福建省福州市某校2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份福建省福州市某校2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解即可.
【详解】若，则，解得.
故选：B.
2. 向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算求解即可.
【详解】因为，，，
所以，即.
故选：.
3. 在中，角，，所对的边为，，，，，，那么的大小是（ ）
A. B. 4C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】运用余弦定理进行求解即可.
【详解】因为，，，
所以有，或舍去，
故选：D
4. 在中，“”是“为等腰三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合小范围可以推出大范围，而大范围推不出小范围，即可求解.
【详解】为等腰三角形，即充分性成立
为等腰三角形或或，
不一定得到，即必要性不成立，
“”是“为等腰三角形”的充分不必要条件，
故选：A
5. 已知向量，，且．则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D. ．
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算及向量的坐标运算可得数量积的值，再根据投影向量的运算公式求解即可得答案.
【详解】因为，，则，
所以，则，
所以在方向上的投影向量为
.
故选：A.
6. 在△ABC中，若，，△ABC的面积，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用求出，再利用余弦定理求，进而可得.
【详解】由已知，
可得，
，
，
.
故选：D.
7. 在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的基本定理，用表示，设，，再用含参的方式用表示，得到关于参数的方程组求得，最后应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意取值条件.
【详解】由题意，
设，，
则，
所以，，得，
所以（当且仅当时等号成立）.
故选：D
8. 圆为锐角的外接圆，，点在圆上，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把转化为，由余弦定理、数量积的定义得，讨论的位置得，结合锐角三角形恒成立，即可得范围.
【详解】由为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，
又，而，若外接圆半径为r，
则，故，且，即，
由，
对于且在圆上，当为直径时，当重合时，
所以，
综上，，
锐角三角形中，则，即恒成立，
所以，则恒成立，
综上，.
故选: C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设向量，则下列叙述正确的是（ ）
A. 若，则与的夹角为钝角
B. 的最小值为2
C. 与垂直的单位向量只能为
D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】求出与夹角的余弦值可判断；向量的模可判断；单位向量可判断；向量模相等列出方程求解可判断.
【详解】对，当时，，因为，
所以与的夹角是钝角，故正确；
对，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故正确；
对，设与垂直的单位向量为，
则，解得或
与垂直的单位向量为或，故错误；
对，若，可得：，
解得，故错误.
故选：.
10. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，则
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则是钝角三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】A利用余弦定理即可；B利用正弦定理即可；C数量积运算可得A为锐角，但无法保证其余角也为锐角；D先利用正弦定理得出，再利用余弦定理即可.
【详解】对于A，由余弦定理得，
得，得，故A正确；
对于B，由及正弦定理，得，解得，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，所以A为锐角，但无法确定B和C是否为锐角，故C错误；
对于D，因为的三个角满足，
所以由正弦定理化简得，
设，，，c为最大边，
由余弦定理得，
所以C为钝角，所以是钝角三角形，故D正确；
故选：ABD
11. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若，则只有一解
C. 若为锐角三角形，则取值范围是
D. 若为边上的中点，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，直接解三角形可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D.
【详解】对于A，因，所以，则，
因为，所以，故A正确；
对于B，因为，则，，故只有一解，故B正确；
对于C，若为锐角三角形，则，，
则，则，即，
由正弦定理可知：，故C错误；
对于D，若D为边上的中点，则，
所以
由余弦定理知，得，
又，所以，
当且仅当时取得等号，
所以，
即，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，不共线，如果，，，则共线的三个点是________.
【答案】，，
【解析】
【分析】利用共线向量的充要条件化简求解即可.
【详解】因为，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
故答案为：，，
13. 已知向量满足，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的运算律求得，再根据向量模的计算公式，即可求得答案.
【详解】由，得，有，
则，
故答案：
14. 如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为__________m．
【答案】200
【解析】
【分析】在直角三角形中求出，在△ACQ中利用正弦定理求出，在Rt△APQ中求PQ即可.
【详解】根据题意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m，
所以m，
在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，
所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°，
由正弦定理，得，即m，
RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m．
故答案为：200
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 平面内给定三个向量，，．
（1）求满足的实数m，n．
（2）若满足，且，求的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由向量的坐标运算列方程组，解出即可；
（2）设，由向量共线的坐标表示和模长计算解出即可.
【小问1详解】
由题意可得，
解得
【小问2详解】
设，
由题意可得，
因为，则，①
又，所以，②
由①②解得或，
所以的坐标为或.
16. 在中，有.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用三角形的面积公式可得出的面积.
【小问1详解】
解：由题意可得，，故.
【小问2详解】
解：由三角形的面积公式可得.
因此，的面积为.
17. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．

（1）求的值；
（2）用，表示和；
（3）证明：．
【答案】（1）；（2），；（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用数量积公式以及求解即可；
（2）由向量的加减法进行运算即可用，表示和；
（3）利用向量的垂直和数量积的关系证明即可.
【详解】（1）
（2）
又为中点
（3）
又

所以
【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，利用数量积求模以及利用向量证明线段垂直，属于中档题.
18. 已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.
（1）求角；
（2）若，D为中点，，求b；
（3）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可得，根据三角形内角和定理和两角和的三角函数即可求解；
（2）由已知可得，两边完全平方即可求解；
（3）由正弦定理可得，，借助三角恒等变换及三角函数的图象与性质即可求解.
【小问1详解】
因为，
根据正弦定理，得，
所以，
所以，
即，
因为，所以，
又，所以；
【小问2详解】
因为D为中点，所以，
所以，
所以，
所以，解得或（舍去），
故；
【小问3详解】
由正弦定理：，
所以，，
因为，所以，所以，
所以
，
因为锐角三角形，所以，
所以，，
所以，所以，
所以的取值范围为.
19. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且．
（1）求的值；
（2）若为线段上任意一点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值；
（2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【小问1详解】
解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，
则、、、，
因为，，，
所以，所以，所以点，
设，则，，
因为，所以，解得，
所以，，则．
【小问2详解】
解：由（1）知，，设，其中，
则，
所以，
因为，故当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
故的取值范围为．