广东省中山市迪茵公学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省中山市迪茵公学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据弧长以及扇形面积公式即可求解.
【详解】设扇形半径为，则，
所以扇形面积为，
故选：C
2. 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据任意角三角函数的定义求，代入运算即可.
【详解】因为角的终边经过点，则，
可得，
所以.
故选：C.
3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由函数定义域，排除A；再由函数奇偶性排除D，最后根据函数单调性，即可得出B正确，C错误.
【详解】A选项，的定义域为，故A不满足题意；
D选项，余弦函数偶函数，故D不满足题意；
B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；
C选项，正弦函数是奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角函数性质的应用，熟记三角函数的奇偶性与单调性即可，属于基础题型.
4. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用正弦的和角公式以及余弦的差角公式求得，再利用余弦的倍角公式，即可求得结果.
【详解】依题意，，
即，则
，
即，
故，
故选：D.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简求值，属综合基础题.
5. 若函数的两个零点分别为和，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦求值.
【详解】函数，其中，
由，得，而，
因此，即，则即，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键.
6. 已知函数，，其函数图象的一个对称中心是，则该函数的一个单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由正切函数的对称中心得，得到，令可解得函数的单调递减区间.
【详解】因为是函数的对称中心，所以，解得
因为，所以，，
令，解得，
当时，函数的一个单调递减区间是
故选：D
【点睛】本题考查正切函数的图像与性质，属于基础题.
7. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式求解即可.
【详解】.
故选：D.
8. 若cs2α＝－，且α∈，则sinα＝（ ）
A. B.
C. D. －
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二倍角公式可解得的值，再根据的范围可确定的具体值.
【详解】解：因为，所以，解得.又因为，所以，即.
故选：A.
【点睛】本题考查余弦函数的二倍角公式，考查根据角的范围判断正弦函数的正负，属于基础题.
9. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，平方求得，结合，化简得到，进而逐项判定，即可求解.
【详解】因为，所以，
可得，
因为，所以，所以，故A错误，
又由，可得所以，故D错误，
联立方程组，解得，故B正确，
由，故C错误.
故选：B.
二、多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分.每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）
10. 下列各式中值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二倍角正弦公式即可判断选项A；利用二倍角余弦公式即可判断选项B；利用辅助角公式可判断选项C；利用两角差的正切公式可判断选项D.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：；故C正确；
对于D：，故D正确.
故选：ACD
11. 对于函数给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A. 函数的图象关于原点对称
B. 函数的定义域为
C. 函数在上的最大值为
D. 函数的最小正周期为
【答案】BC
【解析】
【分析】对A，求出函数的对称中心判断；对B，求出函数的定义域判断；对C，根据正切函数的单调性求出函数值域判断；对D，利用周期公式求出周期判断.
【详解】对于A，由，令，得，
所以的对称中心为，故A错误；
对于B，由题得，即，
所以函数的定义域为，故B正确；
对于C，当时，，所以，
所以函数在上的最大值为，故C正确；
对于D，函数最小正周期为，故D错误.
故选：BC.
12. 关于函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A. 是函数图象的一条对称轴
B. 是函数图象的一个对称中心
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象
D. 当时，
【答案】ABC
【解析】
【分析】由正弦型函数的解析式判定函数的相关性质时，一般先将相位角中的化成正值，再将其看成整体角，最后结合正弦函数的图象的相关性质判断即得.
【详解】，
对于A项，令，，则，，当时，，
所以是函数图象的一条对称轴，故A项正确；
对于B项，令，，则，，当时，，
所以是函数图象的一个对称中心，故B项正确；
对于C项，因为，
显然将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，即函数的图象，故C项正确；
对于D项，，当时，，
结合正弦函数图像可知函数的值域为，故D项错误.
故选:ABC
三、填空题（每小题5分，共计10分）
13. 的值为____.
【答案】##
【解析】
【分析】先运用诱导公式化简，再应用两角差余弦公式计算即可.
【详解】
.
故答案为：##.
14. 已知函数（其中）在上的值域为，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】求出的范围，利用余弦函数的图像与性质根据值域分析得出右端点的范围，即可列不等式求解.
【详解】因为，所以，
因为函数（其中）在上的值域为，
所以，解得.
故答案为：
四、解答题（本题共5题，共77分，解答题需写出必要的解题过程或文字说明，）
15. 已知
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最大值，并写出取最大值时自变量的集合；
（3）求函数在上的单调区间；
【答案】（1）
（2），
（3）单增区间，单减区间.
【解析】
【分析】（1）利用 直接求出即可；
（2）利用整体法即可求解；
（3）先求出函数在上的单调减区间，再判断在的单调递区间．
【小问1详解】
函数的最小正周期；
【小问2详解】
∵的最大值为，
∴的最大值为，此时，
∴．故得，自变量的集合为
【小问3详解】
令，．得：．
∴函数的单调增区间为，．
∵，令，则是单调递增区间，
令，．得：．
∴函数的单调减区间为，．
∵上的，令，则是单调递减区间.
16. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式将题干化简，即可求得
（2）对所求的式子两边同时除以，再将（1）得到得结果代入即可.
【小问1详解】
由诱导公式，
以及，
所以原式，
即
【小问2详解】
将分子分母同时除以
（因为，否则无意义），
所以，又由（1）知代入上式得
故
17. 已知，，其中，均为锐角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出，即可求出，再由二倍角正切公式计算可得；
（2）根据同角三角函数的基本关系求出，，再根据利用两角差的余弦公式计算可得.
【小问1详解】
因为且为锐角，
所以，所以，
所以.
【小问2详解】
因为、均为锐角，
所以，又，所以，
又且，
解得，（负值舍去），
所以
.
18. 已知函数的最小正周期为，其中．
（1）求的值；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）求函数在区间上的值域．
【答案】（1）
（2）函数的单调减区间为，单调增区间为
（3）
【解析】
【分析】（1）利用求得.
（2）根据三角函数单调区间的求法，求得在区间上的单调区间.
（3）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域.
【小问1详解】
由函数的最小正周期为，，所以，可得，
【小问2详解】
由（1）可知，
当，有，，
当，可得，
故当时，函数的单调减区间为，单调增区间为．
【小问3详解】
当，有，，
可得，
有，
故函数在区间上的值域为．
19. 已知函数，．
（1）将函数化简并表示成（其中，，，）形式；
（2）用五点法列表并作出函数一个周期内的图象．
【答案】（1）；（2）答案见解析．
【解析】
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可求得.
（2）先完善表格，再依据各点绘制一个周期内的图象.
【详解】（1） ．
（2）列表如下：
图象如图所示：
【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，从而可用借助正弦函数的图象和性质研究的图象和性质．
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