广东省江门市培英高级中学2024-2025学年高二下学期3月阶段考试 数学试题（含解析）

这是一份广东省江门市培英高级中学2024-2025学年高二下学期3月阶段考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列1，，，，…的一个通项公式为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把数列化为，根据各项特点写出它的一个通项公式.
【详解】数列…可以化为，所以该数列的一个通项公式为.
故选：A
【点睛】本题考查了根据数列各项特点写出它的一个通项公式的应用问题，是基础题目.
2. 已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】本题可直接利用等差数列通项公式和前和公式联立方程组求解即可得出答案.
【详解】设等差数列的首项和公差分别为和,则由题意可得,联立解得.
故选:B.
【点睛】本题着重考查了等差数列通项公式和前和公式运算应用,属于基础题.
3. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A. 2n–1B. 2–21–nC. 2–2n–1D. 21–n–1
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此.
故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.
4. 已知，的值是（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的定义与极限的运算可得．
【详解】．
故选：B．
5. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的求导公式直接求导.
【详解】A选项：，A选项错误；
B选项：，B选项正确；
C选项：，C选项错误；
D选项：，D选项错误；
故选：B.
6. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 3D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本初等函数的导数和导数的四则运算求解即可.
【详解】，，
，解得
，.
故选：A.
7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了高阶等差数列的概念.如数列1，3，6，10，后前两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ）
A. 174B. 184C. 188D. 190
【答案】A
【解析】
【分析】先列出数列的递推公式，用“累加法”求出数列的通项公式，再求数列的指定项.
【详解】设此数列为，则，，，…，，
所以
，
所以.
故选：A
8. 已知函数的导函数是偶函数，若方程在区间(其中为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由导函数为偶函数，得出，由，得出，将问题转化为当直线与函数在区间上的图像有两个交点时，求实数的取值范围，然后作出函数在区间上的图象，利用数形结合思想求出实数的取值范围．
【详解】，，
导函数的对称轴为直线，由于该函数为偶函数，则，
，令，即，得.
问题转化为当直线与函数在区间上的图像有两个交点时，求实数的取值范围．
，令，得，列表如下：
所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，，
又，，显然，，如下图所示：
结合图象可知，当时，即当时，直线与函数在区间上有两个交点，因此，实数的取值范围是．
故选B．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，本题的关键在于利用参变量分离的方法，将问题转化为直线与函数的图象的交点个数，在画函数的图象中，需要用到导数研究函数的单调性、极值以及端点值，通过这些来确定函数图象，考查数形结合思想，属于中等题．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 关于函数，以下说法正确的有（ ）
A. B. 在单调递减
C. 单调递减D. 在单调递增
【答案】AD
【解析】
【分析】求导得，代值计算可判断A选项；利用导数求出函数的增区间和减区间，可判断BCD选项.
【详解】因为，该函数的定义域为，则，
对于A选项，，A对；
对于BCD选项，由可得，
由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，BC都错，D对.
故选：AD.
10. 若函数在区间上不是单调函数，则实数的可能取值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数区间内存在极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.
【详解】因为，则，
由可得，由可得或，
所以，函数的增区间为、，减区间为，
所以，函数的极大值点为，极小值点为，
因为函数在区间上不是单调函数，
则该函数在区间内存在极值点，即或，
解得或，
所以，实数的取值范围是.
故选：CD.
11. 已知正项数列满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的值有3种情况
C. 若数列满足，则
D. 若为奇数，则（）
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出前几项探讨周期性计算判断A；按的奇偶性求出的值判断B；由的奇偶性，结合周期求出判断C；借助反证法的思想推理判断D.
【详解】对于A，，则该数列为，
则，，而，因此，A错误；
对于B，，若为偶数，则，于是或；
若为奇数，则，于是，因此的值会出现3种情况，B正确；
对于C，由数列满足，得数列是周期为2的数列，有
当为偶数时，，则，解得，或，无正数解；
当为奇数时，，则，解得，因此或都满足，C错误；
对于D，若为奇数，则为偶数，与为奇数矛盾，因此为偶数，
即，则，D正确.
故选：BD
【点睛】关键点睛：由数列递推公式探求数列的相关性质的问题，关键是正确理解给出的关系式，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在等比数列中，是方程的根，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列中等比中项的性质，等比数列通项公式即可求解.
【详解】等比数列中，是方程的根，
则，，
则，
由等比数列性质可知
，所以，
而，所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的应用，注意项的符号判断，属于基础题.
13. 已知数列满足，且，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】对两边同时取倒数，得到，求出通项公式.
【详解】对两边同时取倒数，所以，则，
所以数列是以为首项，4为公差的等差数列，所以，
所以．
故答案为：
14. 已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值集合是__________．
【答案】
【解析】
【详解】构造函数，则，由于，因此化为，即，也即，故当时，函数是单调递减函数；又，故函数是偶函数，依据偶函数的对称性可知函数是上的单调递增函数，故不等式可化为，应填答案．
点睛：解答本题的关键是构造函数，然后再研究并求函数的导数，确定其单调性，进而运用定义断定其奇偶性是偶函数，最后再借助单调性将不等式进行等价转化为，从而使得 问题获解．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，
（1）若数列的前项和，求数列的通项公式；
（2）求曲线在点处切线方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得出，由可求得数列的通项公式；
（2）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.
【小问1详解】
因为，数列的前项和，
当时，，
当且时，.
满足，故对任意的，.
【小问2详解】
因为，则，所以，，，
因此，曲线在点处的切线方程为，即.
16. 已知等比数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，为数列的前项和，若，求正整数的值．
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】（1）设出等比数列的公比，结合已知列出方程组，即可求出通项公式.
（2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可得解.
【小问1详解】
设数列的公比为，则，解得，则，
所以数列的通项公式为．
【小问2详解】
由（1）知，
所以．
由，得，解得，
所以满足的正整数的值为10．
17. 已知函数，其中．
（1）若，求的值；
（2）若函数在定义域内单调递减，求的取值范围．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，令，即可求得的值；
（2）由题可知，上恒成立，参变分离，利用导数求最值即可求解.
【小问1详解】
已知函数，则，
因为，则，解得．
【小问2详解】
因为函数在上是减函数，
所以对恒成立，
所以，
令，
则由得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故只需
故的取值范围是．
18. 已知数列满足：，且对于任意正整数，均有．
（1）设，证明：为等差数列；
（2）设，为数列的前项和，为数列的前项和，若对任意的恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立；
（2）利用等差数列的求和公式可求出，利用错位相减法可求出，由结合参变分离得出，令，分析数列的单调性，确定数列的最大项的值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
数列满足：，且对于任意正整数，均有．
等式两边同时除以可得，
因为，则，且，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列.
【小问2详解】
由（1）可得，所以，，
，
，
则，
上述两个等式作差可得
，
所以，，
因为对任意的恒成立，即，
参变分离可得，令，则，
，
当时，，即，
当且时，，即数列从第二项开始单调递减，
所以，数列的最大项的值为，故，
因此，实数的取值范围是.
19. 设函数（a为非零常数）
（1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）1； （2）分类讨论，答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线方程，再代入计算作答.
（2）求出函数定义域，利用导数结合分类讨论求解单调区间作答.
【小问1详解】
函数，求导得：，则有，而，
因此曲线在点处的切线方程为，则有，
即，而，则，
所以实数的值为1.
【小问2详解】
函数的定义域为，，
当时，恒有，当且仅当且取等号，则函数在上单调递增，
当时，由解得，，
当，即时，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
当，即时，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，递减区间是，递增区间是；
当时，递增区间是，，递减区间是；
当时，递增区间是.
极大值