广西百色市平果市铝城中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份广西百色市平果市铝城中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列求导运算结果错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据初等函数的导数公式逐项判定，可得答案.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：A.
2. 在的展开式中，记项的系数为，若，则a的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项式定理展开公式求解.
【详解】
所以解得，
故选：B.
3. 有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】乙车与货车甲相邻停放，货车甲占两个车位，则乙车只能停在货车甲两边，有2种停法；剩下三辆车在三个车位自由停放，利用分步乘法计数原理计算求得结果即可.
【详解】乙车与货车甲相邻停放，货车甲占两个车位，则乙车只能停在货车甲的两边，有2种停法；
剩下三辆车在三个车位自由停放，有种停法；
则共有种停法.
故选：B.
4. 已知函数（ ）
A. 12B. C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由导数的概念，基本初等函数的导函数计算即可.
【详解】，
，
故选：B.
5. 曲线在处的切线倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算出的值，即可求得切线的倾斜角.
【详解】设曲线在处的切线倾斜角为，
因为，则，因为，因此，.
故选：B.
6. 已知的展开式中的所有二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（ ）．
A. 10B. 20C. 15D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二项式系数的性质列式求得n值，利用通项即可求.
【详解】由题意可知，，解得，
的展开式的通项为，，
令，则，
所以展开式中的系数为.
故选：A
7. 以点为切点的曲线的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出切线与坐标轴的交点坐标，从而可求出结果.
【详解】因为点在曲线上，
，
因为切点为，所以，
所以切线方程为，即，与坐标轴的交点为，
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.
故选：A.
8. 已知在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得在恒成立，转化为最值问题求解
【详解】由可得，
由条件只需，即在上恒成立，
由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，
故的最小值为4，只需．
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分.
9. 关于的展开式，下列判断正确的是( )
A. 展开式共有8项B. 展开式的各二项式系数的和为128
C. 展开式的第7项的二项式系数为49D. 展开式的各项系数的和为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可．
【详解】展开式共有项，故A正确．
展开式的各二项式系数的和为，故B正确．
展开式的第7项的二项式系数为，故C错误．
展开式的各项系数的和为，故D正确．
故选：ABD．
10. 如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）
A. 在上是增函数
B. 在上是减函数
C. 当时，取得极小值
D. 当时，取得极大值
【答案】BC
【解析】
【分析】根据导数与原函数关系解决.
【详解】从导函数图像可以看出函数在上为单调减函数；
在上为增函数，故A错B对，C对D错.
故选：BC
11. 已知函数，下列命题正确是（ ）
A. 若是函数的极值点，则
B. 若是函数的极值点，则在上的最小值为
C. 若在上单调递增，则
D. 若在上恒成立，则
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，由可求出a的值，再检验；对于B，由选项A，可求得，然后利用导数可求出在上的最小值；对于C，由题意可得，利用分离常数法得到在上恒成立.令，利用导数即可求出a的范围；对于D，将问题转化为即在上恒成立.令，再利用导数求出其最大值即可.
【详解】对于A，由得.
因为是函数的极值点，所以，得.
此时
所以当时，；当时，.
所以在单调递减，在单调递增，
所以是函数f(x)的极小值点，所以A正确.
对于B：由选项A，可知，则.
由，得或；由，得.
所以在单调递减，在，单调递增.
所以当时，有在单调递减，在单调递增.
所以时，取得最小值.故B正确；
对于C：因为在上单调递增，所以，即，得在上恒成立.
令，则，所以在单调递增，
所以当，有，即，所以.故C错误.
对于D：由在上恒成立，得在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则，所以在上单调递增，所以.
所以.故D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在处的切线方程为 _____________ .
【答案】
【解析】
【分析】求导，根据导数的几何意义即可得出答案.
【详解】解：，
当时，，
所以曲线在处的切线方程为，
即.
故答案为：.
13. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法求得正确答案.
【详解】依题意，，
令，得；
令，得，
所以.
故答案为：
14. 从某校4个班级的学生中选出7名学生作为代表参加志愿者服务活动，若每个班级至少有一名代表，则有______种不同的选法．
【答案】20
【解析】
【分析】利用隔板法解决，七个个体间有六个空，选出三个空插隔板，即可分成四份，即得.
【详解】由题意，七个名额分成四份，名额之间没有差别，四个班级之间也没有差别，
故把七个名额分成四份即得选法种数，相当于7个球排成一排，然后插3块木板把它们分成4份，即中间6个空位，选3个空插隔板，分成四份，
所以总的分法有种.
故答案为：20．
四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）8； （2）.
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，根据求出，则，在区间上单调递增，即可得到答案.
（2）根据题意知，分参得，即可得到答案.
【小问1详解】
，因为，所以，所以
在上恒成立，所以函数在区间上单调递增
所以
【小问2详解】
因为函数在区间上为增函数，
所以在上恒成立
所以在上恒成立，所以
16. 已知函数在处的切线平行于直线.
（1）求的值；
（2）求的极值.
【答案】（1）
（2）的极大值为，极小值为
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义计算即可；
（2）利用导数研究函数的极值即可.
【小问1详解】
由已知可得，
而直线的斜率为，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故极大值为，极小值为.
17. 已知函数其中为常数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）的递增区间为，递减区间为，
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）先求函数的定义域，然后对函数求导，再根据导数的正负可求出函数的单调区间；
（3）将问题转化为，由（2）可求出的最大值，然后解不等式可得结果.
【小问1详解】
当时，，则
，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
【小问2详解】
的定义域为，
由，得，
当时，，当时，，
所以的递增区间为，递减区间为，
【小问3详解】
由（2）可知当取得最大值，
因为对任意，不等式恒成立，
所以，即，，
解得或，
即的取值范围为.
18. 已知.
（1）求展开式第3项的二项式系数；
（2）求的值；
（3）求的值；
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用二项式的通项公式，即可求解；
（2）分别令和，进而求得值；
（3）分别令和，两式相减，进而求得的值.
【小问1详解】
因为，
由二项式展开式的通项公式为，
所以展开式的第3项的二项式系数为.
【小问2详解】
由，
令，可得；
令，可得，
所以
【小问3详解】
由，
令，可得，
令，可得，
两式相减可得，所以.
19. 函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若的图象恒在图象的下方，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先代入，然后求导求斜率，最后即可求出切线.
（2）先把题目转化成函数恒成立问题，然后求导，求单调区间，求最值，根据最值正负即可求出结果.
【小问1详解】
当时，,
所以，，
又，
所以曲线在处的切线方程为 ,即，
故答案为：.
小问2详解】
因为函数的图像恒在的下方，
所以 恒成立，即恒成立，即恒成立，
设，
则 ，
当时，单调递增 ，
当时，单调递减，
所以，
所以， 解得.