广西钦州市浦北中学2024-2025学年高二下学期3月检测 数学试题（含解析）

这是一份广西钦州市浦北中学2024-2025学年高二下学期3月检测 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时问：120分钟，满分150分)
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）
A. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
【答案】B
【解析】
【分析】根据找出对应的的值，并比较与卡方值得大小,进而由卡法的定义推出相应结论即可.
【详解】因为时，所以，
所以变量与不独立，且这个结论犯错误的概率不超过.
故选:B.
2. 下列各关系不属于相关关系的是（ ）
A. 产品的样本与生产数量B. 球的表面积与体积
C. 家庭的支出与收入D. 人的年龄与体重
【答案】B
【解析】
【分析】根据相关关系定义判断．
【详解】对于A：产品的样本与生产数量是相关关系，故A正确；
对于B：设球的半径为，球的表面积为、体积为，
则，所以，而，
所以球的表面积与体积是一种函数关系，故B错误；
对于C：家庭的支出与收入是相关关系，故C正确；
对于D：人的年龄与体重是相关关系，故D正确.
故选：B
3. 设离散型随机变量X的概率分布为
若随机变量，则等于（ ）
A. 0.3B. 0.4
C. 0.6D. 0.7
【答案】A
【解析】
【分析】由概率和为1求出可得答案.
【详解】由0.15＋0.15＋0.15＋0.25＋m＝1，得m＝0.3，
所以.
故选：A.
4. 的展开式中，x2的系数是（ ）
A. 250B. 520C. 205D. 502
【答案】C
【解析】
【分析】利用的展开式的通项公式可求出结果.
【详解】因为，
的展开式的通项公式为，,
所以x2系数为.
故选：C
5. 甲，乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有排法（ ）
A 72种B. 36种C. 144种D. 108种
【答案】C
【解析】
【分析】利用捆绑法与插空法解决相邻与不相邻问题即可.
【详解】先把甲乙捆绑起来，和除丙丁之外的2人排列后形成4个空，再将丙、丁插入 2个空中，
故有种不同的排法.
故选：C
6. 已知随机变量X服从正态分布，下列四个命题：
甲：；乙：；
丙：；丁：
如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析判断.
【详解】因为、均等价于，
由题意可得：乙、丙均为真命题，且，
对于甲：因为，故甲为真命题；
对于丁：因为，故丁为假命题；
故选：D.
7. 一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，令表示前k个球为白球，第个球为红球，此时，再进行计算即可求解．
【详解】令表示前k个球为白球，第个球为红球，
此时，
则．
故选：A．
8. 已知随机变量的分布列如下：
则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质、期望和方差公式，结合充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意可知，
若，则，得，
故充分性满足；
若，则，解得或.
当时，，此时，
当时，，此时，
则或，故必要性不满足.
故选：A.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 事件与不互斥
C. 事件与相互独立D. 事件与不一定相互独立
【答案】BC
【解析】
【分析】利用对立事件概率和为可判断错误；根据互斥事件不可能同时发生，可判断正确；根据相互独立事件的定义和性质，可以判断正确，错误.
【详解】故错误；
又所以事件与不互斥，故正确；
则事件与相互独立，故正确；
因为事件与相互独立，所以事件与一定相互独立，故错误.
故选：
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
分析】AB选项，利用二项式定理得到通项公式，求出，；CD选项，赋值法得到，，，从而求出答案.
【详解】A选项，的通项公式为，
当时，，A正确；
B选项，当时，，B正确；
C选项，中，
令得，
令得，
故，C错误；
D选项，中，
令得，
又，
故，D正确.
