福建省莆田市莆田第三中学2024-2025学年高一下学期3月份月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份福建省莆田市莆田第三中学2024-2025学年高一下学期3月份月考数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 化简：（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则（ ）
A. B. C. 4D.
3. 已知，则（ ）
A. 1B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，其始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则＝（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，，，若，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
6. 在中，若，则的形状为（ ）
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形
7. 设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A. 2B. C. D.
8. 已知在所在平面内，，E、F分别为线段、的中点，直线与相交于点G，若，则（ ）
A. 当时，取得最小值
B. 当时，的最小值为
C. 当时，的最小值为
D. 当时，取得最小值
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，正确的命题有（ ）
A. 向量与向量的长度相等
B. 是，共线充要条件
C. 若，，，则与的方向相同或者相反
D. 若，两个单位向量，且，则
10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图所示，线段是弦，其中，，点D为上任意一点，则以下结论正确的是（ ）

A.
B. 最大值是78
C. 当时，
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 已知向量，，若，则________．
13. 在中，，，，则的值为______
14. 已知正方形的边长为2，E是的中点，F是线段上的点，则的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在直角坐标系中，已知点，，，其中．
（1）若，求的值；
（2）设点，求的取值范围．
16. 已知平面向量，，，．
（1）若，求x的值；
（2）若，求的值．
（3）若与的夹角是锐角，求x的取值范围．
17. 的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，．
（1）求a和；
（2）求的值．
18. 已知函数
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，，求的值．
19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为．
（1）已知，，求；
（2）①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是；
②在中，，，且，若，求．
莆田三中2024-2025学年下学期高一数学3月份月考试卷（教师版）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 化简：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用向量加减法则化简即可得答案.
【详解】.
故选：C
2. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦定理即可得出答案.
【详解】由余弦定理可得，则.
故选：B.
3. 已知，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用二倍角余弦公式计算即可.
【详解】因为，则.
故选：B.
4. 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，其始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值.
【详解】由定义知sinα=，，
所以，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，正弦二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于基础题目..
5. 已知向量，，，若，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的充要条件得解即可.
【详解】因为，，
所以，
因，
所以，解得，
故选：B
6. 在中，若，则的形状为（ ）
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据正弦定理，将边化为角，再结合二倍角的正弦公式，以及角的关系，即可判断.
【详解】因为，由正弦定理可得，即，
所以，可得或，
所以或，所以的形状为等腰或直角三角形.
故选：D．
7. 设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量的定义结合已知求得，再由与垂直，得，结合数量积得运算律即可得解.
【详解】解：因为在方向上的投影向量为，
所以，
所以，
因为与垂直，
所以，
即，解得.
故选：B.
8. 已知在所在平面内，，E、F分别为线段、的中点，直线与相交于点G，若，则（ ）
A. 当时，取得最小值
B. 当时，的最小值为
C. 当时，的最小值为
D. 当时，取得最小值
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据已知条件得出向量之间的线性关系，再利用向量共线定理确定相关系数，接着根据向量垂直的性质得到关于向量模长和夹角余弦值的等式，最后运用基本不等式求出夹角余弦值的最小值.
【详解】
设，，与的夹角为，
因为，所以，
由于E、F分别为线段，中点，则，，
因为E，G，F共线，所以存在实数，使得，
又因为B，G，C共线，所以，解得，则，
那么，，
由于，所以
，
由此可得，而，
当且仅当，即（，）时，等号成立，
此时，取得最小值．
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，正确的命题有（ ）
A. 向量与向量的长度相等
B. 是，共线的充要条件
C. 若，，，则与的方向相同或者相反
D. 若，是两个单位向量，且，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平面向量的定义及其性质对各选项判断即可.
【详解】对于A，向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，
因为向量长度只与向量的大小有关，与方向无关，所以选项A正确；
对于B，若，同向共线时，，，则，不相等，
所以不是，共线的充要条件，故B不正确；
对于C，，，，则与共线，故与的方向相同或者相反，C正确；
对于D，若，是两个单位向量，且，
则，
则，故D错误．
故选：AC.
10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过已知条件，利用余弦定理求出角，再根据三角形面积公式求出的值，最后结合已知条件和完全平方公式求出的值.
【详解】在中，因为，即，
由余弦定理，
又，所以，，故B错误，A正确；
因为，则，所以，故C正确；
因为，，，则，
所以，因为，所以，故D正确．
故选：ACD．
11. 如图所示，线段是的弦，其中，，点D为上任意一点，则以下结论正确的是（ ）

