福建省莆田市莆田第一中学2024-2025学年高一下学期单元考试（3月月考） 数学试卷（含解析）

这是一份福建省莆田市莆田第一中学2024-2025学年高一下学期单元考试（3月月考） 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了六章，单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知向量，为单位向量，若，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将两边平方，根据数量积的定义及运算律可求得答案.
【详解】由､均为单位向量，，
得：，即，
则，所以，
又，所以.
故选：C.
2. 在中，角所对边分别为，且，（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理求得，结合边的大小关系即可得解.
【详解】由正弦定理有，即，解得，
注意到，由大边对大角有，所以.
故选：A.
3. 在△中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由，则或和，则，则，可得出答案.
【详解】若，则或，即或，
所以在△中，“”是“”的不充分条件
若，则，则，
所以在△中，“”是“”的必要条件.
故选：B.
【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.
4 已知 ∈（0，），2sin2α=cs2α+1，则sinα=
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】，．
，又，，又，，故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
5. 已知平面向量，，，在上的投影向量为，，则取最小值时的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用投影向量的定义求出，再利用向量数量积的运算律求解.
【详解】因为在上的投影向量为，所以，则，
所以，
当且仅当即时，取最小值.
故选：A.
6. 若以函数图象上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由条件得到四个顶点的坐标，然后列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】令，，则，，
不妨取相邻四个最值所在的点
分别为，，，，
如图所示，

因为以为顶点的四边形恰好构成一个菱形，
所以，所以，
所以，即.
故选：C.
7. 中，，为边上一点且，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理确定外接圆的半径，进而确定轨迹方程，即可求解.
【详解】
以为坐标原点，所在直线为轴，建系，
由题意：，，
所以外接圆的半径为，
的垂直平分线为：，
所以可设外接圆的圆心为：，
所以，解得：，
所以点的轨迹为：，除去两点，
的最大值为为到点的轨迹圆心的距离加上半径2，
即，
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
8. 已知向量，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最大值为6
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【详解】利用向量平行的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B选项；根据向量减法的三角形法则，结合反向检验等号成立的条件，从而判断C；利用向量数量积运算法则得到，进而求得，从而判断D.
【分析】对于A，因为，，
则，解得，故A正确；
对于B，因为，则，解得，
所以，解得，故B错误；
对于C，因为，
而，当且仅当反向时，等号成立，
此时，解得或，
当，同向，舍去；
当，满足反向；故C正确；
对于D，若，则，
即，所以，
则
，故D正确.
故选：ACD
9. 已知为函数图象的一条对称轴，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递减D. 函数为偶函数
【答案】AC
【解析】
【分析】利用给定条件结合的范围求出解析式后，结合最小正周期的求法判断A，利用代入法判断B，利用换元法结合余弦函数性质判断C，利用函数奇偶性的定义判断D即可.
【详解】对于A，因为为函数图象的一条对称轴，
所以，故，
因为，所以令，得到，解得，
得到，而周期，
则的最小正周期为，故A正确，
对于B，而，
即的图象不可能关于点对称，故B错误，
对于C，因为，所以，
故，而令，
则原函数化为，，
由余弦函数性质得在上单调递减，
得到在区间上单调递减，故C正确，
对于D，因为，所以，
令，即，
而，得到，
则函数不为偶函数，故D错误.
故选：AC.
10. 已知的内接四边形中，，下列说法正确的是（ ）
A. B. 四边形的面积为
C. 该外接圆的直径为D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】连接，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出判断A；求出，利用三角形面积公式及正弦定理计算判断BC；取中点，利用数量积的运算律，结合圆的性质求出推理计算判断D.
【详解】在的内接四边形中，连接，，，
对于A，由余弦定理得，，
即，解得，而，则，A正确；
对于B，，四边形的面积，B正确；
对于C，由选项A知，，
由正弦定理得的半径，C错误；
对于D，取中点，连接，则，，
同理，所以，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分.
11. 已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为_____．
【答案】（1，5）
【解析】
【分析】设出点D，利用向量的坐标的求法求出两个向量的坐标，再利用向量相等的坐标关系列出方程组，求出点的坐标．
【详解】设D（x，y）则
在平行四边形ABCD中
∵
又∵
∴解得
故答案为：（1，5）
【点睛】本题考查向量的坐标的求法；相等向量的坐标相同．
12. 已知锐角△ABC中，内角所对应的边分别为，且满足：，则角A的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理及正弦定理化简得到，得到，或，再结合锐角三角形讨论即可.
【详解】由，
可得：，
由正弦定理可得：，
再由余弦定理：，
再结合正弦定理可得：，
所以，
即，
即，
因为是锐角三角形，,
所以，或，
当时，又
所以，即，
所以，此时为直角，舍去，
当时，
可得：，即，
同时：，即，
综上角A的取值范围是，
故答案为：
13. 已知O为边长为的等边三角形的重心，动点P满足：，，，，则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积为______，的最大值为__________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】利用向量的加法法则可作出图形，得到点的轨迹所覆盖的平面区域，再利用极化恒等式将的最大值转化为的最大值.
【详解】若，且，，
则根据向量的加法法则可知，点的轨迹所覆盖的平面区域为平行四边形，
由以上基础知识可知，题中点的轨迹所覆盖的平面区域为正六边形，
因等边三角形的边长为，O为重心，则，
其面积为，
为线段的中点，则
，
当点运动至点时，最大，最大值为，
故的最大值为.
故答案为：；
四、解答题：本题共4小题，共57分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14. 已知，且
（1）求值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合诱导公式可得，根据同角三角函数关系可得，再由两角差的正切公式，即可得出结果；
（2）根据题中条件，得到，根据平方关系可得，再由，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.
【小问1详解】
因为，所以，
又因为，所以，
因此，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
又，所以，
所以，
所以，
即.
15. 在中，已知，，，AC边上的中线为BN，M为BC边上靠近B的四等分点，连接AM交BN于点P．
（1）用与表示，并计算AM长；
（2）求∠NPM的余弦值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：根据平面向量线性运算与表示，并利用数量积运算求的模；方法二：以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算求的模；
（2）方法一：根据平面向量线性运算与表示，再利用平面向量夹角公式求解；方法二：利用平面向量坐标运算夹角.
【小问1详解】
方法一：M为BC边上靠近B的四等分点，
∴．
∵，∴，
；
∵，，，∴，
∴，∴．
方法二：以点A为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，可得，，，
∵AC边上的中线为BN，∴，
∵M为BC边上靠近B的四等分点，可得．
设，代入坐标可解得，
且有．
【小问2详解】
方法一：∠NPM为向量与的夹角，所以，
∵AC边上的中线为BN，∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
方法二：∠NPM为向量与的夹角，所以，
，，
，，
16. 如图，在平面四边形ABCD中，.
（1）当时，求的面积.
（2）当时，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）应用余弦定理得出，再根据互余关系求出，最后应用面积公式计算即可；
（2）在，中，分别应用正弦定理再化简求解即可.
【小问1详解】
在中，，
由余弦定理得，所以，
因为，所以，
所以.
【小问2详解】
在中，由正弦定理得，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
所以，所以.
17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化简和两角和的正弦公式已知式即可得出答案；
（2）由数量积的定义可得，由正弦定理化简和两角和的正弦公式可得，由三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.
【小问1详解】
由可得：，
由正弦定理可得：，
所以，
因为，所以，
所以.
【小问2详解】
由可得：，
所以，由正弦定理可得：，
所以，
由正弦定理可得：，又因为，
所以，
所以面积为：，
当即时取等.
所以面积的最大值为.