陕西省咸阳市永寿县中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份陕西省咸阳市永寿县中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
2．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A．8B．3C．4D．-4
3．已知函数在处可导，若，则＝（ ）
A．1B．C．2D．8
4．下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．函数在点处的切线斜率为2，则a=（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．已知函数（是自然对数的底数），则等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的函数的导数为，且，若对任意恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
10．已知数列的前项和为，，且，则（ ）
A．
B．是等比数列
C．是等差数列
D．存在，，且，使得，，成等差数列
11．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值B．函数有且只有个零点
C．在上单调递减D．设，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．在等差数列中，若，，则数列的通项公式为 ．
13．函数，则在上的最大值为 .
14．若函数的导函数为，且满足，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．记是等差数列的前项和，若，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的的最小值；
16．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
(1)求的值；
(2)求函数的极值.
17．已知函数．
（1）若，求函数的极值，
（2）若，求函数在上的最大值和最小值．
18．已知：函数.
（1）若，求的单调性；
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.
19．1.已知函数.
（1）若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若函数的单调递减区间是，求实数a的值；
（3）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选C．
2．【答案】C
【详解】因为切线方程为，
可知当时，，且切线斜率为3，
即，，所以.
故选C.
3．【答案】B
【详解】.
故选B
4．【答案】B
【详解】A：是常数，所以，不正确；
B：，正确；
C：，不正确；
D：，不正确.
故选B
5．【答案】D
【详解】因为，切点为(0,)，
所以切线的斜率为，则切线方程为，即，
又切线方程为，即，
所以，.
故选D
6．【答案】B
【详解】，，
故选B.
7．【答案】C
【详解】因为，则，
所以，，所以，，故，
因此，.
故选C.
8．【答案】C
【详解】解：令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0，x∈（0，+∞）．
∵xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立．
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
由lnx，可得，即
又
∴g（x）＞0=g（e），
∴x＞e．
即不等式lnx的解集为{x|x＞e}．
故选C．
9．【答案】BC
【详解】由图知：上，上，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在、上不单调，在、上分别单调递减、单调递增.
故选BC
10．【答案】BC
【详解】已知，，则，，
则，，故A错误；
由可得，又，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，故B正确；
，
所以是等差数列，故C正确；
假设存在，，且，使得，，成等差数列，
则，又，
所以，
，两边同时除以得，
因为，，故左边是的倍数，右边不是的倍数，等式不成立，故D错误.
故选BC.
11．【答案】BD
【详解】函数的定义域为，可知C错误，
对A，，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，故A错误；
对B，，其定义域为，
，
所以函数在上单调递减，又时其函数值为，
所以函数有且只有1个零点，故B正确；
对D，，其定义域为，
，令，得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，也是最小值，
所以，故D正确.
故选BD
12．【答案】
【详解】设的公差为，由，得，
所以，
所以，即．
13．【答案】16
【详解】由题意，得，，
时，，递减，时，，递增，
所以，又16，，
所以最大值为16．
14．【答案】
【详解】由题意得，
则，令，得，
解得.
15．【答案】（1）
（2）4
【详解】（1）设等差数列的公差为，由可得.
由.
所以.
（2）因为.
由.
所以或（舍去）.
所以的最小值为：4
16．【答案】(1)
(2)极大值为，极小值为
【分析】
（1）求导得，由此即可求解；
（2）求导得，根据导数与极值的关系列表即可得解.
【详解】（1），
∵在点处的切线平行于直线，
∴，∴；
（2）由（1）可得，
令得或，列表如下：
∴极大值为，极小值为.
17．【答案】（1）极小值为，无极大值.
（2）最大值，最小值.
【详解】（1）当时，，（），
所以，（）.
由；由.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，函数取得极小值，且；
函数无极大值.
（2）当时，（），
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增.
所以在上，函数的最小值为，最大值为：.
18．【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【详解】（1），，
，，.
将代入得，令得或.
在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法1：在上是增函数，
在上恒成立，
，
当时，是增函数，其最小值为，
.实数的取值范围是.
方法2：在上是增函数，
在上恒成立，
，.
实数的取值范围是.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）易知.
因为在R上单调递增，所以恒成立，即恒成立，
故.
经检验，当时，符合题意，故实数a的取值范围是.
（2）由（1），得.
因为的单调递减区间是，所以不等式的解集为，
所以-1和1是方程的两个实根，所以.
（3）由（1），得.
因为函数在区间上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
又函数在上的值域为，所以.
故实数a的取值范围是.
3
+
0
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
3
0
0