故答案为：-8.
14. 由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个．
【答案】90
【解析】
【分析】由题可知，偶数排列顺序固定且0只能6，5，4位，奇数可任意排列，据此可得答案.
【详解】因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则
当0排在第6位时，共有（个）数；
当0排在第5位时，共有（个）数；
当0排在第4位时，共有（个）数，
故这样的七位数共有（个）．
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知为等差数列，为等比数列，的前项和为，且，
，
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题目条件列出关于和的方程组求解出和，从而得出数列，的通项公式；
（2）将（1）中所解得的，的通项公式代入中，然后利用错位相减法求其前项和.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
所以.
，解得或(舍去)
则，.
（2）因为
所以①
①得，②
① -②得，
故.
【点睛】当已知所给数列为等差数列或等比数列时，只需要格据条件列出关于首项和公差或首项和公比的方程组然后求解；当已知数列其中和分别为等差数列和等比数列，则可采用错位相减法求前项和.
16. 在二项式的展开式中，
（1）求展开式中含项的系数：
（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值.
【答案】（1）264（2）或.
【解析】
【分析】
（1）写出二项展开式的通项公式，当的指数是时，可得到关于方程，解方程可得的值，从而可得展开式中含项的系数；
（2）根据上一问写出的通项公式，利用第项和第项的二项式系数相等，可得到一个关于的方程，解方程即可得结果.
【详解】(1)设第项为，
令解得，
故展开式中含项的系数为.
(2)∵第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，
∵ ，故或，
解得或.
17 若，求：
（1）展开式中各项的二项式系数之和；
（2）求的值；
（3）的值．
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）二项式系数之和为，利用公式计算即可；
（2）令即可；
（3）分别令与再求解即可.
【小问1详解】
展开式中各项的二项式系数之和为.
【小问2详解】
令，则，
故
【小问3详解】
令有，
令有，
即，
两式相加除以，有.
18. 某校组织冬令营活动，有8名同学参加，其中有3名男同学，5名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学.
（1）求X的分布列和期望.
（2）求去执行任务同学中有男有女的概率.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先确定随机变量，再求对应概率，即得结果，再求期望；
（2）根据分布列求对应事件概率的和，即得结果.
【小问1详解】
可取，
，
，
；
【小问2详解】
设“去执行任务的同学中有男有女”为事件，
则.
19 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）若，讨论函数的单调性；
（3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得的值；
（2）求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间；
（3）分析可知不等式在上有解，利用导数求出函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围.
【详解】（1）的定义域为，.
由题意得，，
即，解得，因此，；
（2）.
当时，且不恒为，所以，在上单调递增；
当时，由，得或，由，得，
此时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或，由，得，
此时，在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
（3）若至少存在一个，使得成立，则当时，有解.
当时，，即有解，
令，，则.
，
所以，在上单调递减，所以，，
所以，，即，因此，实数的取值范围是.
0
1
2
3