A.
B. 的最大值是78
C. 当时，
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据图形特征判断A，再应用数量积公式计算判断B，D，再根据向量垂直得出角的正弦值判断C.
【详解】点D为上一动点，可知当点A，C，D三点共线的时候，的值最大是，故选A；
，故选D；
当时，即，此时，点D在上有两个位置，如图所示，故不止一个答案，所以，排除C选项．

对于B选项，如图1所示，建立平面直角坐标系，则点D坐标设为，A点坐标是，B点坐标是，

则，，，
所以，当，即时，取得最大值72，因此B不正确；
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量坐标运算求出的坐标，再利用向量垂直的性质列出方程，最后求解方程得到的值.
【详解】因为，，所以，
因为，所以，解得．
故答案为：
13. 在中，，，，则的值为______
【答案】
【解析】
【分析】
由可求出,再根据余弦定理求出,即可由正弦定理求出.
【详解】由可得，，解得．
∴，即．
由正弦定理可得，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用，以及正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
14. 已知正方形的边长为2，E是的中点，F是线段上的点，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先建系得出坐标，再应用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数值域计算求解.
【详解】
如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则，，，∴．
设，则，∴，
∴，

∴当时，有最大值，最大值为
故答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在直角坐标系中，已知点，，，其中．
（1）若，求的值；
（2）设点，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用共线向量的坐标表示，列式计算得解．
（2）利用数量积的坐标表示，结合辅助角公式及余弦函数性质求出最大值．
【小问1详解】
依题意， ，，
由，得，所以．
【小问2详解】
依题意，，点，
则，，
因此，
当时，则，
因此当，即时，取得最大值，
此时
当，即时，取得最小值，
此时
所以的取值范围是．
16. 已知平面向量，，，．
（1）若，求x的值；
（2）若，求的值．
（3）若与的夹角是锐角，求x的取值范围．
【答案】（1）或3；
（2）或5；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据两向量垂直数量积为列方程求解.
（2）根据两平行向量坐标之间的关系列方程求解出x，代入得到的坐标，再代入向量模的公式进行求解.
（3）与的夹角是锐角，则且两向量不共线.
【小问1详解】
若，则，
整理得，解得或．
所以的值为或3．
【小问2详解】
（2）若，则有，即，解得或，
当时，，，则，得；
当时，，，则，得．
所以，的值为或5．
【小问3详解】
（3）因与的夹角是锐角，则，即，得，
又当与共线时，有，得，不合题意，则
综上，的取值范围为．
17. 的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，．
（1）求a和；
（2）求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先应用余弦定理计算得出，再结合同角三角函数关系应用正弦定理求解；
（2）先根据二倍角正弦及余弦公式计算求值，最后应用两角和余弦公式计算即可.
【小问1详解】
由余弦定理可得，由，则，
由，即，代入上式整理可得，解得
由，根据正弦定理，可得．
【小问2详解】
；
18. 已知函数
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型周期函数可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求出函数的单调递增区间；
（2）由已知条件得出，结合同角三角函数的基本关系可求出的值，再利用两角和的余弦公式可求出的值.
【小问1详解】
因为，
所以，函数的最小正周期为.
由解得，
所以，函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
由（1）知，
又因为，则，
因为，则，
因为，则．
所以，
.
19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为．
（1）已知，，求；
（2）①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是；
②在中，，，且，若，求．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据“相离度”的定义代入相应值进行计算.
（2）首先证明①，可得da,b=sin，根据，等价于即可证明；
②由左右同时平方可求得，由题知为的重心，然后以、为基底表示出、，进而求出，再代即可得解.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
①因为
，
且，∈0,π，则d2a,b=1-cs2=sin2，
所以da,b=sin．
若，等价于，即，
所以的充分必要条件是；
②因，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的重心，则，
可得，，
则，
，
，
可得，
所以．