故选：ABD
11. 有两盒乒乓球，每盒3个球分别标记为2，3，4，其中一盒均未使用过，另一盒3个球都已使用过．现从两个盒子各任取1个球，设球的号码分别为，，若事件“点恰好落在直线上”对应的随机变量为，，的数学期望和方差分别为，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出的所有可能值，求出相应的概率，可判断AB，再计算期望与方差，判断CD．
【详解】因为a的所有可能取值为2，3，4，b的所有可能取值为2，3，4．点恰好落在直线上，所以的所有可能取值为4，5，6，7，8．
从两个盒子中分别任取1个球，共有9种情况，，，，，．对于A，，故A选项正确；
对于B，，故B选项正确；
对于C，，故C选项错误；
对于D，，故D选项正确，
故选：ABD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把正确答案填在答题卡的相应位置.
12. 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的概率分布为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元．若表示经销一件该商品的利润，则________元．
【答案】130
【解析】
【分析】由题意可知可以取100,150,200，然后根据的概率分布列可列出的概率分布列，从而可求出
【详解】由题意可知可以取100,150,200，利润的概率分布为
所以（元），
故答案为：130
13. 已知随机变量，且，则___________
【答案】
【解析】
【分析】利用正态分布的对称性即可计算求解.
【详解】因为随机变量服从正态分布，且，
所以，
故答案为：.
14. “镜子迷宫”的原理主要是重复反射成像，当参与者进入迷宫时，身体经过多重镜面的反射，形成无数镜像，导致很难分清楚哪里是道路，哪里是镜面某大型商场有一“镜子迷宫”场地，每位参与者进入迷宫时都会经过红外线感应区，导致系统随机开启一个出路，若打开是A，B出路，则分别需要2小时和3小时才能走出迷宫，若打开是C，D出路，则分别会经过1小时和2小时再次重回红外线感应区，此时系统会重新打开一个未进入的通道，直到走出迷宫为止.则走出迷宫所需时间的数学期望为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据已知条件先设的可能取值，再根据独立事件乘积公式得出概率，列出分布列再结合数学期望公式计算即可.
【详解】设为走出迷宫所需时间，则的可能取值为2，3，4，5，6，
，，
，，
，
所以的分布列为：
则.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加.某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定个问题，假设李明能且只能对其中个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为.由李明和王华各自从中随机抽取个问题进行回答，而且每个人对每个问题的回答均相互独立.
（1）求李明和王华回答问题正确的个数均为的概率；
（2）设李明和王华回答问题正确的个数分别为和，求的期望､和方差､，并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好.
【答案】（1）
（2），，，，派李明代表该班参加竞赛更好
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布和二项分布概率公式分别计算李明和王华回答问题正确的个数为的概率，由独立事件概率乘法公式可求得结果；
（2）根据超几何分布概率公式可得每个取值对应的概率，由此可计算得到；根据二项分布期望和方差计算公式可求得，根据，可得结论.
【小问1详解】
李明回答问题正确的个数为的概率；
王华回答问题正确的个数为的概率；
李明和王华回答问题正确的个数均为的概率.
【小问2详解】
由题意知：李明回答问题正确个数所有可能的取值为，
，，
，；
王华回答问题正确的个数，
，；
，，派李明代表该班参加竞赛更好.
16. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
（1）求值和的展开式中含的项的系数.
（2）求展开式中常数项．
【答案】（1）10；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二项式系数可得，结合二项式定理求常数项；
（2）由题意可得，结合（1）中结论分析求解.
【小问1详解】
由题意可知：，由二项式系数的性质可得.
的展开式的通项公式为，
令，可得，
所以含的项的系数为.
【小问2详解】
因为，
由（1）可知的展开式的通项公式为，
所以常数项为.
17. 为了迎接4月23日“世界图书日”，我市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下
（1）若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
（2）若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（ⅰ）若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
（ⅱ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列及均值．
附参考数据：若随机变量服从正态分布，则
，．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据古典概型运算公式进行求解即可；
（2）（ⅰ）根据题中所给的公式，结合正态分布的性质进行求解即可；
（ⅱ）运用二项分布的性质进行求解即可.
