广东省佛山市南海外国语高级中学2024-2025学年高一下学期一检考试（3月） 数学试题（含解析）

这是一份广东省佛山市南海外国语高级中学2024-2025学年高一下学期一检考试（3月） 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（全卷150分，考试时间120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由数量积公式直接得答案.
【详解】因为向量，的夹角为，且，，
则.
故选：A
2. 下列选项中，值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合选项逐一求解结果可得答案.
【详解】对于A，，不正确；
对于B，，不正确；
对于C，，正确
对于D，，不正确.
故选：C
3. 在平行四边形中，对角线，给出以下结论：
①； ②；
③； ④
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的加减法法则，可逐一判断结论.
【详解】由题意，，故①正确；，故②正确；
,故③正确；，故④错误.
所以正确结论的个数是3.
故选：C.
4. 在菱形中，，对角线，给出以下结论：
①与是平行向量； ②与是共线向量；
③ ④

其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行向量（共线向量）的定义即可判断.
【详解】对于①，因为和在同一条直线上，根据平行向量的定义，平行向量又称共线向量，方向相同或相反，正确；
对于②，因为四边形是菱形，所以，根据平行向量的定义，平行向量又称共线向量，方向相同或相反，正确；
对于③，在菱形中，对角线，所以为等边三角形，则,所以，正确；
对于④，不平行，所以与不共线，错误.
故选：C.
5. 中，角，，的对边长分别为，，.若，，，则（ ）
A. 10B. 5C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先应用两角和差正弦结合诱导公式求解，再应用正弦定理求解.
【详解】因为，，，所以，
则，
由正弦定理得，所以
故选：B.
6. 在中，设，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的减法结合已知等式计算求解.
【详解】在中，设，，
因为，，所以，
即得，即
则.
故选：B.
7. 设内角，，的对边分别为，，.已知，，，则的面积是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理，可化为，将其代入由余弦定理列出的，结合题中所给，，可求出，.由求得，最终可求出.
【详解】，则由正弦定理得，
又，，
由余弦定理
得，，
，，
由得，
.
故选：A.
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题.
8. 将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.再将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用伸缩变换和平移变换即可求得.
【详解】函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到，
再向右平移个单位长度，得到.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，下列判断正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为；B. 函数的图象关于点对称：
C. 函数的最大值为2；D. 函数的图象关于直线对称.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先将函数化简，再根据余弦函数的周期性，对称性和最值逐一判断即可.
【详解】，
对于A，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，因，
所以函数的图象关于点对称，故B正确；
对于C，函数的最大值为，故C错误；
对于D，因为，
所以函数的图象关于直线对称，故D正确.
故选：ABD.
10. 若，则的一个可能的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简可得,进而计算可得,根据选项可得结果.
【详解】因为，
且，
所以,解得： ,.
所以的一个可能的值是,.
故选：AB
11. 已知函数的部分图象如图所示，其图象最高点和最低点的横坐标分别为和，且，则下列判断正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为；B.
C. 函数的最大值为2；D. 为偶函数
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，结合五点法作图求出函数的解析式，再逐项判断.
【详解】依题意，函数的最小正周期，解得，
，又，则，
，解得，函数，
对于A，函数的最小正周期为，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，函数的最大值为2，C正确；
对于D，是奇函数，D错误.
故选：BC
三、填空题：共3小题，每小题5分，第14题第一空2分，第二空3分，共15分.
12. 已知函数，则______
【答案】
【解析】
【分析】利用函数的周期为求解.
【详解】因为函数的周期为，且，
所以，
.
故答案为：
13. 点是半径的圆周上的点它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点的纵坐标关于时间的函数关系式为：______
【答案】，.
【解析】
【分析】设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为，求出的值，时，射线可视角的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式.
【详解】设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为，
由题意可得，，
时，射线可视角的终边，则,.
故答案：，.
14. 已知向量，满足：，，，则______；向量与的夹角为：______
【答案】 ①. 2 ②. ＃＃
【解析】
【分析】先结合，，求出，再由即可求得第一问，由向量的数量积公式即可直接求得第二问.
【详解】因为，所以，
又因为，，所以，
；
由向量的数量积公式得：，
由于向量夹角的范围为，所以与的夹角为，
故答案为：2，.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在长方形网格中，向量，满足：，，向量，.

（1）在图中，以为起点作向量，并求；
（2）若与共线，求实数的值；
（3）若与垂直，求实数的值.
【答案】（1）作图见解析，；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形法则作出作向量，再由求解；
（2）根据与共线，利用共线向量定理求解；
（3）根据与垂直，由求解.
【小问1详解】
如图所示：

；
【小问2详解】
因为，，且与共线，
所以 ，解得；
【小问3详解】
因为，，且与垂直，
所以，
，
，
解得.
16. 中，角，，的对边长分别为，，.已知，.
（1）求的外接圆半径；
（2）若，求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）7
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理求解；
（2）利用正弦定理求解.
（3）由三角函数的定义求解.
【小问1详解】
因为，，
所以 的外接圆半径为：
；
【小问2详解】
由（2）得 ；
【小问3详解】
如图所示：
作BC边上的高AD，
则，
所以.
17. 已知函数.
（1）若，求的对称轴方程；
（2）若的最大值为，且，求的值；
（3）若是的对称中心，求的取值集合.
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）应用两角差的正弦公式化简，再结合辅助角公式化简得出正弦函数对称轴求解；
（2）应用两角和正弦公式结合不等式关系计算求解；
（3）根据对称中心定义结合两角和差正弦余弦计算得出，再结合正弦函数的性质求解.
【小问1详解】
，
，
由，，
得的对称轴方程为：，.
【小问2详解】
因为，所以，
所以
令，得，即
，或
【小问3详解】
由是的对称中心得：
，
，即
或，，
即或，
故的取值集合为
18. 中，角，，的对边长分别为，，.且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的值；
（3）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）8 （3）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式求得，可求角；
（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答．
（3）运用正弦定理和两角和差化积公式，以及余弦函数性质，即可得到所求范围；
【小问1详解】
由正弦定理：，，
代入化简得：
将代入上式化简得：
，，.
即，，
由，得，即.
【小问2详解】
，则，，即，
由余弦定理：，故
，将代入得：，
；
【小问3详解】
若，由正弦定理：，
，同理，，
又，
又，，，
故，即的取值范围是.
19. 已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数.其图象如图所示：

（1）根据图象求函数解析式；
（2）若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间同时投产时的最大污水排放量；
（3）受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求两车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？
【答案】（1）
（2）m3
（3）推迟2小时
【解析】
【分析】（1）利用图象可得，再将点代入即可求；
（2）构造时刻的污水排放量，利用两角和差的余弦公式以及辅助角公式化简即可；
（3）设乙车间比甲车间推迟小时投产，再构造时刻的污水排放量，化简解不等式即可.
【小问1详解】
由图可得，，
，，
将代入，得，
又，，
，
所求函数的解析式为；
【小问2详解】
两车间同时投产时刻的污水排放量为甲、乙两车间污水排放量之和，
此时甲车间污水排放量为，乙车间污水排放量为，
故时刻的污水排放量
，
，
故两车间同时投产时的最大污水排放量为m3；
【小问3详解】
设乙车间比甲车间推迟小时投产，因其周期为，故，
故时刻的污水排放量，
，
，
，即，
则，，
由，故，结合余弦函数图象得，得，
故为满足环保要求，乙车间至少需比甲车间推迟2小时投产.