广西钦州市浦北中学2024-2025学年高一下学期3月检测 数学试题（含解析）

这是一份广西钦州市浦北中学2024-2025学年高一下学期3月检测 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了本试卷分第I卷两部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦、余弦函数、正切函数的周期公式求出周期可排除选项A、D，利用单调性可排除选项C，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：由于的周期为，故选项A不正确；
对于选项B：由于以为最小正周期，且在区间上为减函数，故选项B正确；
对于选项C：故由于的周期为，故选项C不正确；
对于选项D：由于在区间上为增函数，故选项D不正确.
故选：B.
2. 已知函数，则（ ）
A. B. 1C. -1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式求函数值即可.
【详解】由条件可得，则.
故选：C.
3. 函数在区间上的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇偶性定义判断的奇偶性，且，即可排除A、C、D.
【详解】由，即是奇函数，排除C、D；
当时，，故排除A；
故选：B
4. 已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合、若角终边上一点P的坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的定义及特殊角的三角函数值，同角三角函数的商数关系计算即可.
【详解】显然P在第二象限，根据三角函数的定义易知，
所以.
故选：C
5. 已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量平行的意义进行判断即可.
【详解】一方面，时，可能共线，此时不构成四边形，充分性不成立；
另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，必要性成立.
故“”是“四边形为平行四边形”的必要不充分条件.
故选：B
6. 如图表示电流强度I与时间t的关系(I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0))在一个周期内的图象，则该函数解析式可以是（ ）
A. I＝300sinB. I＝300sin
C I＝300sinD. I＝300sin
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形，分别从最值，周期以及已知求得A＝300，ω＝100π，φ＝，从而求得解析式.
【详解】由图可知A＝300，T＝2＝，
所以ω＝＝100π，所以I＝300sin(100πt＋φ)．
代入点，得100π×＋φ＝0，
取φ＝，∴I＝300sin.
故选：C
7. 对于任意三个向量，下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. 若满足，且与反向，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的线性运算的几何意义，共线的定义一一判定选项即可.
【详解】对于A项，显然若时，，故A错误；
对于B项，根据三角形三边关系及向量加法的三角形法则知，
当且仅当两向量共线时取得等号，故B正确；
对于C项，由向量的定义知，向量不能比大小，故C错误；
对于D项，由于零向量与任意向量均共线，则当时，满足，
但不确定关系，故D错误.
故选：B
8. 如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与能构成“和谐”函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析可知所求函数与函数的振幅、最小正周期均相等，逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】由题意可知，所求函数与函数的振幅、最小正周期均相等，
由题意可知，函数的振幅为，最小正周期为，
对于A选项，函数的振幅为，最小正周期为，A不满足要求；
对于B选项，函数的振幅为，最小正周期为，B不满足要求；
对于C选项，函数的振幅为，最小正周期为，C不满足要求；
对于D选项，函数的振幅为，最小正周期为，D满足要求.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 为了得到函数的图像，只需将图像上的所有点（ ）
A. 先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍
B. 先向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的
C. 先将横坐标缩短到原来，再向左平移个单位长度
D. 先将横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
【答案】BD
【解析】
【分析】首先将化成，然后利用先平移后伸缩与先伸缩后平移两种方法得到答案.
【详解】，
把的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，
再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像；
或者把的图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像，
再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，
故选：BD．
10. 在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（ ）
A. 与的夹角是锐角
B. 与的夹角是锐角
C. 与的夹角是钝角
D. 与的夹角是锐角
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量夹角的定义逐一判断即可.
【详解】为锐角三角形，
A，与的夹角是钝角，A错误；
B，与的夹角是锐角，B正确；
C，与的夹角是锐角，C错误；
D，与的夹角是钝角，D错误.
故选：B
11. 已知函数，则（ ）
A. 点是图象的一个对称中心B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递增D.
【答案】AB
【解析】
【分析】通过代入验证法，判断选项中的对称中心对称轴单调区间等结论是否成立.
