2024-2025学年广东省广州市铁一中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市铁一中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|2x≥4},B={x|00，且a2n+1=b2n+1，则下列关系式中正确的是( )
A. an+1bn+1
5.已知A，B均为钝角，sinB= 1010，且sin2A2+cs(A+π3)=5− 1510，则A+B=( )
A. 3π4B. 5π4C. 7π4D. 7π6
6.已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件A为“所抽袋子里有红球”，事件B为“所抽袋子里有白球”，事件C为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是( )
A. 事件A与事件B互斥B. 事件A与事件B相互独立
C. 事件A与事件B∪C相互对立D. 事件A与事件B∩C相互独立
7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)=0，当x>0时，有xf′(x)−f(x)>0成立，则不等式xf(x)>0的解集是( )
A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−2,0)∪(2,+∞)
C. (−∞,−2)∪(0,2)D. (2,+∞)
8.已知数列{an}是各项为正数的等比数列，公比为q，在a1，a2之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为d1，在a2，a3之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为d2，…，在an，an+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，公差为dn，则( )
A. 当0d2时，数列{dn}单调递减D. 当d10，且S18=S25，则下列说法正确的是( )
A. a10时，n的最小值为44
10.如图，某工艺品是一个多面体PABCD，AC=BD=4 2cm,AB=BC=CD=DA=2 13cm，点E∈AD，F∈BC，PA，PB，PC两两互相垂直，且P，D位于平面ABC的异侧，则下列命题正确的有( )
A. 异面直线AD与BC所成角的余弦值为913
B. 当点E为AD的中点时，线段EF的最小值为4cm
C. 工艺品PABCD的体积为48cm3
D. 工艺品PABCD可以完全内置于表面积为64πcm2的球内
11.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：f′(x)是函数y=f(x)的导数，f′′(x)是函数f′(x)的导数，若方程f′′(x)=0有实数解x0，则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数f(x)=23x3−x2−12x+496，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的极大值为1376
B. f(x)有且仅有2个零点
C. 点(12,2)是f(x)的对称中心
D. f(12024)+f(22024)+f(32024)+…f(20232024)=4046
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l：y=kx是曲线f(x)=ex+1和g(x)=lnx+a的公切线，则实数a= ______．
13.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，F(c,0)是双曲线C的右焦点，点P在直线x=2c上，且tan∠APF的最大值是 66，则双曲线C的离心率是______．
14.对于∀b∈R，函数f(x)=e3x−(2x+b)ex−a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，已知平面四边形ABCD存在外接圆，且AB=5，BC=2，cs∠ADC=45．
(1)求△ABC的面积；
(2)求△ADC的周长的最大值．
16.(本小题15分)
数列{an}的首项a1=52,an+1=3an−4an−1．
(1)证明{1an−2}是等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)设bn=9n(an−2)×10n，求数列{bn}的前n项和Sn．
17.(本小题15分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4 2，离心率为 32．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l的斜率为12，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P(2,1)为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．
18.(本小题17分)
设函数f(x)=x2−(a+2)x+alnx(a∈R)．
(1)若x=3是f(x)的极值点，求a的值，并求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若f(x)≥1，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)是区间D上的可导函数，数列{an}满足an∈D，若点A0(a,f(a))(a∈D)与An(an,f(an))所在直线的斜率存在，且与f(x)的图象在x=an+1处的切线斜率相等，则称{an}为f(x)的“a−和谐数列”．
(1)若f(x)= x，D=(0,+∞)，{an}是f(x)的“1−和谐数列”，且a1=4，求an；
(2)若f(x)=x3+6sinx，D=(0,+∞)，
①判断f(x)在D上的单调性；
②若{an}是f(x)的“a−和谐数列”，且an+1∈(a,an)，求证：an+1−aan−a>12．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.B
5.C
6.B
7.A
8.D
9.ABD
10.BC
11.ACD
12.3
13.2+ 7
14.[4 39,+∞)
15.解：(1)因为平面四边形ABCD存在外接圆，cs∠ADC=45，AB=5，BC=2，
所以∠ABC=π−∠ADC，cs∠ABC=−45，
又∠ABC∈(0,π)，所以sin∠ABC=35，
所以△ABC的面积S△ABC=12AB⋅BCsin∠ABC=12×5×2×35=3；
(2)在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs∠ABC=52+22−2×5×2×(−45)=45，
解得AC=3 5；
在△ADC中，由余弦定理得AC2=DA2+DC2−2DA⋅DC⋅cs∠ADC，
即45=(DA+DC)2−2DA⋅DC−85DA⋅DC=(DA+DC)2−185DA⋅DC≥(DA+DC)2−185⋅(DA+DC2)2=(DA+DC)210，当且仅当DA=DC时，取等号，
解得AD+DC≤15 2，
即DA+DC的最大值为15 2，
故△ADC的周长AC+DC+DA的最大值为3 5+15 2．
16.
17.解：(1)由条件得：2a=4 2e=ca= 32a2=b2+c2，解得a=2 2,c= 6,b= 2，
所以椭圆的方程为x28+y22=1
(2)设l的方程为y=12x+m，点A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=12x+mx28+y22=1消去y得x2+2mx+2m2−4=0．
令△=4m2−8m2+16>0，解得|m|0时，ℎ(x)>ℎ(0)=0，
所以g′(x)>0，所以g(x)，即f′(x)在(0,+∞)上单调递增，且f′(x)>f′(0)=6>0，
所以f(x)在D上单调递增．
②证明：由题意可得，f(an)−f(a)an−a=f′(an+1)，
设F(x)=f(x)−f(an)−f(a)an−ax(x>0)，则F(a)=F(an)，
F′(x)=f′(x)−f(an)−f(a)an−a，F′(an+1)=0，
因为f′(x)在(0,+∞)上单调递增，所以F′(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以当x∈(0,an+1)时，F′(x)0，F(x)单调递增．
设G(x)=F(x)−F(2an+1−x)，x∈(0,an+1)，x∈(0,an+1)，则2an+1−x>an+1，
所以G′(x)=F′(x)+F′(2an+1−x)，
令H(x)=G′(x)，则H′(x)=[F′(x)]′+[F′(2an+1−x)]′=[f′(x)]′+[f′(2an+1−x)]′
由①知H′(x)=g′(x)−g′(2an+1−x)，且g′(x)在(0,+∞)上单调递增，
0an，即an+1−a>12(an−a)，
所以an+1−aan−a>12．