【小问1详解】
从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A，
则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，
即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为；
【小问2详解】
（ⅰ）因为，所以，
故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为；
（ⅱ）由，得，即从所有参赛学生中堕机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为，所以随机变量服从二项分布，所以
，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
.
18. 为了迎接2022年世界杯足球赛，某足球俱乐部在对球员的使用上一般都进行一些数据分析，在上一年的赛季中，A球员对球队的贡献度数据统计如下：
（1）求的值，据此能否有的把握认为球队胜利与球员有关；
（2）根据以往的数据统计，球员能够胜任前锋､中锋､后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：，当出任前锋､中锋､后卫以及守门员时，球队赢球的概率依次为：，则：
①当他参加比赛时，求球队某场比赛赢球的概率；
②当他参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求球员担当守门员的概率；
③在2022年的4场联赛中，用X表示“球队赢了比赛的条件下球员担当守门员”的比赛场次数，求的分布列及期望．
附表及公式：
．
【答案】（1），，没有的把握认为球队胜利与球员有关；
（2）①0.27；②；③分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据列联表中的数据补全，再根据独立性检验求解即可；
（2）①根据独立事件的乘法公式求解即可；
②根据条件概率计算求解即可；
③由题知，进而根据二项分布求解即可.
【小问1详解】
解：根据题意，补全列联表如下表：
所以，，，
所以，没有把握认为球队胜利与球员有关
【小问2详解】
解：①根据题意，记球员参加比赛时，球队某场比赛赢球为事件，
，
所以，球员参加比赛时，球队某场比赛赢球的概率为.
②记球员担当守门员为事件，则，
所以，当球员参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下， 球员担当守门员的概率为，
因为.
所以，球员参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下， 球员担当守门员的概率为
③由②知，球队赢了比赛的条件下球员担当守门员的概率为，
由题知的可能取值为，且
所以；；
；；
.
所以，的分布列如下表，
所以，
19. 某高校数学系为了控制大一学生上课使用手机，针对上课使用手机情况，进行量化比，若发现上课使用手机则扣除其对应的积分，根据调查发现每次被扣分数与本系大一学生每周上课使用手机人数的关系如下表所示：
（1）试根据以上数据，建立y关于x的回归直线方程（结果保留一位小数）；
（2）根据上述回归直线方程分析：每次扣分为多少时（精确到整数分），该系大一新生被扣分的总数最大；
（3）若学校规定，大一新生每学期（按20周上课计算）因为上课使用手机被扣分总数不超过1000分，则该系大一被定为控制手机合格，那么，每周上课使用手机至少扣多少分时（扣分不低于5分，精确到整数），数学系才能被定为控制手机合格？
参考公式：
【答案】（1）；
（2）6分； （3）11分.
【解析】
【分析】（1）根据最小二乘法即得；
（2）写出扣分总数，然后利用二次函数的性质即得；
（3）根据条件建立不等式求解即得.
【小问1详解】
由表中数据可得，
，，
，，
所以，
所以，
所以y关于x的线性回归方程为；
【小问2详解】
设该系大一学生每周扣分总数为，则由题意，得，
因为函数对称轴方程为，
由题意，时，有最大值，
即每次扣分为6分时，该系大一新生被扣分的总数最大；
【小问3详解】
设每周上课使用手机扣x分，则数学系大一学生每学期扣分为，
令，即，
解得或，
由题意，可知每周至少扣分11分时，数学系才能被定为控制手机合格.
X
0
1
2
3
4
P
0.15
0.15
0.15
0.25
m
1
2
1
2
3
4
100
150
200
2
3
4
5
6
成绩（分）
频数
6
12
18
34
16
8
6
0
1
2
3
球队胜
球队负
总计
上场
22
未上场
12
20
总计
50
球队胜
球队负
总计
上场
22
30
未上场
12
20
总计
30
20
50
每次被扣分数x（单位：分）
0
2
5
8
10
每周上课使用手机人数y（单位：次）
50
25
20
15
10