详解】已知函数，
由于，所以点是图象的一个对称中心，A选项正确；
由于，是函数最值，所以直线是图象的一条对称轴，B选项正确；
由于时，，不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误；
由于，D选项错误.
故选：AB.
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，列出函数有意义时的不等式，解出不等式的解集，从而得到函数的定义域.
【详解】函数
要使函数有意义，则，
即，
，，
即原函数的定义域为：.
故答案为：
13. 函数的最大值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用二次函数性质即可求得函数的最大值
【详解】
又，则当时，
函数的最大值为
故答案为：
14. 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点的轨迹方程是，且，则使的x的最小正值为________.
【答案】##.
【解析】
【分析】根据已知条件及函数的周期性，作出点P的运动轨迹，结合图象即可求解.
【详解】“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．点P的运动轨迹如图所示，
根据图像知，满足的x的最小正值是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】利用平面向量的加减法运算法则计算即可.
【小问1详解】
易知；
【小问2详解】
易知；
【小问3详解】
易知
16. 已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R．
（1）若，求扇形的面积；
（2）若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数；
（3）若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．
【答案】（1）；
（2）；
（3）,.
【解析】
【分析】（1）利用扇形的面积公式直接计算即可；
（2）利用扇形的弧长公式及面积公式建立方程组计算即可；
（3）利用扇形的弧长公式、面积公式结合基本不等式计算即可.
【小问1详解】
由题意可知扇形圆心角的弧度为，
则该扇形的面积为；
【小问2详解】
设扇形圆心角的弧度为，
则该扇形的弧长为，所以有，
解方程得（舍去）或，
所以扇形圆心角的弧度数为；
【小问3详解】
设扇形圆心角的弧度为，则，则
扇形的周长为，
当且仅当时，周长可取得最小值，此时，
故此时扇形的圆心角.
17. 已知函数.
（1）用“五点法”作出函数在上的简图；
（2）若方程在上有两个实根，求的取值范围.
【答案】（1）图象见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）首先根据解析式，确定对应的函数值，即可描点作简图；
（2）由题意知，在上有两个实根，结合（1）的图象确定区间内相同函数值在可取两个x值的区间，进而求值域，即可求参数a的范围.
【详解】（1）由解析式知：
即在上的简图如下：
（2）由题意，在上有两个实根，
结合（1）的图象知：
，，即，得；
，，即，得；
∴综上有：.
【点睛】关键点点睛：
（1）确定对应的函数值，描点作图；
（2）根据图象，确定相同函数值在可取两个x值区间，进而求参数范围.
18. 已知函数.
（1）求函数图象的对称轴；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求函数在区间上的最小值和最大值.
【答案】（1），
（2），
（3）最小值为，最大值为2
【解析】
【分析】（1）利用整体代入法求得图象的对称轴.
（2）利用整体代入法求得的单调递减区间.
（3）根据三角函数最值的求法求得在区间上的最小值和最大值.
【小问1详解】
由，，得，，
∴函数图象的对称轴为，.
【小问2详解】
由，，得，，
∴函数的单调递减区间是，.
【小问3详解】
当时，，
当，即时，函数取最小值，即，
当，即时，函数取最大值，即
因此，函数在区间上的最小值为，最大值为2.
19. 在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画.其中，正整数表示月份且，例如时表示1月份，A和是正整数，.
统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；
②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；
③2月份从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由.
【答案】（1）
（2）第月是该地区的旅游旺季
【解析】
【分析】（1）根据题意结合余弦函数分析运算即可；
（2）令，结合余弦函数分析运算，注意为正整数.
【小问1详解】
因为A和是正整数，
由②可得：，解得；
由③可得：且，则，且，解得；
且，解得；
所以.
【小问2详解】
令，则，
因为，则，
可得，解得，
且，则，
所以第月是该地区的旅游旺季.
【点睛】方法点睛：函数y＝Acs(ωx＋φ)的解析式的确定
（1）A由最值确定；
（2）ω由周期确定；
（3）φ由图象上的特殊点确定．
提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．
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